Большой курносый икосододекаэдр - Great snub icosidodecahedron

Большой курносый икосододекаэдр
Тип	Равномерный звездный многогранник
Элементы	F = 92, E = 150 V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	(20+60){3}+12{5/2}
Символ Wythoff	| 2 5/2 3
Группа симметрии	Я, [5,3]+, 532
Указатель ссылок	U57, C88, W113
Двойной многогранник	Большой пятиугольный гексеконтаэдр
Фигура вершины	34.5/2
Акроним Bowers	Госид

3D модель большого курносого икосододекаэдра

В геометрия, то большой курносый икосододекаэдр это невыпуклый однородный многогранник, индексируется как U₅₇. Имеет 92 лица (80 треугольники и 12 пентаграммы ), 150 ребер и 60 вершин.^[1] Его можно представить в виде Символ Шлефли sr {⁵⁄₂, 3} и Диаграмма Кокстера-Дынкина .

Этот многогранник пренебрежительно член семьи, который включает большой икосаэдр, то большой звездчатый додекаэдр и большой икосододекаэдр.

В книге Модели многогранников к Магнус Веннингер, многогранник неправильно назван большой перевернутый курносый икосододекаэдр, наоборот.

Декартовы координаты

Декартовы координаты для вершин большого курносого икосододекаэдра все даже перестановки из

(± 2α, ± 2, ± 2β),

(± (α − βτ − 1 / τ), ± (α / τ + β − τ), ± (−ατ − β / τ − 1)),

(± (ατ − β / τ + 1), ± (−α − βτ + 1 / τ), ± (−α / τ + β + τ)),

(± (ατ − β / τ − 1), ± (α + βτ + 1 / τ), ± (−α / τ + β − τ)) и

(± (α − βτ + 1 / τ), ± (−α / τ − β − ​​τ), ± (−ατ − β / τ + 1)),

с четным числом плюсов, где

α = ξ − 1 / ξ

и

β = −ξ / τ + 1 / τ²−1 / (ξτ),

где τ = (1+√5) / 2 - это Золотая середина а ξ - отрицательное действительное корень из ξ³−2ξ = −1 / τ, или приблизительно −1,5488772. нечетные перестановки приведенных выше координат с нечетным числом знаков плюс дает другую форму, энантиоморф другого.

Радиус описанной окружности для единицы длины кромки равен

${displaystyle R = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {2-x} {1-x}}} = 0,64502dots}$

куда ${displaystyle x}$ соответствующий корень ${displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} = {Big (} {frac {1pm {sqrt {5}}} {2}} {Big)} ^ {2}}$. Четыре положительных реальных корня секстический в ${displaystyle R ^ {2},}$

${displaystyle 4096R ^ {12} -27648R ^ {10} + 47104R ^ {8} -35776R ^ {6} + 13872R ^ {4} -2696R ^ {2} + 209 = 0}$

окружные радиусы курносый додекаэдр (U₂₉), большой курносый икосододекаэдр (U₅₇), большой перевернутый курносый икосододекаэдр (U₆₉), и большой ретроснуб икосододекаэдр (U₇₄).

Связанные многогранники

Большой пятиугольный гексеконтаэдр

Большой пятиугольный гексеконтаэдр
Тип	Звездный многогранник
Лицо
Элементы	F = 60, E = 150 V = 92 (χ = 2)
Группа симметрии	Я, [5,3]+, 532
Указатель ссылок	DU57
двойственный многогранник	Большой курносый икосододекаэдр

3D-модель большого пятиугольного гексеконтаэдра

В большой пятиугольный гексеконтаэдр (или же большой лепесток дитриаконтаэдр) невыпуклый равногранный многогранник и двойной к униформе большой курносый икосододекаэдр. Он имеет 60 пересекающихся неправильных пятиугольных граней, 120 ребер и 92 вершины.

Пропорции

Обозначим Золотое сечение к ${displaystyle phi}$. Позволять ${displaystyle xi приблизительно -0,199 510 322,83}$ отрицательный нуль многочлена ${displaystyle P = 8x ^ {3} -8x ^ {2} + phi ^ {- 2}}$. Тогда каждая пятиугольная грань имеет четыре равных угла ${displaystyle arccos (xi) приблизительно 101,508,325,512,64 ^ {circ}}$ и один угол ${displaystyle arccos (-phi ^ {- 1} + phi ^ {- 2} xi) приблизительно 133.966.697.949,42 ^ {circ}}$. Каждая грань имеет три длинных и два коротких края. Соотношение ${displaystyle l}$ между длинами длинного и короткого краев определяется выражением

${displaystyle l = {frac {2-4xi ^ {2}} {1-2xi}} примерно 1,315,765,089,00}$.

В двугранный угол равно ${displaystyle arccos (xi / (xi +1)) приблизительно 104,432,268,611,86 ^ {circ}}$. Часть каждой грани находится внутри твердого тела, поэтому в твердотельных моделях не видна. Два других нуля многочлена ${displaystyle P}$ играют аналогичную роль в описании большой перевернутый пятиугольный гексеконтаэдр и большой пентаграмматический гексеконтаэдр.

Смотрите также

• Список равномерных многогранников
• Большой перевернутый курносый икосододекаэдр
• Большой ретроснуб икосододекаэдр

Рекомендации

• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54325-5, МИСТЕР  0730208

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Большой пятиугольный шестигранник". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Большой курносый икосододекаэдр». MathWorld.
• Равномерные многогранники и двойники