Равнобедренный треугольник - Isosceles triangle

Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник с вертикальной осью симметрии
Тип	треугольник
Края и вершины	3
Символ Шлефли	( ) ∨ { }
Группа симметрии	Dih2, [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый, циклический

В геометрия, равнобедренный треугольник это треугольник имеющий две стороны равной длины. Иногда указывается как имеющий точно две стороны равной длины, а иногда и имеющие по меньшей мере две стороны равной длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как особый случай. Примеры равнобедренных треугольников: равнобедренный прямоугольный треугольник, то золотой треугольник, и лица бипирамиды и некоторые Каталонские твердые вещества.

Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетская математика и Вавилонская математика. Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще раньше и часто встречаются в архитектуре и дизайне, например, в фронтоны и фронтоны зданий.

Две равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием треугольника. Другие размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, могут быть рассчитаны по простым формулам, исходя из длин сторон и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии вдоль оси. серединный перпендикуляр своей базы. Два угла напротив ног равны и всегда равны острый, поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между двумя его сторонами.

Терминология, классификация и примеры

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник с двумя равными сторонами,^[1] но современные методы лечения предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие как минимум две равные стороны. Разница между этими двумя определениями состоит в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) частным случаем равнобедренных треугольников.^[2] Неравнобедренный треугольник (имеющий три неравные стороны) называется неравносторонний.^[3]«Равнобедренный» сделан из Греческие корни «isos» (равный) и «skelos» (нога). Это же слово используется, например, для равнобедренные трапеции, трапеции с двумя равными сторонами,^[4] и для равнобедренные наборы, множества точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник.^[5]

В равнобедренном треугольнике, у которого ровно две равные стороны, равные стороны называются ноги а третья сторона называется основание. Угол между ножками называется углом. угол при вершине а углы, основание которых является одной из сторон, называются базовые углы.^[6] Вершина напротив основания называется вершиной вершина.^[7] В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любую сторону можно назвать основанием.^[8]

Специальные равнобедренные треугольники

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Три одинаковых вписанных квадрата в Треугольник Калаби

А золотой треугольник разделен на меньший золотой треугольник и золотой гномон

В треугольная плитка Triakis

Каталонские тела с гранями равнобедренного треугольника

Тетраэдр Триаки

Октаэдр Триаки

Шестигранник Тетракис

Додекаэдр пентакиса

Триакис икосаэдр

Является ли равнобедренный треугольник острый, правый или тупой зависит только от угла при его вершине. В Евклидова геометрия, базовые углы не могут быть тупыми (больше 90 °) или прямыми (равными 90 °), потому что их размеры будут составлять по крайней мере 180 °, сумму всех углов в любом евклидовом треугольнике.^[8] Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой, соответственно, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине соответственно тупой, прямой или острый.^[7] В Эдвин Эбботт книга Плоская земля эта классификация форм использовалась как сатира социальная иерархия: равнобедренные треугольники представляли рабочий класс, с острыми равнобедренными треугольниками выше в иерархии, чем прямые или тупые равнобедренные треугольники.^[9]

Так же хорошо как равнобедренный прямоугольный треугольник, были изучены несколько других специфических форм равнобедренных треугольников, в том числе Треугольник Калаби (треугольник с тремя равными вписанными квадратами),^[10] в золотой треугольник и золотой гномон (два равнобедренных треугольника, стороны и основание которых находятся Золотое сечение ),^[11] треугольник 80-80-20 появляется в Дополнительные углы Лэнгли головоломка,^[12] и треугольник 30-30-120 треугольная плитка Triakis.Пять Каталонские твердые вещества, то триакис тетраэдр, триакис октаэдр, тетракис шестигранник, пентакид додекаэдр, и триакис икосаэдр, каждая из которых имеет грани равнобедренного треугольника, как и бесконечно много пирамиды^[8] и бипирамиды.^[13]

Формулы

Высота

Для любого равнобедренного треугольника следующие шесть отрезки линии совпадают:

• в высота, отрезок от вершины, перпендикулярный основанию,^[14]
• в биссектриса угла от вершины к основанию,^[14]
• в медиана от вершины до середины основания,^[14]
• в серединный перпендикуляр основания внутри треугольника,^[14]
• отрезок внутри треугольника уникального ось симметрии треугольника и^[14]
• сегмент внутри треугольника Линия Эйлера треугольника, кроме тех случаев, когда треугольник равносторонний.^[15]

Их общая длина - это высота ${ displaystyle h}$ треугольника.Если треугольник имеет равные стороны длины ${ displaystyle a}$ и база длины ${ displaystyle b}$, то общие формулы треугольника для длины этих сегментов все упрощается до^[16]

${ displaystyle h = { frac {1} {2}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Эта формула также может быть получена из теорема Пифагора используя тот факт, что высота делит основание пополам и делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.^[17]

