Расширение (геометрия) - Expansion (geometry)

Пример расширения пятиугольник в десятиугольник перемещая края от центра и вставляя новые края в промежутки. В расширение является униформа если все края одинаковой длины.

Анимация, показывающая развернутый куб (и октаэдр)

В геометрия, расширение это многогранник операция, где грани разделяются и перемещаются радиально друг от друга, а на разделенных элементах (вершинах, ребрах и т. д.) образуются новые грани. Точно так же эту операцию можно представить, сохраняя фасеты в том же положении, но уменьшая их размер.

Расширение правильный многогранник создает равномерный многогранник, но операцию можно применить к любому выпуклому многограннику, как показано для многогранники в Обозначения многогранника Конвея. Для многогранников расширенный многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани многогранника. двойственный многогранник и новые квадратные грани вместо исходных краев.

Расширение правильных многогранников

В соответствии с Coxeter, этот многомерный термин был определен Алисия Буль Стотт^[1] для создания новых многогранников, в частности, начиная с правильные многогранники построить новый однородные многогранники.

В расширение операция симметрична относительно правильного многогранника и его двойной. Полученный рисунок содержит грани как обычного, так и двойного, наряду с различными призматическими гранями, заполняющими промежутки между промежуточными размерными элементами.

Он имеет несколько иное значение измерение. В Строительство Wythoff, расширение создается отражениями от первого и последнего зеркал. В более высоких измерениях расширения более низких измерений могут быть записаны с нижним индексом, так что e₂ то же самое, что и t_0,2 в любом измерении.

По размеру:

• Обычный {p} многоугольник расширяется в правильный 2n-угольник.
  • Операция идентична усечение для многоугольников e {p} = e₁{p} = t_0,1{p} = t {p} и имеет Диаграмма Кокстера-Дынкина .
• Обычный {p, q} многогранник (3-многогранник) раскладывается в многогранник с вершина фигура стр.4.q.4.
  • Эта операция для многогранников также называется песня, e {p, q} = e₂{p, q} = t_0,2{p, q} = rr {p, q} и имеет диаграмму Кокстера .

    

    Например, ромбокубооктаэдр можно назвать расширенный куб, расширенный октаэдр, также как и скошенный куб или же скошенный октаэдр.

• Обычный {p, q, r} 4-многогранник (4-многогранник) расширяется в новый 4-многогранник с исходными ячейками {p, q}, новыми ячейками {r, q} вместо старых вершин, p-угольными призмами вместо старых граней и r- угольные призмы вместо старых краев.
  • Эта операция для 4-многогранников также называется бегство, e {p, q, r} = e₃{p, q, r} = t_0,3{p, q, r} и имеет диаграмму Кокстера .
• Аналогично регулярный {p, q, r, s} 5-многогранник раскладывается в новый 5-многогранник с гранями {p, q, r}, {s, r, q}, {p, q} × {} призмы, {s, r} × {} призмы и {p}×{s} дуопризма.
  • Эта операция называется стерилизация, e {p, q, r, s} = e₄{p, q, r, s} = t_0,4{p, q, r, s} = 2r2r {p, q, r, s} и имеет диаграмму Кокстера .

Общий оператор разложения правильного n-многогранника t_{0, н-1}{p, q, r, ...}. Новые правильные грани добавляются к каждой вершине, а новые призматические многогранники добавляются к каждому разделенному ребру, грани, ... гребень, так далее.

Смотрите также

• Обозначения многогранника Конвея

Примечания

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Расширение". MathWorld.
• Кокстер, Х. С. М., Правильные многогранники. 3-е издание, Дувр, (1973) ISBN  0-486-61480-8.
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись (1991)
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

Операторы многогранников

[

• v
• т
• е

]

Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитуркация	Чередования
т0{p, q} {p, q}	т01{p, q} т {р, д}	т1{p, q} г {р, д}	т12{p, q} 2t {p, q}	т2{p, q} 2r {p, q}	т02{p, q} рр {р, q}	т012{p, q} tr {p, q}	ht0{p, q} ч {д, р}	ht12{p, q} s {q, p}	ht012{p, q} sr {p, q}