Противоречие - Contradiction

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Противоречие"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорические предложения в квадрат оппозиции из Аристотелевская логика.

В традиционная логика, а противоречие состоит из логической несовместимости или несоответствия между двумя или более предложения. Это происходит, когда предложения, взятые вместе, дают два выводы которые образуют логические, обычно противоположные инверсии друг друга. Иллюстрируя общую тенденцию прикладной логики, Аристотель с закон непротиворечивости утверждает, что «невозможно, чтобы одна и та же вещь одновременно принадлежала и не принадлежала одному и тому же объекту и в одном и том же отношении».^[1]

В современном формальная логика, этот термин в основном используется вместо не замужем предложение, часто обозначаемое ложь символ ${ displaystyle bot}$;^[2] предложение противоречит, если ложный можно вывести из него, используя правила логики. Это утверждение является безусловно ложным (т. Е. Противоречивым утверждением).^[3][4] Это может быть обобщено до набора предложений, который, как говорят, «содержит» противоречие.

История

Создавая парадокс, Платон с Евтидем диалог демонстрирует необходимость понятия противоречие. В последующем диалоге Дионисодор отрицает существование «противоречия», при этом Сократ ему противоречит:

... Я с удивлением сказал: Что ты имеешь в виду, Дионисодор? Я часто слышал и был поражен, услышав этот ваш тезис, который поддерживается и используется учениками Протагора и другими до них, и который мне кажется весьма замечательным, и самоубийственным, и разрушительным, и Я думаю, что, скорее всего, я услышу от вас правду об этом. Изречение состоит в том, что нет такой вещи, как ложь; мужчина должен либо сказать то, что правда, либо ничего не сказать. Разве это не твоя позиция?

В самом деле, Дионисодор соглашается с тем, что «нет такой вещи, как ложное мнение ... не существует такой вещи, как невежество», и требует от Сократа «опровергнуть меня». Сократ отвечает: «Но как я могу опровергнуть вас, если, как вы говорите, сказать неправду невозможно?».^[5]

В формальной логике

Примечание: символ ${ displaystyle bot}$ (ложь ) представляет собой произвольное противоречие с двойственным тройник символ ${ displaystyle top}$ используется для обозначения произвольной тавтологии. Противоречие иногда обозначается буквой "O".pq", тавтология" Vpq". Символ турникета, ${ displaystyle vdash}$ часто читается как «дает» или «доказывает».

В классической логике, особенно в пропозициональный и логика первого порядка, предложение ${ displaystyle varphi}$ противоречие если и только если ${ displaystyle varphi vdash bot}$. Поскольку для противоречивого ${ displaystyle varphi}$ правда, что ${ displaystyle vdash varphi rightarrow psi}$ для всех ${ displaystyle psi}$ (потому что ${ displaystyle bot rightarrow psi}$), можно доказать любое предложение из набора аксиом, которое содержит противоречия. Это называется "принцип взрыва », или« ex falso quodlibet »(« от лжи следует все »).^[6]

В полный логике, формула противоречива тогда и только тогда, когда она неудовлетворительный.

Доказательство от противного

За набор помещений ${ displaystyle Sigma}$ и предложение ${ displaystyle varphi}$, правда, что ${ Displaystyle Sigma vdash varphi}$ (т.е. ${ displaystyle Sigma}$ доказывает ${ displaystyle varphi}$) если и только если ${ displaystyle Sigma cup { neg varphi } vdash bot}$ (т.е. ${ displaystyle Sigma}$ и ${ displaystyle neg varphi}$ приводит к противоречию). Следовательно, доказательство это ${ displaystyle Sigma cup { neg varphi } vdash bot}$ также доказывает, что ${ displaystyle varphi}$ верно под помещениями ${ displaystyle Sigma}$. Использование этого факта составляет основу метод доказательства называется доказательство от противного, который математики широко используют для установления справедливости широкого круга теорем. Это применимо только в логике, где закон исключенного среднего ${ Displaystyle A vee neg A}$ принимается как аксиома.^[7]

Символическое представление

В математике символы, используемые для обозначения противоречия в доказательстве, различаются.^[8] Некоторые символы, которые могут использоваться для обозначения противоречия, включают ↯, Opq, ${ displaystyle Rightarrow Leftarrow}$, ⊥, ${ Displaystyle leftrightarrow ! ! ! ! ! ! !}$/ , и ※; в любом символизме значение истинности может быть заменено противоречием "ложный ", что обозначается, например," 0 "(как обычно в логическая алгебра ).^[2] Это не редкость увидеть Q.E.D., или некоторые из его вариантов, сразу после символа противоречия. Фактически, это часто происходит в доказательстве от противного, чтобы указать, что исходное предположение было доказано ложным - и, следовательно, его отрицание должно быть истинным.

