Триаконтадигон - Triacontadigon

Обычный триаконтадигон
Обычный триаконтадигон
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	32
Символ Шлефли	{32}, т {16}, тт {8}, ттт {4}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D32), порядок 2 × 32
Внутренний угол (градусы )	168.75°
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, а триаконтадигон (или же триаконтакаидигон) или же 32-угольник представляет собой многоугольник с тридцатью двумя сторонами. На греческом языке приставка triaconta- означает 30, а di- - 2. Сумма внутренних углов любого триаконтадигона составляет 5400 градусов.

Старое имя триконтадоагон.^[1] Другое имя икосидодекагон, предлагая (20 и 12) -угольник, параллельно 32-гранному икосододекаэдр, состоящий из 20 треугольников и 12 пятиугольников.^[2]

Обычный триаконтадигон

В обычный триаконтадигон можно построить как усеченный шестиугольник, t {16}, дважды усеченный восьмиугольник, tt {8}, и трижды усеченный квадрат. Усеченный триаконтадигон, t {32}, является гексаконатрагон, {64}.

Один внутренний угол в обычный триаконтадигон - 168³⁄₄°, что означает, что один внешний угол будет 11¹⁄₄°.

В площадь штатного триаконтадигона (с т = длина кромки)

${ displaystyle { begin {align} A = & 8t ^ {2} cot { frac { pi} {32}} = & 8t ^ {2} left (1 + { sqrt {2}} + { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} + { sqrt {8 + 4 { sqrt {2}} + 2 { sqrt {20 + 14 { sqrt {2}}}}} } right) end {выровнен}}}$

и это inradius является

${ displaystyle r = { frac {1} {2}} t cot { frac { pi} {32}}}$

В по окружности штатного триаконтадигона

${ displaystyle { begin {align} R = & { frac {1} {2}} t csc { frac { pi} {32}} = & { frac {1} {2}} t left ({ sqrt {16 + 8 { sqrt {2}} + 4 { sqrt {20 + 14 { sqrt {2}}}} + 2 { sqrt {168 + 116 { sqrt {2 }} + 2 { sqrt {13780 + 9742 { sqrt {2}}}}}}}} right) end {align}}}$

Строительство

Поскольку 32 = 2⁵ (а сила двух ) штатный триаконтадигон - это конструктивный многоугольник. Его можно построить с помощью ребраделение пополам регулярного шестиугольник.^[3]

Симметрия

Симметрии обычного триаконтадигона. Линии отражений синие по вершинам и пурпурные по краям. Гирации указаны цифрами в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

В обычный триаконтадигон есть Dih₃₂ двугранная симметрия, порядок 64, представленный 32 линиями отражения. Dih₃₂ имеет 5 диэдральных подгрупп: Dih₁₆, Ди₈, Ди₄, Ди₂ и Ди₁ и еще 6 циклический симметрии: Z₃₂, Z₁₆, Z₈, Z₄, Z₂, а Z₁, с Z_п представляющий π /п радианная вращательная симметрия.

На обычном триаконтадигоне имеется 17 различных симметрий. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.^[4] Он дает r64 для полной отражающей симметрии Dih₁₆, и а1 без симметрии. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, п с зеркальными линиями по краям (перпендикулярно), я с зеркальными линиями через вершины и края, и грамм для вращательной симметрии. а1 этикетки не симметричны.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять нерегулярные триаконтадигоны. Только g32 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Рассечение

32-угольник с 480 ромбами

обычный

Изотоксал

Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на м(м-1) / 2 параллелограмма.^[5]В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для обычный триаконтадигон, м= 16, и его можно разделить на 120: 8 квадратов и 7 наборов по 16 ромбов. Это разложение основано на Многоугольник Петри проекция 16-куб.

Примеры

Триаконтадиграмма

Триаконтадиграмма - это 32-сторонняя звездный многоугольник. Есть семь обычных форм, которые дает Символы Шлефли {32/3}, {32/5}, {32/7}, {32/9}, {32/11}, {32/13} и {32/15}, а также восемь соединений звездные фигуры с тем же конфигурация вершины.

Правильные многоугольники в виде звезд {32 / k}
Рисунок	{32/3}	{32/5}	{32/7}	{32/9}	{32/11}	{32/13}	{32/15}
Внутренний угол	146.25°	123.75°	101.25°	78.75°	56.25°	33.75°	11.25°

Много изогональный триаконтадиграммы также могут быть построены как более глубокие усечения регулярных шестиугольник {16} и гексадекаграммы {16/3}, {16/5} и {16/7}. Они также создают четыре квазиусечения: t {16/9} = {32/9}, t {16/11} = {32/11}, t {16/13} = {32/13} и t {16 / 15} = {32/15}. Некоторые изогональные триаконтадиграммы изображены ниже как часть вышеупомянутых последовательностей усечения.^[6]

изогональные триаконтадиграммы
t {16} = {32}								т {16/15} = {32/15}
т {16/3} = {32/3}								т {16/13} = {32/13}
т {16/5} = {32/5}								т {16/11} = {32/11}
т {16/7} = {32/7}								т {16/9} = {32/9}

Рекомендации

• Именование многоугольников и многогранников
• CRC Краткая энциклопедия математики, второе издание, Эрик В. Вайсштейн икосидодекагон