Математическое совпадение - Mathematical coincidence

А математическое совпадение считается, что это происходит, когда два выражения, не имеющие прямого отношения, показывают почти равенство, которое не имеет очевидного теоретического объяснения.

Например, есть почти равенство, близкое к круглое число 1000 между степенями 2 и 10:

${ displaystyle 2 ^ {10} = 1024 приблизительно 1000 = 10 ^ {3}.}$

Некоторые математические совпадения используются в инженерное дело когда одно выражение воспринимается как приближение другого.

Вступление

Математическое совпадение часто связано с целое число, и удивительной особенностью является то, что настоящий номер возникновение в некотором контексте рассматривается некоторыми стандартами как "близкое" приближение к малому целому числу или к кратному или степени десяти, или, в более общем смысле, к Рациональное число с небольшим знаменатель. Также могут быть рассмотрены другие виды математических совпадений, такие как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, казалось бы, несвязанным критериям, или совпадения в отношении единиц измерения. В классе совпадений чисто математического характера некоторые просто являются результатом иногда очень глубоких математических фактов, в то время как другие, кажется, возникают «неожиданно».

Учитывая счетно бесконечный количество способов формирования математических выражений с использованием конечного числа символов, количество используемых символов и точность примерное равенство может быть наиболее очевидным способом оценки математических совпадений; но стандарта нет, а сильный закон малых чисел это то, к чему нужно обращаться без формального противостоящего математического руководства.^{[нужна цитата ]} Помимо этого, некоторое ощущение математическая эстетика могут быть использованы для определения ценности математического совпадения, и на самом деле существуют исключительные случаи, имеющие истинное математическое значение (см. Постоянная Рамануджана ниже, который был напечатан несколько лет назад как научный Первоапрельские розыгрыши' шутить^[1]). В целом, однако, их обычно следует рассматривать из-за их любознательности или, возможно, для поощрения новых изучающих математику на элементарном уровне.

Некоторые примеры

Рациональные аппроксимации

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Это объяснимо большими терминами в непрерывная дробь представление иррационального значения, но дальнейшее понимание того, почему возникают такие невероятно большие члены, часто недоступно.

Рациональные аппроксимации (подходящие дроби непрерывных дробей) к отношениям логарифмов различных чисел также часто используются, делая совпадения между степенями этих чисел.^[2]

Многие другие совпадения представляют собой комбинации чисел, которые приводят их в форму, которую такие рациональные приближения обеспечивают близкие отношения.

Относительно π

• Второй сходящийся из π, [3; 7] = 22/7 = 3,1428 ..., было известно Архимед,^[3] и составляет около 0,04%. Четвертая сходящаяся к π, [3; 7, 15, 1] ​​= 355/113 = 3,1415929 ..., найдено Цзу Чунчжи,^[4] правильно до шести знаков после запятой;^[3] такая высокая точность возникает из-за того, что π имеет необычно большой следующий член в его представлении непрерывной дроби: π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].^[5]
• Совпадение с участием π и Золотое сечение φ определяется как ${ displaystyle pi приблизительно 4 / { sqrt { varphi}} = 3,1446 точек}$. Это связано с Треугольники Кеплера. Некоторые считают, что то или иное из этих совпадений можно найти в Великая пирамида в Гизе, но маловероятно, что это было сделано намеренно.^[6]
• Есть последовательность шесть девяток в пи который начинается с 762-го знака после запятой десятичного представления числа пи. Для случайно выбранного нормальный номер вероятность того, что любая выбранная числовая последовательность из шести цифр (включая 6 из числа, 658 020 и т.п.) появится на этой ранней стадии в десятичном представлении, составляет всего 0,08%. Предполагается, но не известно, что Пи является нормальным числом.
• ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} { pi / 2}} приблизительно 0,9}$, исправьте до 0,03%. Отношение периметра вписанного квадрата к длине окружности, в которую он вписан.
• ${ displaystyle tan ^ {- 1} left ({ frac { pi} {2}} right) приблизительно 1,}$ исправить до 0,39%.
• ${ displaystyle pi !! приблизительно 66425/9;}$ с точностью до 5 знаков после запятой