Понятие противоречия в аксиоматической системе и доказательство ее непротиворечивости

В целом доказательство непротиворечивости требует следующих двух вещей:

1. An аксиоматическая система
2. Демонстрация того, что это не случай, когда как формула п и его отрицание ~ р можно вывести в системе.

Но каким бы методом это ни было, все доказательства непротиворечивости кажется вызвать необходимость примитивного представления о противоречие. Более того, это кажется как если бы это понятие одновременно должно было находиться «вне» формальной системы в определении тавтологии.

Когда Эмиль Пост в своем «Введении в общую теорию элементарных предложений» 1921 года расширил свое доказательство непротиворечивости пропозициональное исчисление (т.е. логика) за пределами логики Principia Mathematica (PM), он заметил, что в отношении обобщенный набор постулатов (то есть аксиом), он больше не сможет автоматически ссылаться на понятие «противоречие» - такое понятие может не содержаться в постулатах:

Первым условием набора постулатов является его непротиворечивость. Поскольку обычное понятие непротиворечивости включает в себя понятие противоречия, которое опять же включает отрицание, и поскольку эта функция вообще не появляется как примитив в [ обобщенный набор постулатов] необходимо дать новое определение.^[9]

Решение проблемы Post описано в демонстрации «Пример успешного абсолютного доказательства непротиворечивости», предложенной Эрнест Нагель и Джеймс Р. Ньюман в их 1958 Гёдель Доказательство. Они тоже заметили проблему в отношении понятия «противоречие» с его обычными «значениями истинности» «истина» и «ложь». Они отметили, что:

Свойство быть тавтологией было определено в понятиях истины и лжи. Однако эти понятия, очевидно, подразумевают ссылку на что-то вне исчисление формул. Следовательно, процедура, упомянутая в тексте, по сути, предлагает интерпретация исчисления, предоставив модель системы. При этом авторы не сделали того, что обещали, а именно: "определять свойство формул с точки зрения чисто структурных особенностей самих формул«. [В самом деле] ... доказательства непротиворечивости, основанные на моделях и основанные на аргументах от истинности аксиом к их непротиворечивости, просто меняют проблему.^[10]

Учитывая некоторые «примитивные формулы», такие как примитивы PM S₁ V S₂ [включающее ИЛИ] и ~ S (отрицание), необходимо определить аксиомы в терминах этих примитивных понятий. Пост подробно демонстрирует в PM и определяет (как и Нагель и Ньюман, см. Ниже), что свойство тавтологичный - еще предстоит определить - "наследуется": если начать с набора тавтологичных аксиом (постулатов) и система вычетов который содержит замена и modus ponens, потом последовательный система выдаст только тавтологичные формулы.

По теме определения тавтологичный, Нагель и Ньюман создают два взаимоисключающий и исчерпывающий классы K₁ и K₂, в которые попадают (результат) аксиомы, когда их переменные (например, S₁ и S₂ назначаются из этих классов). Это также относится к примитивным формулам. Например: «Формула S₁ V S₂ помещен в класс K₂, если оба S₁ и S₂ находятся в K₂; в противном случае он помещается в K₁", и" Формула вида ~ S помещается в K₂, если S принадлежит K₁; в противном случае он помещается в K₁".^[11]

Следовательно, Нагель и Ньюман теперь могут определить понятие тавтологичный: "формула является тавтологией тогда и только тогда, когда она попадает в класс K₁, независимо от того, в какой из двух классов помещены его элементы ".^[12] Таким образом описывается свойство «быть тавтологичным» - без ссылки на модель или интерпретацию.

Например, учитывая такую ​​формулу, как ~ S₁ V S₂ и присвоение K₁ к S₁ и K₂ к S₂ можно оценить формулу и отнести ее результат к одному или другому классу. Присвоение K₁ к S₁ мест ~ S₁ в K₂, и теперь мы видим, что наше присвоение приводит к тому, что формула попадает в класс K₂. Таким образом, по определению наша формула не является тавтологией.

