Списки равномерных мозаик на сфере, плоскости и гиперболической плоскости - Lists of uniform tilings on the sphere, plane, and hyperbolic plane - Wikipedia

В геометрия, многие однородные мозаики на сфере, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости могут быть составлены с помощью Строительство Wythoff внутри фундаментального треугольника (p q r), определяемого внутренними углами как π / p, π / q и π / r. Частные случаи - прямоугольные треугольники (p q 2). Равномерные решения строятся одной образующей точкой с 7 позициями внутри фундаментального треугольника, 3 углами, вдоль 3 ребер и внутренней частью треугольника. Все вершины существуют в генераторе или его отраженной копии. Между образующей точкой и ее изображением в зеркале существуют края. Существует до 3 типов граней с центрами в углах основного треугольника. Области прямоугольных треугольников могут иметь всего 1 тип граней, образующих правильные формы, в то время как общие треугольники имеют как минимум 2 типа треугольников, что в лучшем случае приводит к квазирегулярной мозаике.

Существуют разные обозначения для выражения этих однородных решений: Символ Wythoff, Диаграмма Кокстера, и t-запись Кокстера.

Простые плитки генерируются Треугольники Мебиуса с целыми числами p, q, r, а Треугольники Шварца разрешить рациональные числа p, q, r и разрешить звездный многоугольник грани и имеют перекрывающиеся элементы.

7 точек генератора

Семь точек генератора с каждым набором ${ displaystyle p, q, r}$ (и несколько специальных форм):

Общий				Правый треугольник (r = 2)
Описание	Wythoff символ	Вершина конфигурация	Coxeter диаграмма	Wythoff символ	Вершина конфигурация	Schläfli символ		Coxeter диаграмма
обычный и квазирегулярный	q | п р	(п.р)q		q | п 2	пq	{p, q}
	п | q r	(q.р)п		п | q 2	qп	{q, p}
	р | p q	(q.п)р		2 | p q	(q.п)²	г {р, д}	т1{p, q}
усеченный и расширенный	q r | п	${ displaystyle q.2p.r.2p}$		q 2 | п	${ displaystyle q.2p.2p}$	т {р, д}	т0,1{p, q}
	п р | q	${ displaystyle p.2q.r.2q}$		п 2 | q	п. 2q.2q	т {д, р}	т0,1{q, p}
	p q | р	${ displaystyle 2r.q.2r.p}$		p q | 2	${ displaystyle 4.q.4.p}$	рр {р, q}	т0,2{p, q}
ровный	p q r |	${ displaystyle 2r.2q.2p}$		p q 2 |	${ displaystyle 4.2q.2p}$	tr {p, q}	т0,1,2{p, q}
	p q (r s) |	${ displaystyle 2p.2q.-2p.-2q}$	-	п 2 (r s) |	2п.4.-2п.4/3			-
пренебрежительно	| p q r	${ displaystyle 3.r.3.q.3.p}$		| p q 2	${ displaystyle 3.3.q.3.p}$	sr {p, q}
	| p q r s	${ displaystyle (4.p.4.q.4.r.4.s) / 2}$	-	-	-			-

Есть три особых случая:

• ${ Displaystyle п д (г с) |}$ - Это смесь ${ Displaystyle п д г |}$ и ${ Displaystyle п д с |}$, содержащий только лица, общие для обоих.
• ${ displaystyle | p q r}$ - Прямоугольные формы (чередующиеся) обозначаются этим неиспользуемым в противном случае символом.
• ${ displaystyle | p q r s}$ - Уникальная курносая форма для U75 это не конструктивно Уайтхофф.

Треугольники симметрии

Имеется 4 класса симметрии отражения на сфера, и три в Евклидова плоскость. Некоторые из бесконечно много такие модели в гиперболическая плоскость также перечислены. (Увеличение любого из чисел, определяющих гиперболическое или евклидово замощение, приводит к другому гиперболическому замощению.)

