Возведение квадрата - Squaring the square

Обнаружен первый точный квадрат со стороной 4205 и порядком 55.[1] Каждое число обозначает длину стороны квадрата.

Возведение квадрата это проблема черепица интегральный квадрат с использованием только других целых квадратов. (An интегральный квадрат это квадрат чьи стороны имеют целое число длина.) Название было придумано по юмористической аналогии с квадрат круга. Возведение квадрата в квадрат - простая задача, если не заданы дополнительные условия. Наиболее изученное ограничение - возведение в квадрат. идеально, что означает, что размеры меньших квадратов разные. Связанная проблема квадрат самолета, что можно сделать даже с ограничением, что каждое натуральное число встречается ровно один раз как размер квадрата в мозаике. Порядок квадрата квадрата - это количество составляющих его квадратов.

Совершенные квадраты в квадрате

Диаграмма Смита прямоугольника

«Идеальный» квадрат - это квадрат, каждый из меньших квадратов имеет разный размер.

Впервые он зарегистрирован как изучаемый Р. Л. Брукс, К. А. Б. Смит, А. Х. Стоун и В. Т. Тутте в Кембриджском университете между 1936 и 1938 годами они превратили квадратную мозаику в эквивалентную электрическая цепь - они назвали это «диаграммой Смита» - рассматривая квадраты как резисторы которые соединились со своими соседями по их верхнему и нижнему краям, а затем применили Законы цепи Кирхгофа и разложение схемы техники к этой цепи. Первые найденные ими полные квадраты имели порядок 69.

Первый опубликованный точный квадрат со стороной 4205 и порядком 55 был найден Роланд Спраг в 1939 г.[2]

Мартин Гарднер опубликовал обширную статью, написанную В. Т. Тутте о ранней истории квадрата в его колонка математических игр в ноябре 1958 г.[3]

Квадрат наименьшего порядка (1) и три наименьших квадрата (2–4) - все простые квадраты

Простые квадраты в квадрате

«Простой» квадратный квадрат - это квадрат, в котором ни одна подмножество квадратов не образует прямоугольник или квадрат, в противном случае он является «составным».

В 1978 г. А. Дж. В. Дуйвестийн [де ] с помощью компьютерного поиска обнаружил простой квадрат со стороной 112 и наименьшим количеством квадратов. В его мозаике используется 21 квадрат, и он оказался минимальным.[4] Этот квадратный квадрат образует логотип Математическое общество Тринити. Он также появляется на обложке Журнал комбинаторной теории.

Дуйвестийн также нашел два простых квадрата полного квадрата со сторонами 110, каждый из которых состоит из 22 квадратов. Теофил Хардинг Уиллкокс, математик-любитель и сказочные шахматы композитор, нашел другого. В 1999 году И. Гамбини доказал, что эти три квадрата являются наименьшими по длине стороны.[5]

Идеальный составной квадрат с наименьшим количеством квадратов был обнаружен T.H. Willcocks в 1946 году и имеет 24 квадрата; однако только в 1982 году Duijvestijn, Паскуале Жозеф Федерико и П. Лиу математически доказали, что это пример низшего порядка.[6]

Одеяло миссис Перкинс

Когда ограничение на то, что все квадраты имеют разные размеры, ослаблено, квадратный квадрат, у которого длина сторон меньших квадратов не имеет общего делителя больше 1, называется «одеялом миссис Перкинс». Другими словами, наибольший общий делитель всех меньших сторон должно быть 1.

В Проблема одеяла миссис Перкинс найти одеяло миссис Перкинс с наименьшим количеством частей для данного п × п квадрат.

Не более двух разных размеров

Квадрат, разрезанный на 10 частей (таблица HTML)
    
    
  

А милый номер означает положительное целое числоп такой, что некоторый квадрат допускает разрез на п квадраты не более двух разных размеров без других ограничений. Можно показать, что кроме 2, 3 и 5, каждое положительное целое число симпатично.[7]

Квадрат самолета

Замощение плоскости разными целыми квадратами с помощью ряда Фибоначчи
1. Мозаика из квадратов со стороной числа Фибоначчи почти идеальна, за исключением двух квадратов со стороной 1.
2. Duijvestijn нашел 110-квадрат, выложенный 22 различными целочисленными квадратами.
3. Масштабирование мозаики Фибоначчи в 110 раз и замена одного из 110-квадратов квадратом Дуйвестия улучшает мозаику.

В 1975 г. Соломон Голомб поднял вопрос, может ли вся плоскость быть выложена квадратами, по одному каждой целой длины ребра, которые он назвал гипотеза о неоднородном замощении. Эта проблема была позже опубликована Мартином Гарднером в его Scientific American колонка и появилась в нескольких книгах, но не находила решения более 30 лет.

В Плитки и узоры, опубликовано в 1987 г., Бранко Грюнбаум и Г. К. Шепард утверждали, что во всех известных в то время совершенных целых мозаиках плоскости размеры квадратов рос в геометрической прогрессии. Например, плоскость может быть выложена плиткой с различными целыми квадратами, но не для каждого целого числа, рекурсивно взяв любой квадрат, возведенный в квадрат, и увеличив его так, чтобы ранее наименьшая плитка теперь имела размер исходного квадрата, а затем заменив эту плитку на копия исходного квадрата квадрата.

