Острые и тупые треугольники - Acute and obtuse triangles - Wikipedia

An острый треугольник (или остроугольный треугольник) треугольник с тремя острыми углы (менее 90 °). An тупой треугольник (или треугольник с тупым углом) - это треугольник с одним тупым углом (больше 90 °) и двумя острыми углами. Так как углы треугольника должны составлять 180 ° в Евклидова геометрия, ни один евклидов треугольник не может иметь более одного тупого угла.

Острый и тупой треугольники - это два разных типа косые треугольники - треугольники, которые не прямоугольные треугольники потому что у них нет угла 90 °.

Правильно	Тупой	Острый
	${ Displaystyle Underbrace { qquad qquad qquad qquad qquad qquad} _ {}}$
	Косой

Свойства

Во всех треугольниках центроид - пересечение медианы, каждая из которых соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны - и стимулятор - центр окружности, который касается всех трех сторон изнутри, - находится внутри треугольника. Однако пока ортоцентр и центр окружности находятся внутри острого треугольника, они - вне тупого треугольника.

Ортоцентр - это точка пересечения трех треугольников. высоты, каждый, из которых перпендикулярно соединяет сторону с противоположной вершина. В случае острого треугольника все три этих сегмента полностью лежат внутри треугольника, поэтому они пересекаются внутри. Но для тупого треугольника высоты от двух острых углов пересекают только расширения противоположных сторон. Эти высоты полностью выходят за пределы треугольника, в результате чего их пересечение друг с другом (и, следовательно, с увеличенной высотой от тупоугольной вершины) происходит во внешней части треугольника.

Аналогично, центр описанной окружности треугольника - пересечение трех сторон ' перпендикулярные биссектрисы, который является центром окружности, проходящей через все три вершины, попадает внутрь острого треугольника, но вне тупого треугольника.

В прямоугольный треугольник это промежуточный случай: и его центр описанной окружности, и его ортоцентр лежат на его границе.

В любом треугольнике любые два угла измеряют А и B противоположные стороны а и б соответственно связаны согласно^{[1]:п. 264}

${ displaystyle A> B quad { text {тогда и только тогда, когда}} quad a> b.}$

Это означает, что самая длинная сторона тупого треугольника - это сторона, противоположная тупоугольной вершине.

В остром треугольнике три вписанные квадраты, каждая из которых имеет одну сторону, совпадающую с частью стороны треугольника и двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (В прямоугольном треугольнике два из них объединены в один и тот же квадрат, поэтому есть только два отдельных вписанных квадрата.) Однако в тупой треугольник вписан только один квадрат, одна из сторон которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. .^{[2]:п. 115}

Все треугольники, в которых Линия Эйлера параллельно одной стороне стоят острые.^[3] Это свойство выполняется для стороны BC если и только если ${ Displaystyle ( загар В) ( загар С) = 3.}$

Неравенства

Стороны

Если угол C тупой тогда по сторонам а, б, и c у нас есть^{[4]:стр.1, # 74}

${ displaystyle { frac {c ^ {2}} {2}}$

с левым неравенством, приближающимся к равенству в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °, а с правым неравенством приближается к равенству только когда тупой угол приближается к 90 °.

Если треугольник острый, то

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}, quad b ^ {2} + c ^ {2}> a ^ {2}, quad c ^ {2} + a ^ {2}> b ^ {2}.}$

Высота

Если C - наибольший угол и час_c это высота от вершины C, то для острого треугольника^{[4]:стр.135, № 3109}

${ displaystyle { frac {1} {h_ {c} ^ {2}}} <{ frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}} ,}$

с противоположным неравенством, если C тупой.

Медианы

С самой длинной стороной c и медианы м_а и м_б с другой стороны,^{[4]:стр.136, # 3110}

${ displaystyle 4c ^ {2} + 9a ^ {2} b ^ {2}> 16m_ {a} ^ {2} m_ {b} ^ {2}}$

для острого треугольника, но с обратным неравенством для тупого треугольника.

Медиана м_c от самой длинной стороны больше или меньше радиуса описанной окружности для острого или тупого треугольника соответственно:^{[4]:стр.136, № 3113}

${ displaystyle m_ {c}> R}$

для острых треугольников и наоборот для тупых.

Площадь

Неравенство Оно для области А,

${ displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} leq (4A) ^ {6},}$

верно для всех острых треугольников, но не для всех тупых треугольников.

Тригонометрические функции

Для острого треугольника имеем, для углов А, B, и C,^{[4]:стр.26, №954}

${ Displaystyle соз ^ {2} А + соз ^ {2} В + соз ^ {2} С <1,}$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника с описанным радиусом р,^{[4]:стр.141, № 3167}

${ displaystyle a cos ^ {3} A + b cos ^ {3} B + c cos ^ {3} C leq { frac {abc} {4R ^ {2}}}}$

и^{[4]:стр.155, # S25}

${ displaystyle cos ^ {3} A + cos ^ {3} B + cos ^ {3} C + cos A cos B cos C geq { frac {1} {2}}.}$

Для острого треугольника^{[4]:стр.115, №2874}

${ displaystyle sin ^ {2} A + sin ^ {2} B + sin ^ {2} C> 2,}$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника^{[4]:p178, # 241.1}

${ displaystyle sin A cdot sin B + sin B cdot sin C + sin C cdot sin A leq ( cos A + cos B + cos C) ^ {2}.}$

Для любого треугольника тождество тройной касательной утверждает, что сумма углов ' касательные равняется их продукту. Поскольку острый угол имеет положительное значение касательной, а тупой - отрицательное, выражение для произведения касательных показывает, что

${ Displaystyle загар А + загар В + загар С = загар A cdot загар В cdot загар С> 0}$

для острых треугольников, а для тупых - противоположное направление неравенства.