Группы точек:

• (стр 2 2) двугранная симметрия, ${ Displaystyle р = 2,3,4 точки}$ (порядок ${ displaystyle 4p}$)
• (3 3 2) тетраэдрическая симметрия (заказ 24)
• (4 3 2) октаэдрическая симметрия (заказ 48)
• (5 3 2) икосаэдрическая симметрия (заказ 120)

Евклидовы (аффинные) группы:

• (4 4 2) * 442 симметрия: Треугольник 45 ° -45 ° -90 °
• (6 3 2) *632 симметрия: Треугольник 30 ° -60 ° -90 °
• (3 3 3) *333 симметрия: Треугольник 60 ° -60 ° -60 °

Гиперболические группы:

• (7 3 2) *732 симметрия
• (8 3 2) *832 симметрия
• (4 3 3) *433 симметрия
• (4 4 3) *443 симметрия
• (4 4 4) *444 симметрия
• (5 4 2) *542 симметрия
• (6 4 2) *642 симметрия
• ...

Двугранный сферический					Сферический
D2ч	D3ч	D4ч	D5ч	D6ч	Тd	Очас	ячас
*222	*322	*422	*522	*622	*332	*432	*532
(2 2 2)	(3 2 2)	(4 2 2)	(5 2 2)	(6 2 2)	(3 3 2)	(4 3 2)	(5 3 2)

Указанные выше группы симметрии включают только целочисленные решения на сфере. Список треугольников Шварца включает рациональные числа и определяет полный набор решений невыпуклые равномерные многогранники.

Евклидова плоскость

p4m	p3m	p6m
*442	*333	*632
(4 4 2)	(3 3 3)	(6 3 2)

Гиперболическая плоскость

*732	*542	*433
(7 3 2)	(5 4 2)	(4 3 3)

В приведенных выше мозаиках каждый треугольник представляет собой фундаментальную область, раскрашенную четными и нечетными отражениями.

Сводные сферические, евклидовы и гиперболические мозаики

Ниже приведены избранные мозаики, созданные конструкцией Wythoff.

Сферические мозаики (р = 2)

(p q 2)	Родитель	Усеченный	Исправленный	Bitruncated	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Усеченный (Усеченный)	Курносый
Wythoff символ	q | п 2	2 q | п	2 | p q	2 п | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Schläfli символ	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
	{p, q}	т {р, д}	г {р, д}	т {д, р}	{q, p}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	т0{p, q}	т0,1{p, q}	т1{p, q}	т1,2{p, q}	т2{p, q}	т0,2{p, q}	т0,1,2{p, q}
Coxeter диаграмма
Фигура вершины	пq	q.2p.2p	(p.q)2	п. 2 кв. 2 кв.	qп	п. 4.q.4	4.2p.2q	3.3.стр. 3.q
(3 3 2)	{3,3}	(3.6.6)	(3.3a.3.3a)	(3.6.6)	{3,3}	(3a.4.3b.4)	(4.6a.6b)	(3.3.3a.3.3b)
(4 3 2)	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4a.4)	(4.6.8)	(3.3.3a.3.4)
(5 3 2)	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3a.3.5)

Некоторые перекрывающиеся сферические мозаики (р = 2)

Для получения более полного списка, включая случаи, когда р ≠ 2, см. Список равномерных многогранников треугольником Шварца.

Плитки показаны как многогранники. Некоторые формы являются вырожденными, они указаны в скобках для фигуры вершин, с перекрывающимися ребрами или вершинами.

(p q 2)	Фонд. треугольник	Родитель	Усеченный	Исправленный	Bitruncated	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Усеченный (Усеченный)	Курносый
Символ Wythoff		q | п 2	2 q | п	2 | p q	2 п | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Символ Шлефли		${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
		{p, q}	т {р, д}	г {р, д}	т {д, р}	{q, p}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
		т0{p, q}	т0,1{p, q}	т1{p, q}	т1,2{p, q}	т2{p, q}	т0,2{p, q}	т0,1,2{p, q}
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Фигура вершины		пq	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(стр. 2q. 2q)	qп	(стр. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.п. 3.q)
Икосаэдр (5/2 3 2)		{3,5/2}	(5/2.6.6)	(3.5/2)2	[3.10/2.10/2]	{5/2,3}	[3.4.5/2.4]	[4.10/2.6]	(3.3.3.3.5/2)
Икосаэдр (5 5/2 2)		{5,5/2}	(5/2.10.10)	(5/2.5)2	[5.10/2.10/2]	{5/2,5}	(5/2.4.5.4)	[4.10/2.10]	(3.3.5/2.3.5)