По поводу базы 2

• Совпадение ${ displaystyle 2 ^ {10} = 1024 приблизительно 1000 = 10 ^ {3}}$, правильно до 2,4%, относится к рациональному приближению ${ displaystyle textstyle { frac { log 10} { log 2}} приблизительно 3,3219 приблизительно { frac {10} {3}}}$, или же ${ displaystyle 2 приблизительно 10 ^ {3/10}}$ с точностью до 0,3%. Это соотношение используется в инженерии, например, для приближения коэффициента два в мощность как 3дБ (актуально 3,0103 дБ - см. Точка половинной мощности ), или связать кибибайт к килобайт; видеть двоичный префикс.^[7][8]
• Это совпадение также можно выразить как ${ displaystyle 128 = 2 ^ {7} приблизительно 5 ^ {3} = 125}$ (исключая общий фактор ${ displaystyle 2 ^ {3}}$, поэтому тоже правильно до 2,4%), что соответствует рациональному приближению ${ displaystyle textstyle { frac { log 5} { log 2}} приблизительно 2,3219 приблизительно { frac {7} {3}}}$, или же ${ displaystyle 2 приблизительно 5 ^ {3/7}}$ (также с точностью до 0,3%). Это вызывается, например, в Скорость затвора настройки камер в виде приближения к степеням двойки (128, 256, 512) в последовательности скоростей 125, 250, 500 и т. д.,^[2] и в оригинале Кто хочет стать миллионером? игровое шоу в вопросе оценивается ... 16 000 фунтов стерлингов, 32 000 фунтов стерлингов, 64 000 фунтов стерлингов, £125,000, £250,000,...

Относительно музыкальных интервалов

• Совпадение ${ displaystyle 2 ^ {19} приблизительно 3 ^ {12}}$, из ${ displaystyle { frac { log 3} { log 2}} приблизительно 1,5849 точек приблизительно { frac {19} {12}}}$ приводит к наблюдению, обычно используемому в Музыка связать настройку 7 полутоны из равный темперамент к идеальный пятый из просто интонация: ${ displaystyle 2 ^ {7/12} приблизительно 3/2;}$, исправьте примерно до 0,1%. Только пятая - основа Пифагорейский тюнинг и самые известные системы музыки. Из последующего приближения ${ displaystyle {(3/2)} ^ {12} приблизительно 2 ^ {7},}$ следует, что круг пятых заканчивается семь октавы выше происхождения.^[2]
• Совпадение ${ displaystyle { sqrt [{12}] {2}} { sqrt [{7}] {5}} = 1,33333319 ldots приблизительно { frac {4} {3}}}$ приводит к рациональная версия из 12-ТЕТ, как отмечает Иоганн Кирнбергер.^{[нужна цитата ]}
• Совпадение ${ displaystyle { sqrt [{8}] {5}} { sqrt [{3}] {35}} = 4,00000559 ldots приблизительно 4}$ приводит к рациональной версии четверть запятой означает один темперамент.^{[нужна цитата ]}
• Совпадение ${ displaystyle { sqrt [{9}] {0,6}} { sqrt [{28}] {4.9}} = 0,99999999754 ldots приблизительно 1}$ приводит к очень крошечному интервалу ${ displaystyle 2 ^ {9} 3 ^ {- 28} 5 ^ {37} 7 ^ {- 18}}$ (Об миллисент широкий), что является первым 7-предел интервал закалился в 103169-TET.^{[требуется разъяснение ][нужна цитата ]}
• Совпадение степеней двойки, приведенное выше, приводит к приближению, что три основные трети соединяются с октавой, ${ displaystyle {(5/4)} ^ {3} приблизительно {2/1}}$. Это и подобные ему приближения в музыке называются Dieses.