В 2008 году Джеймс Хенле и Фредерик Хенле доказали, что это действительно возможно.[8] Их доказательство является конструктивным и проводится путем «раздувания» L-образной области, образованной двумя расположенными рядом и горизонтально выровненными квадратами разного размера, до идеального мозаичного покрытия большей прямоугольной области, а затем примыкания к квадрату наименьшего размера не пока что использовали для получения другой, большей L-образной области. Квадраты, добавленные во время процедуры раздувания, имеют размеры, которые еще не появились в конструкции, и процедура настроена таким образом, что результирующие прямоугольные области расширяются во всех четырех направлениях, что приводит к мозаике всей плоскости.

Кубирование куба

Кубирование куба является аналогом возведения квадрата в квадрат в трех измерениях: куб C, проблема разбиения его на конечное число меньших кубиков, не двух конгруэнтных.

В отличие от случая возведения квадрата в квадрат, сложной, но решаемой задачи, не существует идеального куба в кубе и, в более общем плане, нет разделения квадрата. прямоугольный кубоид C на конечное количество неравных кубиков.

Чтобы доказать это, мы начнем со следующего утверждения: для любого идеального рассечения прямоугольник в квадратах самый маленький квадрат в этом разрезе не лежит на краю прямоугольника. В самом деле, каждый угловой квадрат имеет меньший соседний край-квадрат, а самый маленький краевой квадрат примыкает к меньшим квадратам не на краю.

Теперь предположим, что существует идеальное разрезание прямоугольного кубоида на кубы. Сделать лицо C его горизонтальное основание. Основание разделено на идеальный квадратный прямоугольник. р кубиками, лежащими на нем. Самый маленький квадрат s1 в р окружен больше, и поэтому выше, кубики. Следовательно, верхняя грань куба на s1 делится на ровный квадрат лежащими на нем кубиками. Позволять s2 наименьший квадрат в этом разрезе. Согласно утверждению выше, он окружен со всех 4 сторон квадратами, размер которых превышает s2 и поэтому выше.

Последовательность квадратов s1, s2, ... бесконечно и соответствующих кубов бесконечно. Это противоречит нашему первоначальному предположению.[9]

Если 4-мерный гиперкуб если бы его "грани" были бы идеально кубическими кубами; это невозможно. Точно так же нет решения для всех кубов более высоких измерений.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ "o55-4205-sprague.pdf" (PDF). Получено 25 августа 2015.
  2. ^ «5. К теории комбинаторных игр». Американское математическое общество. Получено 2017-06-30.
  3. ^ "Брукс, Смит, Стоун и Тутт, II". www.squaring.net. Получено 19 апреля 2018.
  4. ^ В., Вайсштейн, Эрик. «Идеальное квадратное рассечение». mathworld.wolfram.com. Получено 19 апреля 2018.
  5. ^ Гамбини, Ян (1999). «Метод разрезания квадратов на отдельные квадраты». Дискретная прикладная математика. 98 (1–2): 65–80. Дои:10.1016 / S0166-218X (99) 00158-4. МИСТЕР  1723687.
  6. ^ Duijvestijn, A. J. W .; Федерико, П. Дж .; Леу, П. (1982). «Составные полные квадраты». Американский математический ежемесячный журнал. 89 (1): 15–32. Дои:10.2307/2320990. МИСТЕР  0639770.
  7. ^ Генри, JB; Тейлор, П.Дж. Испытание! 1999 - 2006 Книга 2. Австралийский математический фонд. п. 84. ISBN  978-1-876420-23-9.
  8. ^ Henle, Frederick V .; Хенле, Джеймс М. (2008). «Оригинальная плоскость». Американский математический ежемесячный журнал. 115: 3–12. JSTOR  27642387.
  9. ^ Brooks, R.L .; Smith, C.A.B .; Stone, A.H .; Тутте, В. Т. (1940). «Разрезание прямоугольников на квадраты». Duke Math. Дж. 7 (1): 312–340. Дои:10.1215 / S0012-7094-40-00718-9. МИСТЕР  0003040.

дальнейшее чтение

  • К. Дж. Боукамп и А. Дж. У. Дуйвестийн, Каталог простых идеальных квадратов порядков с 21 по 25, Eindhoven Univ. Технология, кафедра математики, отчет 92-WSK-03, ноябрь 1992 г.
  • Bouwkamp, ​​C.J .; Duijvestijn, A.J. W. (декабрь 1994 г.). "Альбом простых идеальных квадратов порядка 26" (PDF). Отчет EUT 94-WSK-02., Технологический университет Эйндховена, факультет математики и информатики
  • Мартин Гарднер, «Возведение квадрата» в 2-я книга «Научно-американская книга математических головоломок и диверсий».
  • Henle, Frederick V .; Хенле, Джеймс М. (2008). "Квадратный самолет" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 115: 3–12. JSTOR  27642387. Архивировано из оригинал (PDF) на 20.06.2006.
  • Винн, Эд (2013). «Исчерпывающая генерация квадратного разреза одеяла миссис Перкинс для низких заказов». arXiv:1308.5420.

внешняя ссылка