Двугранная симметрия (q = р = 2)

Сферические мозаики с двугранная симметрия существуют для всех ${ Displaystyle р = 2,3,4, точки}$ многие с Digon грани, которые становятся вырожденными многогранниками. Две из восьми форм (ректифицированная и кантилляционная) являются копиями и пропущены в таблице.

(стр 2 2) Фундаментальный домен	Родитель	Усеченный	Bitruncated (усеченное двойное)	Двунаправленный (двойной)	Усеченный (Усеченный)	Курносый
Расширенный Символ Шлефли	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$
	{p, 2}	т {р, 2}	т {2, р}	{2, п}	tr {p, 2}	ст {р, 2}
	т0{p, 2}	т0,1{p, 2}	т1,2{p, 2}	т2{p, 2}	т0,1,2{p, 2}
Символ Wythoff	2 | п 2	2 2 | п	2 п | 2	p | 2 2	п 2 2 |	| стр 2 2
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Фигура вершины	p²	(2.2p. 2p)	(4.4.p)	2п	(4.2p.4)	(3.3.стр.3)
(2 2 2) V2.2.2	{2,2}	2.4.4	4.4.2	{2,2}	4.4.4	3.3.3.2
(3 2 2) V3.2.2	{3,2}	2.6.6	4.4.3	{2,3}	4.4.6	3.3.3.3
(4 2 2) V4.2.2	{4,2}	2.8.8	4.4.4	{2,4}	4.4.8	3.3.3.4
(5 2 2) V5.2.2	{5,2}	2.10.10	4.4.5	{2,5}	4.4.10	3.3.3.5
(6 2 2) V6.2.2	{6,2}	2.12.12	4.4.6	{2,6}	4.4.12	3.3.3.6
...

Евклидовы и гиперболические мозаики (р = 2)

Даны некоторые репрезентативные гиперболические мозаики, которые показаны как Диск Пуанкаре проекция.