Линия Эйлера любого треугольника проходит через точку треугольника. ортоцентр (пересечение трех его высот), его центроид (пересечение трех его медиан) и его центр окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров трех сторон, которая также является центром описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны и (по симметрии) все лежат на оси симметрии треугольника, из чего следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. В стимулятор треугольника также лежит на линии Эйлера, что неверно для других треугольников.^[15] Если любые два из биссектрис угла, медианы или высоты совпадают в данном треугольнике, этот треугольник должен быть равнобедренным.^[18]

Площадь

Площадь ${ displaystyle T}$ Равнобедренный треугольник может быть получен из формулы для его высоты и из общей формулы для площади треугольника как половины произведения основания и высоты:^[16]

${ displaystyle T = { frac {b} {4}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Та же формула площади может быть получена из Формула Герона для площади треугольника с трех сторон. Однако прямое применение формулы Герона может быть численно нестабильный для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти полного сокращения между полупериметр и длина стороны в этих треугольниках.^[19]

Если угол при вершине ${ Displaystyle ( тета)}$ и длина ног ${ Displaystyle (а)}$ равнобедренного треугольника известны, то площадь этого треугольника равна:^[20]

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} a ^ {2} sin theta.}$

Это частный случай общей формулы для площади треугольника, равной половине произведения двух сторон, умноженной на синус включенного угла.^[21]

Периметр

Периметр ${ displaystyle p}$ равнобедренного треугольника с равными сторонами ${ displaystyle a}$ и база ${ displaystyle b}$ просто^[16]

${ displaystyle p = 2a + b.}$

Как и в любом треугольнике, площадь ${ displaystyle T}$ и периметр ${ displaystyle p}$ связаны изопериметрическое неравенство^[22]

${ displaystyle p ^ {2}> 12 { sqrt {3}} т.}$

Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, не равными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением^[23]

${ displaystyle 2pb ^ {3} -p ^ {2} b ^ {2} + 16T ^ {2} = 0.}$

Если основание и периметр фиксированы, то эта формула определяет площадь результирующего равнобедренного треугольника, которая является максимально возможной среди всех треугольников с одинаковым основанием и периметром.^[24]С другой стороны, если площадь и периметр фиксированы, эту формулу можно использовать для восстановления базовой длины, но не однозначно: в целом есть два различных равнобедренных треугольника с заданной площадью ${ displaystyle T}$ и периметр ${ displaystyle p}$. Когда изопериметрическое неравенство превращается в равенство, остается только один такой треугольник, который является равносторонним.^[25]

Длина биссектрисы угла

Если две равные стороны имеют длину ${ displaystyle a}$ а другая сторона имеет длину ${ displaystyle b}$, то внутренний биссектриса угла ${ displaystyle t}$ из одной из двух равноправных вершин удовлетворяет^[26]

${ displaystyle { frac {2ab} {a + b}}> t> { frac {ab { sqrt {2}}} {a + b}}}$

а также

${ displaystyle t <{ frac {4a} {3}};}$

и наоборот, если последнее условие выполняется, равнобедренный треугольник, параметризованный ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle t}$ существуют.^[27]

В Теорема Штейнера – Лемуса утверждает, что каждый треугольник с двумя биссектрисами равной длины равнобедренный. Он был сформулирован в 1840 г. К. Л. Лемус. Другой его тезка, Якоб Штайнер, был одним из первых, кто предложил решение.^[28]Хотя изначально он был сформулирован только для биссектрис внутреннего угла, он работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого две биссектрисы внешних углов равны. 30-30-120 равнобедренный треугольник составляет граничный случай для этого варианта теоремы, так как он имеет четыре равных биссектрисы угла (две внутренние, две внешние).^[29]

Радиусы

Равнобедренный треугольник, показывающий его центр описанной окружности (синий), центр тяжести (красный), центр тяжести (зеленый) и ось симметрии (фиолетовый)

Формулы для внутреннего и описанного радиуса для равнобедренного треугольника могут быть получены из их формул для произвольных треугольников.^[30]Радиус вписанный круг равнобедренного треугольника с длиной стороны ${ displaystyle a}$, основание ${ displaystyle b}$, и высота ${ displaystyle h}$ является:^[16]

${ displaystyle { frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии от основания. Равнобедренный треугольник имеет наибольшую возможную вписанную окружность среди треугольников с тем же основанием и углом при вершине, а также имеет наибольшую площадь и периметр. среди того же класса треугольников.^[31]

Радиус описанный круг является:^[16]

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {2h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.

