Пентадекагон - Pentadecagon

Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	15
Символ Шлефли	{15}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D15), заказ 2 × 15
Внутренний угол (градусы )	156°
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, а пятиугольник или же пятиугольник или 15-угольник - это пятнадцатигранный многоугольник.

Правильный пятиугольник

А обычный пятиугольник представлен Символ Шлефли {15}.

А обычный Пентадекагон имеет внутренние углы 156°, и с длиной стороны а, имеет площадь, равную

${ displaystyle { begin {align} A = { frac {15} {4}} a ^ {2} cot { frac { pi} {15}} & = { frac {15} {4} } { sqrt {7 + 2 { sqrt {5}} + 2 { sqrt {15 + 6 { sqrt {5}}}}} a ^ {2} & = { frac {15a ^ {2}} {8}} left ({ sqrt {3}} + { sqrt {15}} + { sqrt {2}} { sqrt {5 + { sqrt {5}}}} справа) & simeq 17.6424 , a ^ {2}. end {align}}}$

Использует

Правильный треугольник, десятиугольник и пятиугольник не могут полностью заполнить вершину плоскости.^{[нужна цитата ]}

Строительство

Поскольку 15 = 3 × 5, произведение различных Простые числа Ферма, правильный пятиугольник конструктивный с помощью компас и линейка: Следующие конструкции правильных пятиугольников с данной описанной окружностью похожи на иллюстрацию предложения XVI в Книге IV Евклида Элементы.^[1]

Сравните конструкцию Евклида на этом изображении: Пентадекагон

В конструкции для данной описанной окружности: ${ displaystyle { overline {FG}} = { overline {CF}} { text {,}} ; { overline {AH}} = { overline {GM}} { text {,}} ; | E_ {1} E_ {6} |}$ сторона равностороннего треугольника и ${ displaystyle | E_ {2} E_ {5} |}$ это сторона правильного пятиугольника.^[2]Смысл ${ displaystyle H}$ делит радиус ${ displaystyle { overline {AM}}}$ в Золотое сечение: ${ displaystyle { frac { overline {AH}} { overline {HM}}} = { frac { overline {AM}} { overline {AH}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi примерно 1,618 { text {.}}}$

По сравнению с первой анимацией (с зелеными линиями) на следующих двух изображениях показаны две дуги окружности (для углов 36 ° и 24 °), повернутые на 90 ° против часовой стрелки. Они не используют сегмент ${ displaystyle { overline {CG}}}$, а они используют сегмент ${ displaystyle { overline {MG}}}$ как радиус ${ displaystyle { overline {AH}}}$ для второй дуги окружности (угол 36 °).

Конструкция циркуля и линейки для заданной длины стороны. Конструкция почти такая же, как у пятиугольник на заданной стороне, то также презентация завершается расширением одной стороны и генерирует сегмент, здесь ${ displaystyle { overline {FE_ {2}}} { text {,}}}$ которое делится по золотому сечению:

${ displaystyle { frac { overline {E_ {1} E_ {2}}} { overline {E_ {1} F}}} = { frac { overline {E_ {2} F}} { overline {E_ {1} E_ {2}}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = Phi приблизительно 1,618 { text {.}}}$

Circumradius ${ Displaystyle { overline {E_ {2} M}} = R ;; ; ;}$ Длина стороны ${ Displaystyle { overline {E_ {1} E_ {2}}} = а ;; ; ;}$ Угол ${ displaystyle DE_ {1} M = ME_ {2} D = 78 ^ { circ}}$

${ displaystyle { begin {align} R & = a cdot { frac {1} {2}} cdot left ({ sqrt {5 + 2 cdot { sqrt {5}}}} + { sqrt {3}} right) = { frac {1} {2}} cdot { sqrt {8 + 2 cdot { sqrt {5}} + 2 { sqrt {15 + 6 cdot { sqrt {5}}}}}} cdot a & = { frac { sin (78 ^ { circ})} { sin (24 ^ { circ})}} cdot a приблизительно 2.40486 cdot a end {выровненный}}}$

Конструкция для заданной длины стороны

Построение для заданной длины стороны как анимация

Симметрия

Симметрии правильного пятиугольника, показанные с цветами на краях и вершинах. Линии отражений синие. Гирации указаны цифрами в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

В правильный пятиугольник есть Dih₁₅ двугранная симметрия, порядок 30, представленный 15 линиями отражения. Dih₁₅ имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih₅, Ди₃, и Dih₁. И еще четыре циклический симметрии: Z₁₅, Z₅, Z₃, а Z₁, с Z_п представляющий π /п радианная вращательная симметрия.

На пятиугольнике есть 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначает эти симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.^[3] Он дает r30 для полной отражающей симметрии Dih₁₅. Он дает d (диагональ) с линиями отражения через вершины, п с линиями отражения через ребра (перпендикулярно), а для нечетного пятиугольника я с зеркальными линиями через вершины и края, и грамм для циклической симметрии. а1 этикетки не симметричны.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные пятиугольники. Только g15 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Пентадекаграммы

Есть три обычных звездные многоугольники: {15/2}, {15/4}, {15/7}, построены из тех же 15 вершин правильного пятиугольника, но соединены пропуском каждой второй, четвертой или седьмой вершины соответственно.

Также есть три обычных звездные фигуры: {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая из которых состоит из трех пятиугольники, второй состав из пяти равносторонние треугольники, а третий состав из трех пентаграммы.

Составную фигуру {15/3} можно условно рассматривать как двумерный эквивалент трехмерной соединение пяти тетраэдров.

Рисунок	{15/2}	{15/3} или 3 {5}	{15/4}	{15/5} или 5 {3}	{15/6} или 3 {5/2}	{15/7}
Внутренний угол	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Более глубокие усечения правильного пятиугольника и пентадекаграммы могут давать изогональные (вершинно-транзитивный ) промежуточные звёздчатые многоугольники образуют с равным расстоянием между вершинами и двумя длинами ребер.^[4]

Вершинно-транзитивные усечения пятиугольника
Квазирегулярный	Изогональный							Квазирегулярный
т {15/2} = {30/2}								т {15/13} = {30/13}
т {15/7} = {30/7}								т {15/8} = {30/8}
т {15/11} = {30/22}								т {15/4} = {30/4}

Полигоны Петри

Правильный пятиугольник - это Многоугольник Петри для некоторых многомерных многогранников, спроецированных под углом ортогональная проекция:

14-симплекс (14D)

Смотрите также

• Построение пятиугольника при заданной длине стороны, расчет радиуса описанной окружности ${ displaystyle R}$ (Немецкий)
• Построение пятиугольника при заданной длине стороны, пример: радиус описанной окружности ${ displaystyle { overline {CG}} = R}$

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентадекагон». MathWorld.