Десятичный логарифм - Common logarithm

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Десятичный логарифм»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

График десятичного логарифма чисел от 0,1 до 100.

В математика, то десятичный логарифм это логарифм с основанием 10.^[1] Он также известен как десятичный логарифм и как десятичный логарифм, названный в честь его основания, или Бриггсовский логарифм, после Генри Бриггс, английский математик, который первым применил его, а также стандартный логарифм. Исторически он был известен как десятичный логарифм^[2] или логарифм десятичный.^[3] Обозначается логом (Икс),^[4][5] бревно₁₀(Икс),^[6] или иногда Журнал (Икс) с большой буквы L (однако это обозначение неоднозначно, так как оно также может означать комплексный натуральный логарифмический многозначная функция ). На калькуляторах он печатается как «журнал», но математики обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2.71828), а не десятичный логарифм, когда пишут "журнал". Чтобы смягчить эту двусмысленность, Спецификация ISO 80000 рекомендует журнал₁₀(Икс) следует писать lg (Икс), и журнал_е(Икс) должно быть ln (Икс).

Страница из таблицы десятичных логарифмов. На этой странице показаны логарифмы чисел от 1000 до 1500 с точностью до пяти знаков после запятой. Полная таблица охватывает значения до 9999.

До начала 1970-х портативные электронные калькуляторы не были доступны, и механические калькуляторы способные к размножению были громоздкими, дорогими и малодоступными. Вместо, столы логарифмов по основанию 10 использовались в науке, технике и навигации - когда вычисления требовали большей точности, чем можно было бы достичь с помощью логарифмическая линейка. Превратив умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам операций умножения и деления на бумаге и карандаше.^[1] Поскольку логарифмы были так полезны, столы логарифмов с основанием 10 приведены в приложениях многих учебников. Математические и навигационные справочники включают таблицы логарифмов тригонометрические функции также.^[7] Историю таких таблиц см. таблица журнала.

Мантисса и характеристика

Важное свойство логарифмов по основанию 10, которое делает их столь полезными при вычислениях, заключается в том, что логарифм чисел больше 1, различающихся в степени 10, имеют одинаковую дробную часть. Дробная часть известна как мантисса.^{[8][примечание 1]} Таким образом, в таблицах журналов должна отображаться только дробная часть. В таблицах десятичных знаков обычно указывается мантисса с точностью до четырех или пяти десятичных знаков после запятой каждого числа в диапазоне, например от 1000 до 9999.

Целая часть, называемая характеристика, можно вычислить, просто посчитав, на сколько знаков следует переместить десятичную запятую, чтобы она находилась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 определяется следующим расчетом:

${ displaystyle log _ {10} (120) = log _ {10} left (10 ^ {2} times 1,2 right) = 2 + log _ {10} (1,2) приблизительно 2 + 0,07918 .}$

Последнее число (0,07918) - дробная часть или мантисса десятичного логарифма 120 - можно найти в представленной таблице. Расположение десятичной точки в 120 говорит нам, что целая часть десятичного логарифма 120, характеристики, равна 2.

Отрицательные логарифмы

Положительные числа меньше 1 имеют отрицательный логарифм. Например,

${ displaystyle log _ {10} (0,012) = log _ {10} left (10 ^ {- 2} times 1,2 right) = - 2+ log _ {10} (1,2) приблизительно - 2 + 0,07918 = -1,92082.}$

Чтобы избежать необходимости в отдельных таблицах для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целочисленную характеристику плюс положительная мантисса. Для облегчения этого используются специальные обозначения, называемые штриховая запись, используется:

${ displaystyle log _ {10} (0,012) приблизительно -2 + 0,07918 = { bar {2}}. 07918.}$

Полоса над характеристикой указывает, что она отрицательная, в то время как мантисса остается положительной. При чтении вслух числа в виде штриховых обозначений символ ${ displaystyle { bar {n}}}$ читается как "бар n", так что ${ displaystyle { bar {2}}. 07918}$ читается как «столбец 2, точка 07918…».

