Математическая ошибка - Mathematical fallacy

В математика, некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математическая ошибка. Есть различие между простым ошибка и математическая ошибка в доказательстве, когда ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент утаивания или обмана в представлении доказательства.^[1]

Например, причину, по которой не действует достоверность, можно отнести к деление на ноль что скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором ее обычно представляют, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом.^[2] Поэтому эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательства очевидного противоречия. Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение заблуждение здесь немного отличается от логическая ошибка. Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с неявным неправильным предположением. Помимо педагогики, разрешение ошибки может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение Аксиома Паша из Евклидова геометрия^[3], то теорема пяти цветов из теория графов ). Псевдария, древняя утерянная книга ложных доказательств, приписывается Евклид.^[4]

Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарная алгебра, типичные примеры могут включать этап, на котором деление на ноль выполняется, где корень неправильно извлекается или, в более общем смысле, где разные значения многозначная функция приравниваются. Известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчисление.^[5]^[6]

Ревуны

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен. инвалид и широко известен как ревун.^[1] Ниже приводится пример ревуна, включающего аномальная отмена:

{ displaystyle { frac {16} {64}} = { frac {16 ! ! ! /} {6 ! ! ! / 4}} = { frac {1} {4}} .}

Здесь хотя вывод 16/64 = 1/4 правильно, на среднем этапе происходит ошибочная, недействительная отмена.^{[примечание 1]} Другой классический пример ревуна - доказательство теоремы Кэли – Гамильтона простой заменой скалярных переменных характеристического полинома матрицей.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «воплями».^[7] За пределами области математики термин ревун имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

В ошибка деления на ноль есть много вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

Позволять а и б равны, ненулевые величины
${ displaystyle a = b}$
Умножить на а
${ displaystyle a ^ {2} = ab}$
Вычесть б²
${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = ab-b ^ {2}}$
Фактор обе стороны: левые факторы как разница квадратов, право факторизуется путем извлечения б с обоих условий
${ Displaystyle (a-b) (a + b) = b (a-b)}$
Разделить (а − б)
${ displaystyle a + b = b}$
Наблюдая за этим а = б
${ displaystyle b + b = b}$
Объедините похожие термины слева
${ displaystyle 2b = b}$
Разделить на ненулевое б
${ displaystyle 2 = 1}$

Q.E.D.^[8]

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на а − б, который равен нулю, поскольку а = б. С деление на ноль не определено, аргумент недопустим.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и пределы может привести к математическим ошибкам - если свойства интегралы и дифференциалы игнорируются. Например, наивное использование интеграция по частям может использоваться для ложного доказательства того, что 0 = 1.^[9] Сдача ты = 1/бревно Икс и dv = dx/Икс, мы можем написать:

{ displaystyle int { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 + int { frac {1} {x , log x}} , dx}

после чего первообразные могут быть отменены, давая 0 = 1. Проблема в том, что первообразные определены только вплоть до а постоянный и смещение их на 1 или любое другое число разрешено. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования а и б.

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 1 | _ {a} ^ {b} + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x , log x}} , dx = 0 + int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x}} , dx = int _ {a} ^ {b} { frac {1} {x log x}} , dx}

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, по обе стороны уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.

Многозначные функции

Многие функции не имеют уникального обратный. Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратные корни положительного числа. Квадратный корень многозначный. По соглашению можно выбрать одно значение в качестве основная стоимость; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для энные корни.

Положительные и отрицательные корни

Следует соблюдать осторожность при приеме квадратный корень обеих сторон равенство. Невыполнение этого требования приводит к «доказательству»^[10] 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

{ displaystyle -20 = -20}

Напишите это как

{ displaystyle 25–45 = 16–36}

Перепишите как

{ displaystyle 5 ^ {2} -5 times 9 = 4 ^ {2} -4 times 9}

Добавлять 81/4 с обеих сторон:

{ displaystyle 5 ^ {2} -5 times 9 + { frac {81} {4}} = 4 ^ {2} -4 times 9 + { frac {81} {4}}}

Это идеальные квадраты:

{ displaystyle left (5 - { frac {9} {2}} right) ^ {2} = left (4 - { frac {9} {2}} right) ^ {2}}

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

{ displaystyle 5 - { frac {9} {2}} = 4 - { frac {9} {2}}}

Добавлять 9/2 с обеих сторон:

{ displaystyle 5 = 4}

Q.E.D.