Числовые выражения

Что касается полномочий π

• ${ displaystyle pi ^ {2} около 10;}$ исправить примерно до 1,3%.^[9] Это можно понять в терминах формулы для дзета-функция ${ Displaystyle zeta (2) = pi ^ {2} / 6.}$^[10] Это совпадение было использовано при проектировании правила слайдов, где «сложенные» весы сложены на ${ displaystyle pi}$ скорее, чем ${ displaystyle { sqrt {10}},}$ потому что это более полезное число, и весы складываются примерно в одном и том же месте.^{[нужна цитата ]}
• ${ displaystyle pi ^ {2} приблизительно 227/23,}$ исправить до 0,0004%.^[9]
• ${ displaystyle pi ^ {3} приблизительно 31,}$ исправить до 0,02%.^[11]
• ${ displaystyle pi ^ {4} приблизительно 2143/22;}$ или же ${ displaystyle pi приблизительно left (9 ^ {2} + { frac {19 ^ {2}} {22}} right) ^ {1/4},}$ с точностью до 8 знаков после запятой (из-за Рамануджан: Ежеквартальный математический журнал, XLV, 1914, стр. 350–372).^[12] Рамануджан заявляет, что это «любопытное приближение» к ${ displaystyle pi}$ был «получен эмпирически» и не имеет никакого отношения к теории, развиваемой в оставшейся части статьи.
• Некоторые правдоподобные соотношения сохраняются с высокой степенью точности, но, тем не менее, являются случайными. Одним из примеров является

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos (2x) prod _ {n = 1} ^ { infty} cos left ({ frac {x} {n}} right) mathrm {d} x приблизительно { frac { pi} {8}}.}$

Две стороны этого выражения различаются только после 42-го десятичного знака.^[13]

Касательно е

• ${ Displaystyle е приблизительно 2 ^ {{(5/2)} ^ {(2/5)}},}$ исправить до 0,0003%.
• ${ displaystyle { frac {e} {3}} приблизительно { frac {907} {1001}},}$ исправить до 36 частей на миллион.
• ${ displaystyle e ^ {1 / e} приблизительно { frac {13} {9}},}$ исправить до 0,015%.
• ${ displaystyle e ^ {3} около 20,}$ правильно до 0,43%.

Содержит оба π и е

• ${ Displaystyle 2 пи + е приблизительно 9}$, с погрешностью всего 0,01%.
• ${ displaystyle pi ^ {4} + pi ^ {5} приблизительно e ^ {6}}$, в пределах 0,000 005%^[12]
• ${ displaystyle left ({ frac { pi} {2}} - ln left ({ frac {3 pi} {2}} right) right) 42 pi приблизительно e}$, в пределах 0,000 000 03% ^[14]
• ${ displaystyle { sqrt { frac {e} {( pi -e) ^ {3/2}}}} приблизительно pi}$, в пределах 0,000 06% ^[15]
• ${ displaystyle exp left ( left ({ frac { pi} {2}} right) ^ { frac { pi -e} { sqrt {2}}} right) приблизительно pi }$, в пределах 0,000 02%
• ${ displaystyle left ({ frac { varphi} {e ^ { pi} - pi ^ {e}}} right) ^ { frac { pi} {e}} приблизительно e}$, в пределах 0,07%
• ${ displaystyle {3} ^ { frac { pi + e} {4}} приблизительно {5}}$, ошибка приблизительно 0,000 538% (Джозеф Кларк, 2015)
• ${ displaystyle e ^ { pi} - pi приблизительно 20}$в пределах 0,005% (Conway, Sloane, Plouffe, 1988); это эквивалентно ${ displaystyle ( pi +20) ^ {i} = - 0,9999999992 ldots -i cdot 0,000039 ldots приблизительно -1}$^[12]
• ${ displaystyle pi ^ {3 ^ {2}} / e ^ {2 ^ {3}} приблизительно 10}$, в пределах 0,002%^[12]
• ${ textstyle e ^ {- { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 4 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 9 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 16 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 25 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 36 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 49 { frac { pi} {9}}} + e ^ {- 64 { frac { pi} {9}}} = 1.00000000000105 ... приблизительно 1}$. Фактически, это обобщает приблизительное тождество:${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} {e ^ {- { frac {k ^ {2} pi} {n}}}} приблизительно { frac {-1+ { sqrt {n}}} {2}}}$ что можно объяснить Якобиан тета-функциональная идентичность.^[16][17][18]
• Постоянная Рамануджана: ${ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}} приблизительно (2 ^ {6} cdot 10005) ^ {3} +744}$, в ${ Displaystyle 2.9 cdot 10 ^ {- 28} \%}$, открытый в 1859 г. Чарльз Эрмит.^[19] Это очень близкое приближение не является типичным случайный математическое совпадение, при котором математическое объяснение неизвестно или не ожидается (как и в случае с большинством других здесь). Это следствие того, что 163 - это Число Хегнера.