В следующем примере используется обозначение столбцов для вычисления 0,012 × 0,85 = 0,0102:

${ displaystyle { begin {array} {rll} { text {Как указано выше,}} & log _ {10} (0,012) приблизительно { bar {2}}. 07918 { text {Поскольку }} ; ; log _ {10} (0.85) & = log _ {10} left (10 ^ {- 1} times 8.5 right) = - 1+ log _ {10} (8.5 ) & приблизительно -1 + 0,92942 = { bar {1}}. 92942 log _ {10} (0,012 times 0,85) & = log _ {10} (0,012) + log _ {10} (0,85) & приблизительно { bar {2}}. 07918 + { bar {1}}. 92942 & = (- 2 + 0,07918) + (- 1 + 0,92942) & = - (2 + 1) + (0,07918 + 0,92942) & = - 3 + 1,00860 & = - 2 + 0,00860 ; ^ {*} & приблизительно log _ {10} left (10 ^ {- 2} right) + log _ {10} (1.02) & = log _ {10} (0,01 times 1.02) & = log _ {10} (0,0102). end {array}}}$

* Этот шаг устанавливает мантиссу между 0 и 1, так что ее антилогарифм (10^{мантисса}) можно посмотреть.

В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, различающихся степенью десяти:

Обратите внимание, что мантисса является общей для всех 5 × 10^я. Это верно для любого положительного настоящий номер ${ displaystyle x}$ потому что

${ displaystyle log _ {10} left (x times 10 ^ {i} right) = log _ {10} (x) + log _ {10} left (10 ^ {i} right ) = log _ {10} (x) + i.}$

поскольку ${ displaystyle i}$ константа, мантисса происходит от ${ Displaystyle журнал _ {10} (х)}$, которая постоянна для данного ${ displaystyle x}$. Это позволяет таблица логарифмов чтобы включить только одну запись для каждой мантиссы. В примере 5 × 10^я, 0,698 970 (004 336 018 ...) будет отображаться после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. Д.).

Цифры размещены на логарифмическая линейка масштабируется на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Если механически прибавить расстояние от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале, можно быстро определить, что 2 × 3 = 6.

История

Десятичные логарифмы иногда также называют «бриггсовскими логарифмами» после Генри Бриггс, британский математик 17 века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джон Напье в Эдинбург, изобретатель того, что сейчас называется натуральным (основанием-е) логарифмом, чтобы предложить изменение логарифмов Напьера. В ходе этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; и по возвращении из своего второго визита он опубликовал первый тысяча его логарифмов.

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали "log (Икс) "когда они имели в виду журнал₁₀(Икс). С другой стороны, математики писали "журнал (Икс) "когда они имели в виду журнал_е(Икс) натуральный логарифм. Сегодня встречаются оба обозначения. Поскольку портативные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало общепринятым использовать обозначения инженеров. Итак, обозначение, согласно которому пишут «лн (Икс) «когда подразумевается натуральный логарифм, возможно, дальнейшая популяризация была связана с тем самым изобретением, которое сделало использование« десятичных логарифмов »гораздо менее распространенным - электронных калькуляторов.

Числовое значение

Ключи логарифма (бревно для базы-10 и пер для базы-е) на обычном научном калькуляторе. Появление портативных калькуляторов в значительной степени устранило использование десятичных логарифмов в качестве вспомогательных средств для вычислений.

Числовое значение логарифма с основанием 10 можно вычислить с помощью следующего тождества.^[6]

${ displaystyle log _ {10} (x) = { frac { ln (x)} { ln (10)}} qquad { text {или}} qquad log _ {10} (x ) = { frac { log _ {2} (x)} { log _ {2} (10)}}}$

поскольку существуют процедуры для определения численного значения для основание логарифма е (увидеть Натуральный логарифм § Числовое значение ) и логарифм по основанию 2 (увидеть Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).

Смотрите также

• Двоичный логарифм
• Кологарифм
• Децибел
• Логарифмическая шкала
• Мантисса (число с плавающей запятой)
• Логарифм Напьера

Примечания

использованная литература

Список используемой литературы

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Мёзер, Майкл (2009). Инженерная акустика: введение в контроль шума. Springer. п. 448. ISBN  978-3-540-92722-8.
• Полиянин Андрей Дмитриевич; Манжиров, Александр Владимирович (2007) [2006-11-27]. Справочник по математике для инженеров и ученых. CRC Press. п. 9. ISBN  978-1-58488-502-3.

внешняя ссылка

• «Бриггсовские логарифмы». PlanetMath. включает подробный пример использования таблиц логарифма