Ошибка заключается в предпоследней строке, где извлекается квадратный корень из обеих частей: а² = б² только подразумевает а = б если а и б имеют такой же знак, чего здесь нет. В этом случае это означает, что а = –б, поэтому уравнение должно выглядеть так:

{ displaystyle 5 - { frac {9} {2}} = - left (4 - { frac {9} {2}} right)}

который, добавив 9/2 с обеих сторон правильно уменьшается до 5 = 5.

Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество^[11]

{ Displaystyle соз ^ {2} х = 1- грех ^ {2} х}

которое выполняется как следствие теорема Пифагора. Затем, извлекая квадратный корень,

{ Displaystyle соз х = { sqrt {1- грех ^ {2} х}}}

так что

{ displaystyle 1+ cos x = 1 + { sqrt {1- sin ^ {2} x}}.}

Но оценивая это, когда Икс = $π$ мы получаем это

{ displaystyle 1-1 = 1 + { sqrt {1-0}}}

или же

{ displaystyle 0 = 2}

что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

{ Displaystyle х ^ {2} = а ^ {2}}

куда ${ displaystyle a neq 0}$ , имеет два решения:

{ displaystyle x = pm a}

и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме.^[12] В указанном выше заблуждении квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cosИкс положительный. В частности, когда Икс установлен на $π$ , второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни отрицательных чисел

Недействительные доказательства, использующие силы и корни, часто бывают следующего вида:

{ displaystyle 1 = { sqrt {1}} = { sqrt {(-1) (- 1)}} = { sqrt {-1}} { sqrt {-1}} = i cdot i = -1.}

Ошибка в том, что правило ${ displaystyle { sqrt {xy}} = { sqrt {x}} { sqrt {y}}}$ обычно действует, только если оба ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ неотрицательны (при работе с действительными числами), что здесь не так.^[13]

В качестве альтернативы мнимые корни запутываются в следующем:

{ displaystyle i = { sqrt {-1}} = left (-1 right) ^ { frac {2} {4}} = left ( left (-1 right) ^ {2} справа) ^ { frac {1} {4}} = 1 ^ { frac {1} {4}} = 1}

Ошибка здесь заключается в последнем равенстве, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1,^{[заметка 2]} которые равны −1, я и -я (куда я это мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Итак, правильные корни четвертой степени я и -я, которые представляют собой мнимые числа, которые возводятся в квадрат до -1.

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Несостоятельность тождеств силы и логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

{ displaystyle { begin {align} e ^ {2 pi i} & = 1 влево (e ^ {2 pi i} right) ^ {i} & = 1 ^ {i} e ^ {- 2 pi} & = 1 конец {выровнено}}}

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений со сложными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень я выбирается только главное значение. Когда рассматривается как многозначные функции, обе стороны производят одинаковый набор значений, будучи {е^{2 $π$ п} | п ∈ ℤ}.

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрия возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов в плоскости) к действительной идентичности, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Ошибка равнобедренного треугольника

Ошибочность равнобедренного треугольника из (Максвелл 1959, Глава II, § 1), имеет целью показать, что каждый треугольник является равнобедренный, что означает, что две стороны треугольника равны конгруэнтный. Это заблуждение было приписано Льюис Кэрролл.^[14]

Для треугольника △ ABC докажите, что AB = AC:

Нарисуйте линию деление пополам ∠А.
Нарисуйте серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
Проведите линию OR перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
Нарисуйте линии OB и OC.
К ААС, △ RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
К RHS,^{[заметка 3]} △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

Как следствие, можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.

Ошибка доказательства состоит в предположении на диаграмме, что точка O внутри треугольник. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Кроме того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать в AB, а Q будет лежать за пределами переменного тока, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеуказанных факта). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ - QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции.

Существует несколько ошибочных доказательства по индукции в котором один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, индукционные доказательства работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета.^[15]^{[примечание 4]}

Скажем, что любая группа N лошади все одного цвета.
Если мы удалим лошадь из группы, у нас будет группа N - 1 лошадь такого же цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа N лошади. По нашему предыдущему предположению, все лошади в этой новой группе одного цвета, поскольку это группа N лошади.
Таким образом, мы построили две группы N лошади все одного цвета, с N - 1 общая лошадь. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, они должны быть одного цвета.
Следовательно, объединив всех используемых лошадей, мы получим группу N + 1 лошадь одного цвета.
Таким образом, если N лошади все одного цвета, любые N + 1 лошади одного цвета.
Это явно верно для N = 1 (т.е. одна лошадь - это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции N лошади одного цвета для любого положительного целого числа N. т.е. все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. Ибо N = 1, две группы лошадей имеют N - 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа N + 1 = 2 лошади не обязательно одного цвета. Значение "каждый N лошади одного цвета, то N + 1 лошадь одного цвета "работает на любые N > 1, но это не так, когда N = 1. Базовый случай правильный, но индукционный шаг имеет фундаментальный недостаток. Если бы нам дополнительно дали тот факт, что любые две лошади одного цвета, то мы могли бы правильно произвести индукцию из базового случая N = 2.