Прочие числовые курьезы

• ${ displaystyle 10! = 6! cdot 7! = 1! cdot 3! cdot 5! cdot 7!}$.^[20]
• ${ displaystyle 6! = 5! cdot 3!}$
• ${ displaystyle { sqrt {7! +1}} = 71}$
• ${ displaystyle , 2 ^ {3} = 8}$ и ${ displaystyle 3 ^ {2} = 9}$ являются единственными нетривиальными (т.е. по крайней мере квадратными) последовательными степенями натуральных чисел (Гипотеза Каталана ).
• ${ Displaystyle , 4 ^ {2} = 2 ^ {4}}$ единственное положительное целое решение ${ displaystyle a ^ {b} = b ^ {a}}$ , при условии, что ${ displaystyle a neq b}$^[21] (видеть W-функция Ламберта для формального метода решения)
• В Число Фибоначчи F₂₉₆₁₈₂ это (вероятно) полупервичный, поскольку F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L₁₄₈₀₉₁ куда F₁₄₈₀₉₁ (30949 цифр) и Число Лукаса L₁₄₈₀₉₁ (30950 цифр) одновременно вероятные простые числа.^[22]
• При обсуждении проблема дня рождения, номер ${ displaystyle lambda = { frac {1} {365}} {23 choose 2} = { frac {253} {365}}}$ происходит, что "забавно" равно ${ Displaystyle ln (2)}$ до 4 цифр.^[23]
• Целые числа от 1 до 10 делят число, которое находится на том же расстоянии от них, что и расстояние между их факториалом и следующим наименьшим квадратным числом. Для этого нет строгих причин, и это справедливо хаотично для числа 11 и целых чисел над ним. ^[24]

