Звездный многоугольник - Star polygon

Два типа звездных пятиугольников

{5/2}	|5/2|
Обычная звезда пятиугольник, {5/2}, имеет пять угловых вершин и пересекающихся ребер, а вогнутые десятиугольник, | 5/2 |, имеет десять ребер и два набора по пять вершин. Первые используются в определениях звездные многогранники и звезда однородные мозаики, а вторые иногда используются в плоских мозаиках.
Малый звездчатый додекаэдр	Мозаика

В геометрия, а звездный многоугольник это тип не-выпуклый многоугольник. Только правильные звездчатые многоугольники были изучены на любой глубине; звездные многоугольники в целом не были определены формально, однако некоторые известные может возникнуть в результате операций усечения на правильных простых и звездообразных многоугольниках.

Бранко Грюнбаум идентифицировал два основных определения, используемых Иоганн Кеплер, один из правильные звездчатые многоугольники с пересекающиеся края которые не образуют новых вершин, а второй является простым изотоксическим вогнутые многоугольники.^[1]

Первое использование включено в полиграммы который включает многоугольники, такие как пентаграмма но и составные фигуры, такие как гексаграмма.

Этимология

Имена звездообразных многоугольников объединяют цифровой префикс, Такие как пента-, с Греческий суффикс -грамма (в этом случае генерируя слово пентаграмма ). Префикс обычно греческий кардинал, но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известен как нонаграмма, с использованием порядковый нона из латинский.^{[нужна цитата ]} В -грамма суффикс происходит от γραμμή (граммḗ) означает строку.^[2]

Правильный звездный многоугольник

{5/2}

{7/2}

{7/3}...

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

"Правильный звездный многоугольник" - это самопересекающийся равносторонний равносторонний многоугольник.

Правильный звездный многоугольник обозначается Символ Шлефли {п/q}, куда п (количество вершин) и q (в плотность ) находятся относительно простой (у них нет общих факторов) и q ≥ 2.

В группа симметрии из {п/k} является группа диэдра D_п порядка 2п, независим от k.

Правильные звездные многоугольники впервые были систематически изучены Томас Брэдвардин, и позже Иоганн Кеплер.^[3]

Построение через вершинное соединение

Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив один вершина простого, обычного, п-сторонний многоугольник на другую несмежную вершину и продолжение процесса до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова.^[4] Альтернативно для целых чисел п и q, его можно считать построенным путем соединения каждого qй пункт из п точки, расположенные равномерно по кругу.^[5] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой к третьей вершине, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от второй вершины. к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.

Если q больше половины п, то построение приведет к тому же многоугольнику, что и п-q; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма сформированный из прямой пентаграммы {5/2} приводит к пентаграммическая антипризма; аналогичная конструкция из ретроградной «скрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграмматическая скрещенная антипризма. Другой пример - тетрагемигексаэдр, который можно увидеть как "перекрещенный треугольник" {3/2} куплоид.

Вырожденные правильные звездообразные многоугольники

Если п и q не взаимно просты, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет отображаться как треугольник, но его можно пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную намотку одного уникурсального шестиугольника.^[6][7]

Строительство через звёздчатую форму

В качестве альтернативы, правильный многоугольник звезды также может быть получен как последовательность звёздчатые выпуклой регулярной основной многоугольник. Конструкции, основанные на звездчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездчатых, если q больше, чем п/ 2, вместо этого линии будут бесконечно расходиться, и если q равно п/ 2, линии будут параллельны, и в результате обе линии больше не будут пересекаться в евклидовом пространстве. Однако можно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногон и Digon; такие многоугольники еще не изучены подробно.

Простые изотоксические звездчатые многоугольники

Когда пересекающиеся линии удаляются, многоугольники звезды перестают быть правильными, но их можно рассматривать как просто вогнутый изотоксальный 2п-угольники, чередующиеся вершины на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильного звездного многоугольника. Бранко Грюнбаум в Плитки и узоры представляет эти звезды как |п/d| которые соответствуют геометрии полиграмма {n / d} с обозначением {n_α} в более общем смысле, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренний угол α <180 ° (1-2 /п) градусов.^[1] Для |п/d| внутренние вершины имеют внешний угол β, равный 360 ° (d-1)/п.

