Доказательство примером - Proof by example

В логика и математика, доказательство примером (иногда известный как неуместное обобщение) это логическая ошибка посредством чего обоснованность утверждения иллюстрируется одним или несколькими примерами или случаями, а не полноценным доказательством.^[1][2][3]

Структура, форма аргумента и формальная форма доказательства на примере обычно выглядит следующим образом:

Структура:

я знаю это Икс это так.

Поэтому все, что связано с Икс тоже такое.

Форма аргумента:

Я знаю, что x, входящий в группу X, обладает свойством P.

Следовательно, все остальные элементы X должны обладать свойством P.^[3]

Формальная форма:

${displaystyle существует x: P (x) ;; vdash ;; для всех x: P (x)}$

Следующий пример демонстрирует, почему эта аргументация является логической ошибкой:

Я видел, как человек застрелил кого-то мертвым.

Следовательно, все люди убийцы.

Ошибка в этом аргументе очень очевидна, но аргументы одной и той же формы иногда могут показаться несколько убедительными, как показывает следующий пример:

Я видел, как националисты преследуют иммигрантов.

Следовательно, националисты должны быть преследователями.

В общепринятом дискурсе доказательство примером может также использоваться для описания попытки установить утверждение с использованием статистически незначимый Примеры. В этом случае ценность каждого аргумента, возможно, придется оценивать на индивидуальной основе.^[4]

Действительные случаи доказательства на примере

В некоторых сценариях аргумент на примере может быть действительным, если он ведет от единственной предпосылки к экзистенциальный заключение (т.е. доказательство того, что утверждение верно хотя бы для одного случая, а не для всех случаев). Например:

Сократ мудр.

Следовательно, кто-то мудр.

(или)

Я видел, как человек ворует.

Следовательно, (некоторые) люди могут воровать.

Эти примеры описывают неформальную версию логического правила, известного как экзистенциальное введение, также известный как детализация или экзистенциальное обобщение:

Экзистенциальное введение

${displaystyle {underline {varphi (eta / alpha)}} ,!}$

${displaystyle существует alpha, varphi,!}$

(куда ${displaystyle varphi (eta / alpha)}$ обозначает формулу, образованную заменой всех бесплатные вхождения переменной ${displaystyle alpha}$ в ${displaystyle varphi}$ к ${displaystyle eta}$.)

В математике доказательство примером может также использоваться для обозначения попыток проиллюстрировать утверждение путем доказательства случаев утверждения, с пониманием того, что эти случаи содержат ключевые идеи, которые могут быть обобщены в полноценное доказательство.^[1][5]

Смотрите также

• Утверждая следствие
• Смехотворное проишествие
• Байесовская вероятность
• Контрпример
• Машет рукой
• Индуктивное мышление
  • Проблема индукции
• Modus ponens
• Доказательство построением
• Доказательство запугиванием

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бенджамин Матшке: Достоверные доказательства математическим примером (arXiv)