Десятичные совпадения

• ${ displaystyle 3 ^ {3} + 4 ^ {4} + 3 ^ {3} + 5 ^ {5} = 3435}$, что делает 3435 единственным нетривиальным Число Мюнхгаузена в базе 10 (исключая 0 и 1). Если принять соглашение, что ${ displaystyle 0 ^ {0} = 0}$однако тогда 438579088 - это еще один номер Мюнхгаузена.^[25]
• ${ displaystyle , 1! +4! +5! = 145}$ и ${ displaystyle , 4! +0! +5! +8! +5! = 40585}$ единственные нетривиальные фабрики в базе 10 (исключая 1 и 2).^[26]
• ${ displaystyle { frac {16} {64}} = { frac {1 ! ! ! not 6} { not 64}} = { frac {1} {4}}}$,    ${ displaystyle { frac {26} {65}} = { frac {2 ! ! ! not 6} { not 65}} = { frac {2} {5}}}$,    ${ displaystyle { frac {19} {95}} = { frac {1 ! ! ! not 9} { not 95}} = { frac {1} {5}}}$, и${ displaystyle { frac {49} {98}} = { frac {4 ! ! ! not 9} { not 98}} = { frac {4} {8}}}$. Если конечный результат этих четырех аномальные отмены^[27] умножаются, их произведение уменьшается ровно до 1/100.
• ${ Displaystyle , (4 + 9 + 1 + 3) ^ {3} = 4913}$, ${ Displaystyle , (5 + 8 + 3 + 2) ^ {3} = 5832}$, и ${ Displaystyle , (1 + 9 + 6 + 8 + 3) ^ {3} = 19683}$.^[28] (В том же духе, ${ Displaystyle , (3 + 4) ^ {3} = 343}$.)^[29]
• ${ displaystyle , - 1 + 2 ^ {7} = 127}$, что делает 127 самых маленьких красивых Число Фридмана. Аналогичный пример ${ Displaystyle 2 ^ {5} cdot 9 ^ {2} = 2592}$.^[30]
• ${ displaystyle , 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3} = 153}$, ${ displaystyle , 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 0 ^ {3} = 370}$, ${ displaystyle , 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 1 ^ {3} = 371}$, и ${ displaystyle , 4 ^ {3} + 0 ^ {3} + 7 ^ {3} = 407}$ все нарциссические числа.^[31]
• ${ displaystyle , 588 ^ {2} + 2353 ^ {2} = 5882353}$,^[32] простое число. Дробь 1/17 также дает 0,05882353 при округлении до 8 цифр.
• ${ displaystyle , 2 ^ {1} + 6 ^ {2} + 4 ^ {3} + 6 ^ {4} + 7 ^ {5} + 9 ^ {6} + 8 ^ {7} = 2646798}$. Наибольшее число с этим шаблоном - ${ displaystyle , 1 ^ {1} + 2 ^ {2} + 1 ^ {3} + 5 ^ {4} + 7 ^ {5} + 6 ^ {6} + 9 ^ {7} + 2 ^ { 8} + 6 ^ {9} + 2 ^ {10} + 2 ^ {11} + 0 ^ {12} + 3 ^ {13} + 9 ^ {14} + 6 ^ {15} + 2 ^ {16} + 3 ^ {17} + 5 ^ {18} + 3 ^ {19} + 9 ^ {20} = 12157692622039623539}$.^[33]
• ${ Displaystyle грех (666 ^ { circ}) = соз (6 cdot 6 cdot 6 ^ { circ}) = - varphi / 2}$ (куда ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение ), и ${ Displaystyle , фи (666) = 6 cdot 6 cdot 6}$ (куда ${ displaystyle phi}$ является Функция Эйлера ).^[34]

Числовые совпадения чисел из физического мира

Скорость света

В скорость света составляет (по определению) ровно 299 792 458 м / с, что очень близко к 300 000 000 м / с. Это чистое совпадение, поскольку метр был первоначально определен как 1/10 000 000 расстояния между полюсом Земли и экватором вдоль поверхности на уровне моря, а окружность Земли составляет около 2/15 световой секунды.^[35] Это также примерно равно одному футу на наносекунду (фактическое число составляет 0,9836 футов / нс).

Диаметр Земли

Полярный диаметр Земли равен полмиллиарда дюймов с точностью до 0,1%.^[36]

Угловые диаметры Солнца и Луны

Как видно с Земли, угловой диаметр из солнце варьируется от 31′27 ″ до 32′32 ″, в то время как Луна составляет от 29′20 ″ до 34′6 ″. Тот факт, что интервалы перекрываются (первый интервал содержится во втором), является совпадением и имеет значение для типов солнечные затмения что можно наблюдать с Земли.

Гравитационное ускорение

Хотя не постоянно, но меняется в зависимости от широта и высота, числовое значение ускорение, вызванное гравитацией Земли на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что довольно близко к 10. Это означает, что в результате Второй закон Ньютона, вес килограмма массы на поверхности Земли примерно соответствует 10 ньютоны силы, приложенной к объекту.^[37]

Это связано с вышеупомянутым совпадением, что квадрат числа пи близок к 10. Одним из первых определений метра была длина маятника, период полувыведения которого равнялся одной секунде. Поскольку период полного поворота маятника аппроксимируется приведенным ниже уравнением, алгебра показывает, что если бы это определение сохранялось, ускорение свободного падения, измеренное в метрах в секунду в секунду, было бы точно равно ${ displaystyle pi ^ {2}}$.^[38]

