Тангенциальный многоугольник - Tangential polygon

Тангенциальная трапеция

В Евклидова геометрия, а касательный многоугольник, также известный как описанный многоугольник, это выпуклый многоугольник который содержит вписанный круг (также называемый окружать). Это круг, который касательная к каждой из сторон многоугольника. В двойной многоугольник касательного многоугольника является циклический многоугольник, который имеет описанный круг проходя через каждый из своих вершины.

Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники, которые включают ромбовидные и воздушные змеи.

Характеристики

В выпуклом многоугольнике вписана окружность если и только если все его внутренние биссектриса угла находятся одновременный. Эта общая точка - стимулятор (центр вписанной окружности).^[1]

Существует касательный многоугольник п последовательные стороны а₁, ..., а_п если и только если система уравнений

${ Displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, quad ldots, quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}$

есть решение (Икс₁, ..., Икс_п) в положительном реалы.^[2] Если такое решение существует, то Икс₁, ..., Икс_п являются касательные длины многоугольника (длины от вершины к точкам вписанной окружности касательная в стороны).

Уникальность и неединственность

Если количество сторон п нечетно, то для любого заданного набора сторон ${ displaystyle a_ {1}, dots, a_ {n}}$ удовлетворяющий указанному выше критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если п есть даже их бесконечное количество.^{[3]:п. 389} Например, в случае четырехугольника, когда все стороны равны, мы можем иметь ромб с любым значением острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.

Inradius

Если п стороны касательного многоугольника равны а₁, ..., а_п, внутренний радиус (радиус вписанной окружности)^[4]

${ displaystyle r = { frac {K} {s}} = { frac {2K} { sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}$

куда K это площадь многоугольника и s это полупериметр. (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

• Для тангенциального многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (так что многоугольник правильный). У тангенциального многоугольника с четным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы А, C, E, ... равны, а углы B, D, F, ... равны).^[5]
• В касательном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин сторон с нечетными номерами равна сумме длин сторон с четными номерами.^[2]
• Тангенциальный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с таким же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности.^{[6]:п. 862[7]}
• В центроид любого касательного многоугольника, центр тяжести его граничных точек и центр вписанной окружности равны коллинеарен, с центром тяжести многоугольника между остальными и вдвое дальше от центра тяжести, чем от центроида границы.^{[6]:стр. 858–9}

Тангенциальный треугольник

Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется тангенциальный треугольник контрольного треугольника, если касания касательного треугольника с окружностью также являются вершинами контрольного треугольника.

Тангенциальный четырехугольник

Тангенциальный шестиугольник

Параллельные главные диагонали

• По касательной шестиугольник ABCDEF, главный диагонали ОБЪЯВЛЕНИЕ, БЫТЬ, и CF находятся одновременный в соответствии с Теорема Брианшона.

Смотрите также

• Circumgon

Рекомендации