У нас есть^{[4]:стр.26, №958}

${ Displaystyle загар А + загар В + загар С geq 2 ( грех 2A + грех 2B + грех 2C)}$

для острых треугольников и обратное для тупых.

Для всех острых треугольников,^{[4]:стр.40, №1210}

${ Displaystyle ( загар A + загар B + загар C) ^ {2} geq ( сек A + 1) ^ {2} + ( сек B + 1) ^ {2} + ( сек C + 1 ) ^ {2}.}$

Для всех острых треугольников с inradius р и по окружности р,^{[4]:стр.53, №1424}

${ displaystyle a tan A + b tan B + c tan C geq 10R-2r.}$

Для острого треугольника площадью K, ^{[4]:стр.103, # 2662}

${ displaystyle ({ sqrt { cot A}} + { sqrt { cot B}} + { sqrt { cot C}}) ^ {2} leq { frac {K} {r ^ { 2}}}.}$

Circumradius, inradius и exradii

В остром треугольнике сумма радиуса описанной р и радиус р меньше половины суммы кратчайших сторон а и б:^{[4]:стр.105, # 2690}

${ displaystyle R + r <{ frac {a + b} {2}},}$

а для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Для острого треугольника с медианы м_а , м_б , и м_c и по окружности р, у нас есть^{[4]:стр.26, №954}

${ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

а для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Кроме того, острый треугольник удовлетворяет^{[4]:стр.26, №954}

${ displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

с точки зрения внеокружность радиусы р_а , р_б , и р_c , опять же с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.

Для острого треугольника с полупериметром s,^{[4]:стр.115, №2874}

${ displaystyle s-r> 2R,}$

а для тупого треугольника верно обратное неравенство.

Для острого треугольника площадью K,^{[4]:стр.185, № 291.6}

${ displaystyle ab + bc + ca geq 2R (R + r) + { frac {8K} { sqrt {3}}}.}$

Расстояния с участием центров треугольников

Для острого треугольника расстояние между центром описанной окружности О и ортоцентр ЧАС удовлетворяет^{[4]:стр.26, №954}

${ Displaystyle ОН$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника расстояние между центрами вписанной окружности я и ортоцентр ЧАС удовлетворяет^{[4]:стр.26, №954}

${ Displaystyle IH <г { sqrt {2}},}$

где р это inradius, с обратным неравенством для тупого треугольника.

Вписанный квадрат

Если один из вписанных квадратов острого треугольника имеет длину стороны Икс_а а другой имеет длину стороны Икс_б с участием Икс_а < Икс_б, тогда^{[2]:п. 115}

${ displaystyle 1 geq { frac {x_ {a}} {x_ {b}}} geq { frac {2 { sqrt {2}}} {3}} приблизительно 0,94.}$

Два треугольника

Если у двух тупых треугольников есть стороны (а, б, в) и (р, д, г) с участием c и р соответственно самые длинные стороны, то^{[4]:стр.29, # 1030}

${ displaystyle ap + bq$

Примеры

Треугольники со специальными названиями

В Треугольник Калаби, который является единственным неравносторонним треугольником, для которого самый большой квадрат, помещающийся во внутреннем пространстве, может быть расположен любым из трех различных способов, является тупым и равнобедренным с углами основания 39,1320261 ... ° и третьим углом 101,7359477 ... °.

В равносторонний треугольник, с тремя углами 60 °, остро.

В Треугольник Морли, образованный из любого треугольника пересечением трех смежных углов, является равносторонним и, следовательно, острым.

В золотой треугольник это равнобедренный треугольник в котором отношение дублированной стороны к базовая сторона равно Золотое сечение. Он острый, с углами 36 °, 72 ° и 72 °, что делает его единственным треугольником с углами в пропорции 1: 2: 2.^[5]

В семиугольный треугольник, со сторонами, совпадающими со стороной, более короткой диагональю и большей диагональю обычного семиугольник, тупой, с углами ${ displaystyle pi / 7,2 pi / 7,}$ и ${ displaystyle 4 pi / 7.}$

Треугольники с целыми сторонами

Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон является острым, имеет стороны (13,14,15) и высоту со стороны 14 равную 12.

Треугольник наименьшего периметра с целыми сторонами в арифметической прогрессии и треугольник с наименьшим периметром целочисленных сторон с различными сторонами тупой: а именно, со сторонами (2, 3, 4).

Единственные треугольники, у которых один угол равен дважды другому и имеют целые стороны в арифметическая прогрессия являются острыми: а именно треугольник (4,5,6) и его кратные.^[6]

Нет острых целочисленные треугольники с участием площадь = периметр, но есть три тупых, имеющих стороны^[7] (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17).

Наименьший целочисленный треугольник с тремя рациональными медианы острый, с боками^[8] (68, 85, 87).

Треугольники цапли имеют целые стороны и целую площадь. Косой треугольник Герона с наименьшим периметром острый, со сторонами (6, 5, 5). Два наклонных треугольника цапли, которые имеют наименьшую площадь, - острый со сторонами (6, 5, 5) и тупой со сторонами (8, 5, 5), площадь каждого из которых равна 12.

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. «Острый треугольник». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тупой треугольник». MathWorld.