Смотрите также

Аномальная отмена - арифметическая ошибка
Деление на ноль - Результат, полученный как действительное число при делении на ноль
Список неполных доказательств - Статья со списком Википедии
Математическое совпадение - совпадение по математике
Парадокс - Заявление, которое явно противоречит самому себе
Доказательство запугиванием - Метод убедить кого-то, используя жаргон или заявляя, что он понятен

Примечания

^ То же заблуждение применимо и к следующему:
${ displaystyle { begin {align} { frac {19} {95}} = { frac {19 ! ! ! /} {9 ! ! ! / 5}} & = { frac {1} {5}} { frac {26} {65}} = { frac {26 ! ! ! /} {6 ! ! ! / 5}} & = { frac {2} {5}} { frac {49} {98}} = { frac {49 ! ! ! /} {9 ! ! ! / 8}} & = { frac {4} {8}} = { frac {1} {2}} end {align}}}$
^ В общем, выражение ${ Displaystyle { sqrt [{п}] {1}}}$ оценивает п комплексные числа, называемые пкорни единства.
^ Гипотенуза – конгруэнтность ног
^ Георгий Полиа первоначальным "доказательством" было то, что любое п у девушек глаза такого же цвета.

внешняя ссылка

Недействительные доказательства в Разрезать узел (включая литературные ссылки)
Классические заблуждения с некоторым обсуждением
Больше недействительных доказательств с AhaJokes.com
Математические анекдоты с недействительным доказательством

[7] То же заблуждение применимо и к следующему:
${ displaystyle { begin {align} { frac {19} {95}} = { frac {19 ! ! ! /} {9 ! ! ! / 5}} & = { frac {1} {5}} { frac {26} {65}} = { frac {26 ! ! ! /} {6 ! ! ! / 5}} & = { frac {2} {5}} { frac {49} {98}} = { frac {49 ! ! ! /} {9 ! ! ! / 8}} & = { frac {4} {8}} = { frac {1} {2}} end {align}}}$

[15] В общем, выражение ${ Displaystyle { sqrt [{п}] {1}}}$ оценивает п комплексные числа, называемые пкорни единства.

[17] Гипотенуза – конгруэнтность ног

[19] Георгий Полиа первоначальным "доказательством" было то, что любое п у девушек глаза такого же цвета.

[:0-1] а ^б «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - математическая ошибка». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-10-24.

[2] Максвелл 1959, п. 9

[3] Максвелл 1959

[4] Хит и Хелберг 1908, Глава II, §I

[5] Барбо, Эд (1991). "Заблуждения, недостатки и вздор" (PDF). Математический журнал колледжа. 22 (5). ISSN 0746-8342.

[6] "Мягкий вопрос - Лучшие фальшивые доказательства? (Коллекция, посвященная Дню дураков от M.SE)". Обмен стеками математики. Получено 2019-10-24.

[8] Максвелл 1959

[9] Хойзер, Харро (1989), Lehrbuch der Analysis - часть 1 (6-е изд.), Teubner, p. 51, ISBN 978-3-8351-0131-9

[10] Барбо, Эд (1990), "Заблуждения, недостатки и вздор № 19: Теорема Долта", Математический журнал колледжа, 21 (3): 216–218

[11] Frohlichstein, Джек (1967). Математические развлечения, игры и головоломки (иллюстрированный ред.). Курьерская корпорация. п. 207. ISBN 0-486-20789-7. Отрывок страницы 207

[12] Максвелл 1959, Глава VI, §I.1

[13] Максвелл 1959, Глава VI, §II

[14] Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: История "я". Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Выдержка страницы 12

[16] Робин Уилсон (2008), Льюис Кэрролл в Numberland, Penguin Books, стр. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8

[18] Полиа, Джордж (1954). Индукция и аналогия в математике. Математика и правдоподобные рассуждения. 1. Принстон. п. 120.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[заметка 2]

[14]

[заметка 3]

[15]

[примечание 4]