Икосагон - Icosagon

Обычный икосагон
Обычный икосагон
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	20
Символ Шлефли	{20}, т {10}, тт {5}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D20), заказ 2 × 20
Внутренний угол (градусы )	162°
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, икосагон или 20-угольник - это двадцатигранник многоугольник. Сумма внутренних углов любого икосагона составляет 3240 градусов.

Обычный икосагон

В обычный икосагон имеет Символ Шлефли {20}, а также может быть выполнен в виде усеченный десятиугольник, t {10}, или дважды усеченный пятиугольник, тт {5}.

Один внутренний угол в обычный icosagon равен 162 °, что означает, что один внешний угол будет 18 °.

В площадь правильного икозагона с длиной ребра т является

${ displaystyle A = {5} t ^ {2} (1 + { sqrt {5}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}}) simeq 31.5687t ^ {2}. }$

По радиусу р своего описанный круг, площадь

${ displaystyle A = { frac {5R ^ {2}} {2}} ({ sqrt {5}} - 1);}$

так как площадь круга ${ displaystyle pi R ^ {2},}$ правильный икосагон занимает примерно 98,36% описанной окружности.

Использует

Большое колесо в популярном игровом шоу в США Цена правильная имеет икосогональное сечение.

Глобус, театр под открытым небом, используемый актерской труппой Уильяма Шекспира, был обнаружен как построенный на икосогональном фундаменте, когда в 1989 году были проведены частичные раскопки.^[1]

Как голигональный путь, свастика считается неправильным икосагоном.^[2]

Правильный квадрат, пятиугольник и икосагон вполне могут заполнить вершину плоскости.

Строительство

Поскольку 20 = 2² × 5, правильный икосагон конструктивный используя компас и линейка, или ребром-деление пополам регулярного десятиугольник, или дважды пополам регулярный пятиугольник:

Построение правильного икосагона

Построение правильного десятиугольника

Золотое сечение в икосагоне

• В конструкции с заданной длиной стороны дуга окружности вокруг C с радиусом CD, разделяет сегмент E₂₀F в соотношении золотого сечения.

${ displaystyle { frac { overline {E_ {20} E_ {1}}} { overline {E_ {1} F}}} = { frac { overline {E_ {20} F}} { overline {E_ {20} E_ {1}}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = varphi приблизительно 1,618}$

Икосагон с заданной длиной стороны, анимация (конструкция очень похожа на десятиугольник с заданной длиной стороны)

Симметрия

Симметрии правильного икосогона. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала прорисовываются через вершины, а фиолетовые зеркала - через края. В центре даны приказы гирации.

В обычный икосагон имеет Dih₂₀ симметрия, порядок 40. Существует 5 диэдральных симметрий подгрупп: (Dih₁₀, Ди₅) и (Dih₄, Ди₂, и Dih₁) и 6 циклическая группа симметрии: (Z₂₀, Z₁₀, Z₅) и (Z₄, Z₂, Z₁).

Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосогоне, большее число, потому что линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком.^[3] Полная симметрия правильной формы r40 и симметрия не помечена а1. Диэдральные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины (d для диагонали) или краев (п для перпендикуляров), и я когда линии отражения проходят через ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце помечены как грамм для их приказов центрального вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только g20 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Неправильные икосагоны высшей симметрии d20, изогональный икосагон, состоящий из десяти зеркал, у которых могут чередоваться длинные и короткие края, и стр.20, изотоксальный icosagon, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися под двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойники друг друга и имеют половину порядка симметрии правильного икозагона.

Рассечение

20-угольник с 180 ромбами

обычный

Изотоксал

Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на м(м-1) / 2 параллелограмма.^[4]В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для икосагона, м= 10, и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на Многоугольник Петри проекция 10-куб, с 45 из 11520 граней. Список OEIS: A006245 насчитывает количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратного вращения и хиральные формы в отражении.

Рассечение на 45 ромбов

10-куб

Связанные полигоны

An икосаграмма это 20-гранный звездный многоугольник, представленный символом {20 / n}. Есть три регулярные формы, данные Символы Шлефли: {20/3}, {20/7} и {20/9}. Также есть пять обычных звездных фигур (соединений), использующих те же самые расположение вершин: 2 {10}, 4 {5}, 5 {4}, 2 {10/3}, 4 {5/2} и 10 {2}.

п	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/1} = {20}	{20/2} = 2{10}	{20/3}	{20/4} = 4{5}	{20/5} = 5{4}
Внутренний угол	162°	144°	126°	108°	90°
п	6	7	8	9	10
Форма	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{20/6} = 2{10/3}	{20/7}	{20/8} = 4{5/2}	{20/9}	{20/10} = 10{2}
Внутренний угол	72°	54°	36°	18°	0°

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут давать изогональные (вершинно-транзитивный ) промежуточные формы икосаграммы с одинаковыми вершинами и двумя длинами ребер.^[5]

Обычную икосаграмму, {20/9}, можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t {10/9} = {20/9}. Аналогичным образом декаграмма, {10/3} имеет квазиусечение t {10/7} = {20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t {10/3} = {20/3}.

Икосаграммы как усечения правильных декагонов и декаграмм, {10}, {10/3}

Квазирегулярный					Квазирегулярный
t {10} = {20}					т {10/9} = {20/9}
т {10/3} = {20/3}					т {10/7} = {20/7}

Полигоны Петри

Обычный икосагон - это Многоугольник Петри для ряда многомерных многогранников, показанных на ортогональные проекции в Самолеты Кокстера:

А19	B10		D11	E8	ЧАС4	½2H2	2H2
19-симплекс	10-ортоплекс	10-куб	11-demicube	(421)	600 ячеек	Великая антипризма	10-10 дуопирамид	10-10 дуопризма

Это также многоугольник Петри для икосаэдрический 120-элементный, маленький звездчатый 120-элементный, большой икосаэдр, 120 ячеек, и великий гранд 120-элементный.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Именование многоугольников и многогранников
• икосагон