(p q 2)	Фонд. треугольники	Родитель	Усеченный	Исправленный	Bitruncated	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Усеченный (Усеченный)	Курносый
Символ Wythoff		q | п 2	2 q | п	2 | p q	2 п | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Символ Шлефли		${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
		{p, q}	т {р, д}	г {р, д}	т {д, р}	{q, p}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
		т0{p, q}	т0,1{p, q}	т1{p, q}	т1,2{p, q}	т2{p, q}	т0,2{p, q}	т0,1,2{p, q}
Диаграмма Кокстера – Дынкина
Фигура вершины		пq	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(стр. 2q. 2q)	qп	(стр. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.п. 3.q)
Шестиугольная черепица (6 3 2)	V4.6.12	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6
(Гиперболическая плоскость) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8
Квадратная плитка (4 4 2)	V4.8.8	{4,4}	4.8.8	4.4a.4.4a	4.8.8	{4,4}	4.4a.4b.4a	4.8.8	3.3.4a.3.4b
(Гиперболическая плоскость) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Гиперболическая плоскость) (6 4 2)	V4.8.12	{6,4}	4.12.12	4.6.4.6	6.8.8	{4,6}	4.4.6.4	4.8.12	3.3.4.3.6
(Гиперболическая плоскость) (7 4 2)	V4.8.14	{7,4}	4.14.14	4.7.4.7	7.8.8	{4,7}	4.4.7.4	4.8.14	3.3.4.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 4 2)	V4.8.16	{8,4}	4.16.16	4.8.4.8	8.8.8	{4,8}	4.4.8.4	4.8.16	3.3.4.3.8
(Гиперболическая плоскость) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Гиперболическая плоскость) (6 5 2)	V4.10.12	{6,5}	5.12.12	5.6.5.6	6.10.10	{5,6}	5.4.6.4	4.10.12	3.3.5.3.6
(Гиперболическая плоскость) (7 5 2)	V4.10.14	{7,5}	5.14.14	5.7.5.7	7.10.10	{5,7}	5.4.7.4	4.10.14	3.3.5.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 5 2)	V4.10.16	{8,5}	5.16.16	5.8.5.8	8.10.10	{5,8}	5.4.8.4	4.10.16	3.3.5.3.8
(Гиперболическая плоскость) (6 6 2)	V4.12.12	{6,6}	6.12.12	6.6.6.6	6.12.12	{6,6}	6.4.6.4	4.12.12	3.3.6.3.6
(Гиперболическая плоскость) (7 6 2)	V4.12.14	{7,6}	6.14.14	6.7.6.7	7.12.12	{6,7}	6.4.7.4	4.12.14	3.3.6.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 6 2)	V4.12.16	{8,6}	6.16.16	6.8.6.8	8.12.12	{6,8}	6.4.8.4	4.12.16	3.3.6.3.8
(Гиперболическая плоскость) (7 7 2)	V4.14.14	{7,7}	7.14.14	7.7.7.7	7.14.14	{7,7}	7.4.7.4	4.14.14	3.3.7.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 7 2)	V4.14.16	{8,7}	7.16.16	7.8.7.8	8.14.14	{7,8}	7.4.8.4	4.14.16	3.3.7.3.8
(Гиперболическая плоскость) (8 8 2)	V4.16.16	{8,8}	8.16.16	8.8.8.8	8.16.16	{8,8}	8.4.8.4	4.16.16	3.3.8.3.8
(Гиперболическая плоскость) (∞ 3 2)	V4.6.∞	{∞,3}	3.∞.∞	3.∞.3.∞	∞.6.6	{3,∞}	3.4.∞.4	4.6.∞	3.3.3.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ 4 2)	V4.8.∞	{∞,4}	4.∞.∞	4.∞.4.∞	∞.8.8	{4,∞}	4.4.∞.4	4.8.∞	3.3.4.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ 5 2)	V4.10.∞	{∞,5}	5.∞.∞	5.∞.5.∞	∞.10.10	{5,∞}	5.4.∞.4	4.10.∞	3.3.5.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ 6 2)	V4.12.∞	{∞,6}	6.∞.∞	6.∞.6.∞	∞.12.12	{6,∞}	6.4.∞.4	4.12.∞	3.3.6.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ 7 2)	V4.14.∞	{∞,7}	7.∞.∞	7.∞.7.∞	∞.14.14	{7,∞}	7.4.∞.4	4.14.∞	3.3.7.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ 8 2)	V4.16.∞	{∞,8}	8.∞.∞	8.∞.8.∞	∞.16.16	{8,∞}	8.4.∞.4	4.16.∞	3.3.8.3.∞
(Гиперболическая плоскость) (∞ ∞ 2)	V4.∞.∞	{∞,∞}	∞.∞.∞	∞.∞.∞.∞	∞.∞.∞	{∞,∞}	∞.4.∞.4	4.∞.∞	3.3.∞.3.∞

Евклидовы и гиперболические мозаики (р > 2)

В Диаграмма Кокстера – Дынкина дается в линейной форме, хотя на самом деле это треугольник с конечным сегментом r, соединяющимся с первым узлом.