Пост заметил, что, если бы система была непоследовательной, дедукция в ней (то есть последняя формула в последовательности формул, полученных из тавтологий) могла бы в конечном итоге дать S саму. Присваивание переменной S может происходить из любого класса K₁ или K₂, вывод нарушает свойство наследования тавтологии (то есть вывод должен давать оценку формулы, которая попадет в класс K₁). Из этого Пост смог вывести следующее определение несогласованности:без использования понятия противоречия:

Определение. Система будет называться несовместимой, если она дает утверждение неизмененной переменной p [S в примерах Ньюмана и Нагеля].

Другими словами, при построении доказательства непротиворечивости можно отказаться от понятия «противоречие»; на смену ему приходит понятие «взаимоисключающих и исчерпывающих» классов. Аксиоматическая система не обязательно должна включать понятие «противоречие».^{[нужна цитата ]}

Философия

Сторонники эпистемологический теория когерентизм обычно утверждают, что в качестве необходимого условия обоснования вера, это убеждение должно быть частью логически непротиворечивого система верований. Немного диалетеисты, в том числе Грэм Прист, утверждали, что согласованность может не требовать согласованности.^[13]

Прагматические противоречия

Прагматическое противоречие возникает, когда само утверждение аргумента противоречит заявленным в нем утверждениям. В этом случае возникает несоответствие, потому что акт высказывания, а не содержание сказанного, подрывает его заключение.^[14]

Диалектический материализм

В диалектический материализм: Противоречие - как производное Гегельянство - обычно относится к оппозиции, изначально существующей в одной сфере, одной объединенной силе или объекте. Это противоречие, в отличие от метафизического мышления, не является объективно невозможным, потому что эти противоречащие силы существуют в объективной реальности, не нейтрализуя друг друга, а фактически определяя существование друг друга. Согласно марксистской теории, такое противоречие можно найти, например, в том, что:

• (а) огромное богатство и производительные силы сосуществуют вместе с:
• (б) крайняя нищета и нищета;
• (c) существование (a) противоречит существованию (b).

Гегелевская и марксистская теория гласит, что диалектика природа истории приведет к снятие, или синтез, о его противоречиях. Таким образом, Маркс постулировал, что история логически капитализм превратиться в социалистическое общество где средства производства будет одинаково служить эксплуатируемый и страдающий класс общества, тем самым разрешая предшествующее противоречие между (а) и (б).^[15]

Философское эссе Мао Цзэдуна О противоречии (1937) развил тезис Маркса и Ленина и предположил, что все существование является результатом противоречия.^[16]

За пределами формальной логики

Противоречие на Грэм Иерархия несогласия

Разговорное использование могут обозначать действия или утверждения как противоречащие друг другу, когда они связаны (или воспринимаются как должные) предпосылки которые противоречивы в логическом смысле.

Доказательство от противного используется в математика строить доказательства.

В научный метод использует противоречие, чтобы опровергнуть плохую теорию.

Смотрите также

• Клиника Аргумент - Набросок Монти Пайтона, набросок Монти Пайтона, в котором один из двух спорящих постоянно использует только противоречия в своих аргументах.
• Автоантоним - Слово, имеющее два противоположных значения
• Напротив (логика)
• Диалетеизм - точка зрения, что существуют утверждения, которые являются как истинными, так и ложными.
• Двойные стандарты - Непоследовательное применение принципов
• Двоемыслие - Одновременное принятие двух противоречащих друг другу убеждений как правильных
• Иерархия несогласия Грэма
• Ирония - Риторический прием, литературная техника или ситуация, в которой существует несоответствие между буквальным и подразумеваемым значением.
• Закон непротиворечивости
• О противоречии - Маоистское эссе 1937 года Мао Цзэдуна
• Оксюморон - риторический прием, использующий мнимое противоречие с самим собой, чтобы проиллюстрировать риторическую мысль или раскрыть парадокс
• Непротиворечивая логика
• Парадокс - Заявление, которое явно противоречит самому себе
• Тавтология - Логическая формула, верная во всех возможных интерпретациях
• ТРИЗ

Примечания и ссылки

Список используемой литературы

• Юзеф Мария Бохенски 1960 Краткое изложение математической логики, перевод с французского и немецкого изданий Отто Берда, Д. Рейделя, Дордрехт, Южная Голландия.
• Жан ван Хейенорт 1967 От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике 1879-1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8 (pbk.)
• Эрнест Нагель и Джеймс Р. Ньюман 1958 Доказательство Гёделя, New York University Press, номер карты в каталоге: 58-5610.

внешние ссылки

• «Противоречие (непоследовательность)», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• "Противоречие, закон", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хорн, Лоуренс Р. "Противоречие". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.