Порядок (теория групп) - Order (group theory)

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Порядковая" теория групп  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В теория групп, филиал математика, то порядок группы это его мощность, то есть количество элементов в его наборе. Если группа рассматривается мультипликативно, порядок элемента а группы, иногда также называемой продолжительность периода или период из а, самый маленький положительное число м такой, что а^м = е, где е обозначает элемент идентичности группы, и а^м обозначает продукт м копии а. Если нет такого м существуют, а как говорят, имеет бесконечный порядок.

Порядок группы г обозначается через ord (г) или |г|, а порядок элемента а обозначается через ord (а) или |а|, Порядок элемента а равен порядку его циклическая подгруппа ⟨а⟩ = {а^k для k целое число}, подгруппа генерируется от а. Таким образом, |а| = |⟨а⟩|.

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы ЧАС из г, порядок подгруппы делит порядок группы: |ЧАС| это делитель из | G |. В частности, порядок |а| любого элемента является делителем |г|.

пример

В симметричная группа S₃ имеет следующие Таблица умножения.

•	е	s	т	ты	v	ш
е	е	s	т	ты	v	ш
s	s	е	v	ш	т	ты
т	т	ты	е	s	ш	v
ты	ты	т	ш	v	е	s
v	v	ш	s	е	ты	т
ш	ш	v	ты	т	s	е

В этой группе шесть элементов, поэтому ord (S₃) = 6. По определению порядок тождества, е, равно единице, поскольку е ¹ = е. Каждый из s, т, и ш квадраты к е, поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: |s| = |т| = |ш| = 2. В заключение, ты и v имеют порядок 3, так как ты³ = ву = е, и v³ = УФ = е.

Порядок и структура

Порядок группы г а порядок его элементов дает много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация из |г|, чем сложнее структура г.

Для |г| = 1, группа банальный. В любой группе только элемент идентичности а = е имеет ord (а) = 1. Если каждый неединичный элемент в г равно своему обратному (так что а² = е), затем ord (а) = 2; Из этого следует г является абелевский поскольку ${ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba}$. Обратное неверно; например, (добавка) циклическая группа Z₆ целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:

${ Displaystyle 2 + 2 + 2 = 6 эквив 0 { pmod {6}}}$.

Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем

${ displaystyle langle a rangle = {a ^ {k} двоеточие k in mathbb {Z} }}$

для подгруппа генерируется от а, тогда

${ displaystyle operatorname {ord} (a) = operatorname {ord} ( langle a rangle).}$

Для любого целого числа k, у нас есть

а^k = е тогда и только тогда, когда ord (а) разделяет k.

В общем, порядок любой подгруппы г делит порядок г. Точнее: если ЧАС является подгруппой г, тогда

ord (г) / ord (ЧАС) = [г : ЧАС], где [г : ЧАС] называется показатель из ЧАС в г, целое число. Это Теорема Лагранжа. (Это, однако, верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord (г) = ∞, то частное ord (г) / ord (ЧАС) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметричной группе, показанной выше, где ord (S₃) = 6, порядки элементов - 1, 2 или 3.

Следующее частичное обратное верно для конечные группы: если d делит порядок группы г и d это простое число, то существует элемент порядка d в г (это иногда называют Теорема Коши ). Заявление не распространяется на составной заказы, например в Кляйн четыре группы не имеет элемента четвертого порядка). Это может быть показано индуктивное доказательство.^[1] Следствия теоремы включают: порядок группы г это сила простого п тогда и только тогда, когда ord (а) это некоторая сила п для каждого а в г.^[2]

Если а имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени а иметь бесконечный порядок. Если а имеет конечный порядок, мы имеем следующую формулу для порядка степеней а:

ord (а^k) = ord (а) / gcd (ord (а), k)^[3]

для каждого целого числа k. Особенно, а и его обратное а⁻¹ в таком же порядке.

В любой группе,

${ displaystyle operatorname {ord} (ab) = operatorname {ord} (ba)}$

Нет общей формулы, определяющей заказ продукта. ab по приказу а и б. Фактически, возможно, что оба а и б имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что оба а и б иметь бесконечный порядок, пока ab имеет конечный порядок. Примером первого является а(Икс) = 2−Икс, б(Икс) = 1−Икс с участием ab(Икс) = Икс−1 в группе ${ Displaystyle Сим ( mathbb {Z})}$. Пример последнего - а(Икс) = Икс+1, б(Икс) = Икс−1 с ab(Икс) = Икс. Если ab = ба, по крайней мере можно сказать, что ord (ab) делит lcm (ord (а), ord (б)). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если м обозначает максимум всех порядков элементов группы, тогда порядок каждого элемента делит м.

Подсчет по порядку элементов

Предположим г конечная группа порядка п, и d является делителем п. Количество заказа-d-элементы в г делится на φ (d) (возможно, нулевой), где φ - Функция Эйлера, что дает количество положительных целых чисел не более d и совмещать к нему. Например, в случае S₃, φ (3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает полезной информации об элементах порядка 2, потому что φ (2) = 1, и имеет лишь ограниченную полезность для составных d такие как d= 6, поскольку φ (6) = 2 и в S есть нулевые элементы порядка 6.₃.

Относительно гомоморфизмов

Групповые гомоморфизмы имеют тенденцию уменьшать порядок элементов: если ж: г → ЧАС является гомоморфизмом и а является элементом г конечного порядка, то ord (ж(а)) делит ord (а). Если ж является инъективный, затем ord (ж(а)) = ord (а). Это часто может быть использовано для доказательства отсутствия (инъективных) гомоморфизмов между двумя конкретно данными группами. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма час: S₃ → Z₅, потому что каждое число кроме нуля в Z₅ имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S₃.) Еще одно следствие: сопряженные элементы в таком же порядке.

Уравнение класса

Важным результатом о заказах является уравнение класса; он связывает порядок конечной группы г в порядке его центр Z (г) и размеры его нетривиальных классы сопряженности:

${ Displaystyle | г | = | Z (G) | + сумма _ {я} d_ {я} ;}$

где d_я - размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители |г| больше единицы, и они также равны индексам централизаторов в г представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S₃ это просто тривиальная группа с единственным элементом е, и уравнение имеет вид | S₃| = 1+2+3.

Смотрите также

• Подгруппа кручения
• Теорема Лагранжа (теория групп)

Заметки

использованная литература

• Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN  978-0471433347, стр. 20, 54–59, 90
• Артин, Майкл. Алгебра, ISBN  0-13-004763-5, стр. 46–47