Примеры простых изотоксальных звезд

| н / д | {пα}	{330°}	{630°}	|5/2| {536°}	{445°}	|8/3| {845°}	|6/2| {660°}	{572°}
α	30°		36°	45°		60°	72°
β	150°	90°	72°	135°	90°	120°	144°
Изотоксал звезда
Связанный полиграмма   {н / д}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} Фигура звезды	{10/3}

Примеры в мозаиках

Эти многоугольники часто встречаются в мозаичных узорах. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать для соответствия внутренние углы соседних полигонов в мозаичном шаблоне. Иоганн Кеплер в его работе 1619 года Harmonices Mundi, включая, среди прочего, мозаики периодов, непериодические мозаики, подобные этим, три правильных пятиугольника и правильный пятиугольник звезды (5.5.5.5/2), которые могут уместиться вокруг вершины, и связанные с современными мозаики пенроуза.^[8]

Пример мозаики с изотоксальными звездчатыми многоугольниками^[9]

Звездные треугольники	Звездные квадраты	Звездные шестиугольники			Звездные восьмиугольники
(3.3* α.3.3** α)	(8.4* π / 4.8.4* π / 4)	(6.6* π / 3.6.6* π / 3)	(3.6* π / 3.6** π / 3)	(3.6.6* π / 3.6)	Не от края до края

Интерьеры

Внутреннее пространство звездного многоугольника можно рассматривать по-разному. Для пентаграммы показаны три таких лечения. Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них, как правильные звездные многоугольники и вогнутую изогональную 2п-угольники.^[8]

К ним относятся:

• При наличии стороны одна сторона рассматривается как внешняя, а другая как внутренняя. Это показано на левой иллюстрации и обычно встречается в компьютерах. векторная графика рендеринг.
• Количество витков полигональной кривой вокруг данной области определяет ее плотность. Внешний вид имеет плотность 0, и любая область с плотностью> 0 считается внутренней. Это показано на центральной иллюстрации и обычно встречается при математической обработке многогранники. (Однако для неориентируемых многогранников плотность можно рассматривать только по модулю 2, и поэтому в этих случаях для согласованности иногда используется первая обработка.)
• Если линия может быть проведена между двумя сторонами, область, в которой она находится, рассматривается как внутри фигуры. Это показано на рисунке справа и обычно происходит при создании физической модели.

Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает различный ответ.

В искусстве и культуре

Звездные многоугольники занимают важное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть, а могут и не быть обычный но они всегда очень симметричный. Примеры включают:

• Звездный пятиугольник {5/2} (пентаграмма ) также известен как пентальфа или пятиугольник, и исторически считался многими волшебный и религиозный культы иметь оккультизм значимость.
• Многоугольники со звездами {7/2} и {7/3} (гептаграммы ) также имеют оккультное значение, особенно в Каббала И в Викка.
• Многоугольник со звездой {8/3} (октаграмма ), часто встречаются геометрические мотивы в Могол Исламское искусство и архитектура; первый на герб Азербайджана.
• Одиннадцатиконечная звезда называлась хендкаграмма был использован на могиле шаха Немат Оллаха Вали.

{8/3} октаграмма построен в обычном восьмиугольник

Печать Соломона с кругом и точками (звездочка)

Смотрите также

• Список правильных многогранников и соединений # Звезды
• Волшебная звезда
• Моравская звезда
• Pentagramma mirificum
• Правильный звездный 4-многогранник
• Руб Эль Хизб
• Звезда (глиф)
• Звездный многогранник, Многогранник Кеплера – Пуансо, и равномерный звездный многогранник

Рекомендации

• Cromwell, P .; Многогранники, CUP, Hbk. 1997, ISBN  0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN  0-521-66405-5. п. 175
• Грюнбаум, Б. и G.C. Шепард; Плитки и узоры, Нью-Йорк: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN  0-7167-1193-1.
• Грюнбаум, Б.; Многогранники с полыми гранями, Протокол конференции НАТО-АСИ по многогранникам ... и т. Д. (Торонто, 1993 г.), под ред. Т. Бистрички и др., Kluwer Academic (1994), стр. 43–70.
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. с. 404: Правильные звездные многогранники размерности 2)
• Бранко Грюнбаум, Метаморфозы полигонов, опубликовано в Светлая сторона математики: материалы конференции Мемориала Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории, (1994)