Символ Wythoff (p q r)	Фонд. треугольники	q | п р	r q | п	г | p q	r p | q	p | q r	p q | р	p q r |	| p q r
Символ Шлефли		(р, д, г)	г (г, д, р)	(д, г, р)	г (р, д, г)	(д, р, г)	г (р, г, д)	tr (p, q, r)	s (p, q, r)
		т0(р, д, г)	т0,1(р, д, г)	т1(р, д, г)	т1,2(р, д, г)	т2(р, д, г)	т0,2(р, д, г)	т0,1,2(р, д, г)
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины		(p.r)q	(r.2p.q.2p)	(p.q)р	(q.2r.p. 2r)	(q.r)п	(стр. 2r.q.2r)	(2р. 2кв. 2р)	(3.r.3.q.3.p)
Евклидово (3 3 3)	V6.6.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3
Гиперболический (4 3 3)	V6.6.8	(3.4)3	3.8.3.8	(3.4)3	3.6.4.6	(3.3)4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Гиперболический (4 4 3)	V6.8.8	(3.4)4	3.8.4.8	(4.4)3	3.8.4.8	(3.4)4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Гиперболический (4 4 4)	V8.8.8	(4.4)4	4.8.4.8	(4.4)4	4.8.4.8	(4.4)4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4
Гиперболический (5 3 3)	V6.6.10	(3.5)3	3.10.3.10	(3.5)3	3.6.5.6	(3.3)5	3.6.5.6	6.6.10	3.3.3.3.3.5
Гиперболический (5 4 3)	V6.8.10	(3.5)4	3.10.4.10	(4.5)3	3.8.5.8	(3.4)5	4.6.5.6	6.8.10	3.5.3.4.3.3
Гиперболический (5 4 4)	V8.8.10	(4.5)4	4.10.4.10	(4.5)4	4.8.5.8	(4.4)5	4.8.5.8	8.8.10	3.4.3.4.3.5
Гиперболический (6 3 3)	V6.6.12	(3.6)3	3.12.3.12	(3.6)3	3.6.6.6	(3.3)6	3.6.6.6	6.6.12	3.3.3.3.3.6
Гиперболический (6 4 3)	V6.8.12	(3.6)4	3.12.4.12	(4.6)3	3.8.6.8	(3.4)6	4.6.6.6	6.8.12	3.6.3.4.3.3
Гиперболический (6 4 4)	V8.8.12	(4.6)4	4.12.4.12	(4.6)4	4.8.6.8	(4.4)6	4.8.6.8	8.8.12	3.6.3.4.3.4
Гиперболический (∞ 3 3)	V6.6.∞	(3.∞)3	3.∞.3.∞	(3.∞)3	3.6.∞.6	(3.3)∞	3.6.∞.6	6.6.∞	3.3.3.3.3.∞
Гиперболический (∞ 4 3)	V6.8.∞	(3.∞)4	3.∞.4.∞	(4.∞)3	3.8.∞.8	(3.4)∞	4.6.∞.6	6.8.∞	3.∞.3.4.3.3
Гиперболический (∞ 4 4)	V8.8.∞	(4.∞)4	4.∞.4.∞	(4.∞)4	4.8.∞.8	(4.4)∞	4.8.∞.8	8.8.∞	3.∞.3.4.3.4
Гиперболический (∞ ∞ 3)	V6.∞.∞	(3.∞)∞	3.∞.∞.∞	(∞.∞)3	3.∞.∞.∞	(3.∞)∞	∞.6.∞.6	6.∞.∞	3.∞.3.∞.3.3
Гиперболический (∞ ∞ 4)	V8.∞.∞	(4.∞)∞	4.∞.∞.∞	(∞.∞)4	4.∞.∞.∞	(4.∞)∞	∞.8.∞.8	8.∞.∞	3.∞.3.∞.3.4
Гиперболический (∞ ∞ ∞)	V∞.∞.∞	(∞.∞)∞	∞.∞.∞.∞	(∞.∞)∞	∞.∞.∞.∞	(∞.∞)∞	∞.∞.∞.∞	∞.∞.∞	3.∞.3.∞.3.∞

Смотрите также

• Правильный многогранник
• Правильный многогранник
• Список однородных мозаик
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список равномерных многогранников
• Список равномерных многогранников треугольником Шварца

Рекомендации

• Coxeter Правильные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
• Coxeter Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN  0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Coxeter, Лонге-Хиггинс, Миллер, Равномерные многогранники, Фил. Пер. 1954, 246 А, 401–50.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9. С. 9–10.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Символ Wythoff". MathWorld.
• Символ Wythoff
• Символ Wythoff^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Апплет Грега Игана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Уайтхоффа
• Рендеринг метода построения Wythoff методом Shadertoy
• KaleidoTile 3 Бесплатное образовательное программное обеспечение для Windows от Джеффри Уикс это привело к появлению многих изображений на странице.
• Люк, Дон. «Гиперболические плоские мозаики».

В эту статью включены материалы по математике. список списков.