Вписанный квадрат

Для любого равнобедренного треугольника существует уникальный квадрат, одна сторона которого коллинеарна основанию треугольника, а два противоположных угла на его сторонах. В Треугольник Калаби - это особый равнобедренный треугольник, в котором два других вписанных квадрата со сторонами, коллинеарными сторонам треугольника, имеют тот же размер, что и основной квадрат.^[10] Гораздо более древняя теорема, сохранившаяся в работах Герой Александрии, утверждает, что для равнобедренного треугольника с основанием ${ displaystyle b}$ и высота ${ displaystyle h}$, длина стороны вписанного квадрата в основание треугольника равна^[32]

${ displaystyle { frac {bh} {b + h}}.}$

Равнобедренное подразделение других форм

Разделение циклический пятиугольник в равнобедренные треугольники по радиусам описанной окружности

Для любого целого числа ${ displaystyle n geq 4}$, любой треугольник можно разделить на ${ displaystyle n}$ равнобедренные треугольники.^[33]В прямоугольный треугольник, медиана от гипотенузы (то есть отрезок прямой от середины гипотенузы до прямоугольной вершины) делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Это потому, что середина гипотенузы является центром описанный круг прямоугольного треугольника, и каждый из двух треугольников, образованных разделением, имеет два равных радиуса в качестве двух сторон.^[34]Точно так же острый треугольник можно разбить на три равнобедренных треугольника отрезками от центра описанной окружности,^[35] но этот метод не работает для тупых треугольников, потому что центр описанной окружности лежит вне треугольника.^[30]

Обобщая разбиение острого треугольника, любое циклический многоугольник содержащий центр описанной окружности, можно разбить на равнобедренные треугольники радиусами этой окружности, проходящей через ее вершины. Тот факт, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину, означает, что все эти треугольники равнобедренные. Это разбиение можно использовать для получения формулы площади многоугольника как функции его длин сторон, даже для циклических многоугольников, которые не содержат центров окружности. Эта формула обобщает Формула Герона для треугольников и Формула Брахмагупты за циклические четырехугольники.^[36]

Либо диагональ из ромб делит его на два конгруэнтный равнобедренные треугольники. Аналогично, одна из двух диагоналей a летающий змей делит его на два равнобедренных треугольника, которые не совпадают, за исключением случая, когда воздушный змей является ромбом.^[37]

Приложения

В архитектуре и дизайне

Тупой равнобедренный фронтон Пантеон, Рим

Острый равнобедренный фронтон над порталом Сент-Этьен, Собор Парижской Богоматери

Равнобедренные треугольники обычно появляются в архитектура как формы фронтоны и фронтоны. В древнегреческая архитектура и его более поздние подражания - тупой равнобедренный треугольник; в Готическая архитектура он был заменен острым равнобедренным треугольником.^[8]

в архитектура средневековья, стала популярной другая форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, имеющий меньшую остроту, чем равносторонний; его высота пропорциональна 5/8 его основания.^[38] Египетский равнобедренный треугольник вернулся в современную архитектуру голландским архитектором. Хендрик Петрус Берлаге.^[39]

Детальный вид модифицированного Ферма Уоррена с вертикалями

Ферма Уоррена конструкции, такие как мосты, обычно располагаются в виде равнобедренных треугольников, хотя иногда также включаются вертикальные балки для дополнительной прочности.^[40]Поверхности мозаичный по тупым равнобедренным треугольникам можно образовать развертываемые конструкции которые имеют два стабильных состояния: разложенное состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которую легче транспортировать.^[41]

Флаг Гайаны

Флаг Сент-Люсии

В графический дизайн и декоративное искусство, равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, с Ранний неолит^[42] к современности.^[43] Они являются обычным элементом дизайна в флаги и геральдика, выступая на видном месте с вертикальным основанием, например, в флаг Гайаны, или с горизонтальным основанием в флаг Сент-Люсии, где они образуют стилизованное изображение горного острова.^[44]

Они также использовались в орнаментах религиозного или мистического значения, например, в Шри Янтра из Индуистская медитационная практика.^[45]

В других областях математики

Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, которые не все действительные числа, то при нанесении этих корней в комплексная плоскость как Диаграмма Аргана они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. Это потому, что сложные корни комплексные конъюгаты и, следовательно, симметричны относительно действительной оси.^[46]

В небесная механика, то проблема трех тел был изучен в частном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, поскольку предположение, что тела расположены таким образом, уменьшает количество степени свободы системы, не сводя ее к решенным Точка лагранжиана случай, когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры неограниченных колебаний в задаче трех тел были в равнобедренной задаче трех тел.^[47]

История и заблуждения

Задолго до того, как равнобедренные треугольники были изучены древнегреческие математики, практикующие Древнеегипетская математика и Вавилонская математика умели рассчитывать свою площадь. Проблемы этого типа включены в Московский математический папирус и Математический папирус Райнда.^[48]

Теорема о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, появляется как Предложение I.5 в Евклиде.^[49] Этот результат получил название pons asinorum (мост ослов) или теорема о равнобедренном треугольнике. Соперничающие объяснения этого имени включают теорию, что это потому, что диаграмма, используемая Евклидом в его демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый трудный результат Евклида, и он действует, чтобы отделить тех, кто может понять геометрию Евклида от тех, кто кто не может.^[50]

Известный заблуждение является ложным доказательством утверждения, что все треугольники равнобедренные. Робин Уилсон приписывает этот аргумент Льюис Кэрролл,^[51] кто опубликовал его в 1899 году, но У. В. Роуз Болл опубликовал его в 1892 году и позже написал, что Кэрролл получил аргумент от него.^[52] Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции посредственность и возникающая в результате неоднозначность внутри против за пределами фигур.^[53]

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В., "Равнобедренный треугольник", MathWorld