${ displaystyle T приблизительно 2 pi { sqrt { frac {L} {g}}}}$

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли была очень близка к 40 000 000 раз больше этого значения, метр был переопределенный чтобы отразить это, поскольку это был более объективный стандарт (потому что ускорение свободного падения меняется по поверхности Земли). Это привело к увеличению длины измерителя менее чем на 1%, что находилось в пределах экспериментальной ошибки того времени.^{[нужна цитата ]}

Еще одно совпадение, связанное с ускорением свободного падения. грамм это то, что его значение составляет примерно 9,8 м / с² равно 1,03световой год /год², числовое значение которого близко к 1. Это связано с тем, что грамм близко к 10 дюймам Единицы СИ (РС²), как упоминалось выше, в сочетании с тем фактом, что количество секунд в году оказывается близко к числовому значению c/ 10, с c то скорость света в м / с. На самом деле это не имеет ничего общего с СИ, поскольку с / г = 354 дня, почти и 365/354 = 1,03.

Постоянная Ридберга

В Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к ${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {3}} times 10 ^ {15} { text {Hz}}}$:^[35]

${ displaystyle { underline {3.2898}} 41960364 (17) times 10 ^ {15} { text {Hz}} = R _ { infty} c}$^[39]

${ displaystyle { underline {3.2898}} 68133696 ldots = { frac { pi ^ {2}} {3}}}$

Преобразование в метрические единицы в США

Как обнаружил Рэндалл Манро, кубическая миля близка к ${ displaystyle { frac {4} {3}} pi}$ кубических километров (в пределах 0,5%). Это означает, что сфера радиуса п километры имеют почти такой же объем, что и куб с длиной сторон п миль.^[40][41]

Отношение мили к километру приблизительно равно Золотое сечение. Как следствие, Число Фибоначчи миль - это примерно следующее число километров по Фибоначчи.

Хотя это не совсем совпадение метрического преобразования, соотношение сторон бумаги для писем США близко к ${ displaystyle { frac { pi} {4}}}$ (в пределах 2%) при соотношении A4 ${ Displaystyle соз ({ гидроразрыва { pi} {4}})}$^[42]

Постоянная тонкой структуры

В постоянная тонкой структуры ${ displaystyle alpha}$ близко к ${ displaystyle { frac {1} {137}}}$ и когда-то предполагалось, что ${ displaystyle { frac {1} {137}}}$.^[43]

${ displaystyle alpha = { frac {1} {137.035999074 dots}}}$

Хотя это совпадение не так сильно, как у некоторых других в этом разделе, примечательно, что ${ displaystyle alpha}$ это безразмерная физическая постоянная, так что это совпадение не является артефактом используемой системы единиц.

Планета земля

Радиус геостационарная орбита, 42 164 км (26 199 миль) находится в пределах 0,02% от изменение расстояния до Луны за месяц (разница между его апогеем и перигеем), 42 171 км (26 204 мили) и 5% погрешность длины экватор, 40 075 километров (24 901 миль). Точно так же земные космическая скорость составляет 40270 км / ч (25020 миль / ч).

Минимальное, среднее и максимальное расстояния от Луны до Земли с ее угловым диаметром, если смотреть с поверхности Земли, в масштабе

Смотрите также

• Почти целое
• Антропный принцип
• Проблема дня рождения
• Исключительный изоморфизм
• Нарциссическое число
• Экспериментальная математика
• Треугольник Кеплера # Математическое совпадение
• Формула Койде

Рекомендации

внешняя ссылка

• (на русском) В. Левшин. - Магистр рассеянных наук. - Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
• Харди, Г. Х. – Извинения математика. - Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 1993, (ISBN  0-521-42706-1)
• Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое». MathWorld.
• Различные математические совпадения в разделе "Наука и математика" на сайте futilitycloset.com
• Press, W.H., На первый взгляд замечательные математические совпадения легко генерировать
• Машина Рамануджана: автоматически генерируемые гипотезы о фундаментальных константах