Модель диска Пуанкаре - Poincaré disk model

Диск Пуанкаре с гиперболическими параллельными линиями

Модель диска Пуанкаре усеченная трехгептагональная черепица.

В геометрии Модель диска Пуанкаре, также называемый модель конформного диска, представляет собой модель двумерного гиперболическая геометрия в котором точки геометрии находятся внутри единичный диск, а прямые состоят из всех дуги окружности содержащиеся на этом диске, которые ортогональный к границе диска плюс все диаметры диска.

В группа изометрии модели диска задается специальной унитарной группой СУ (1,1).

Вместе с Модель Кляйна и Модель полупространства Пуанкаре, это было предложено Эухенио Бельтрами кто использовал эти модели, чтобы показать, что гиперболическая геометрия равноправный с Евклидова геометрия. Он назван в честь Анри Пуанкаре, потому что его повторное открытие этого изображения четырнадцать лет спустя стало более известным, чем оригинальная работа Бельтрами.^[1]

В Модель шара Пуанкаре аналогичная модель для 3 или же п-мерная гиперболическая геометрия, в которой точки геометрии находятся в п-размерный единичный мяч.

Характеристики

Линии

Диск Пуанкаре с 3 ультрапараллельный (гиперболические) прямые

Гиперболический прямые линии состоят из всех дуг евклидовых окружностей, содержащихся в диске, которые ортогональный к границе диска плюс все диаметры диска.

Конструкция компаса и линейки

Единственная гиперболическая прямая, проходящая через две точки P и Q не на диаметре граничной окружности, может быть построен к:

пусть P 'будет инверсия в граничной окружности точки P
пусть Q 'будет инверсия в граничной окружности точки Q
пусть M будет середина сегмента PP '
пусть N будет середина сегмента QQ '
Проведите линию с m по M перпендикуляр сегментировать PP '
Проведите линию с n по N перпендикуляр сегментировать QQ '
пусть C будет местом пересечения прямой m и прямой n.
Нарисуйте круг c с центром C и проходящий через P (и Q).
Часть окружности c, которая находится внутри диска, является гиперболической линией.

Если P и Q находятся на диаметре граничной окружности, этот диаметр является гиперболической линией.

Другой способ:

пусть M будет середина сегмента PQ
Проведите линию с m по M перпендикуляр сегментировать PQ
пусть P 'будет инверсия в граничной окружности точки P
пусть N будет середина сегмента PP '
Проведите линию с n по N перпендикуляр сегментировать PP '
пусть C будет местом пересечения прямой m и прямой n.
Нарисуйте круг c с центром C и проходящий через P (и Q).
Часть окружности c, которая находится внутри диска, является гиперболической линией.

Расстояние

Расстояния в этой модели Метрики Кэли – Клейна.Даны два отличных очка. п и q внутри диска соединяющая их единственная гиперболическая линия пересекает границу в двух точках. идеальные точки, а и бпометьте их так, чтобы точки были по порядку а, п, q, б и |водный| > |ap| и |pb| > |qb|.

Гиперболическое расстояние между п и q затем ${ displaystyle d (p, q) = ln { frac { left | aq right | , left | pb right |} { left | ap right | , left | qb right | }}}$ .

Вертикальные полосы указывают евклидову длину отрезка, соединяющего точки между ними в модели (не вдоль дуги окружности), ln - длина отрезка. натуральный логарифм.

Другой способ вычисления гиперболического расстояния между двумя точками: ${ displaystyle operatorname {arcosh} left (1 + { frac {2 | pq | ^ {2} | r | ^ {2}} {(| r | ^ {2} - | op | ^ {2}) ) (| r | ^ {2} - | oq | ^ {2})}} right)}$

куда ${ displaystyle | op |}$ и ${ displaystyle | oq |}$ расстояния п соответствующий q к центру диска, ${ displaystyle | pq |}$ расстояние между п и q, ${ displaystyle | r |}$ радиус граничной окружности диска и ${ displaystyle operatorname {arcosh}}$ это обратная гиперболическая функция из гиперболический косинус.

Когда используется диск открытый единичный диск и одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно р тогда гиперболическое расстояние равно: ${ displaystyle ln left ({ frac {1 + r} {1-r}} right) = 2 operatorname {arctanh} r}$ куда ${ displaystyle operatorname {arctanh}}$ это обратная гиперболическая функция из гиперболический тангенс.

Когда используется диск открытый единичный диск и указать ${ Displaystyle х '= (г', тета)}$ лежит между началом и точкой ${ Displaystyle х = (г, тета)}$ (т.е. две точки находятся на одном радиусе, имеют одинаковый полярный угол и ${ displaystyle 1> r> r '> 0}$ ) их гиперболическое расстояние равно ${ displaystyle ln left ({ frac {1 + r} {1-r}} cdot { frac {1-r '} {1 + r'}} right) = 2 ( operatorname {arctanh } r- operatorname {arctanh} r ')}$ . Это сводится к предыдущей формуле, если ${ displaystyle r '= 0}$ .

Круги

А круг (множество всех точек на плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от данной точки, ее центра) - это круг, полностью находящийся внутри диска, не касающийся и не пересекающий его границу. Гиперболический центр окружности в модели, как правило, не соответствует евклидовому центру окружности, но они находятся на том же радиусе граничной окружности.

Гиперциклы

А гиперцикл (множество всех точек на плоскости, которые находятся на одной стороне и на заданном расстоянии от данной линии, ее оси) является дугой евклидовой окружности или хордой граничной окружности, которая пересекает граничную окружность на не-прямой угол. Его ось - это гиперболическая линия, разделяющая те же два идеальные точки.

Ороциклы

А орицикл (кривая, нормальный или же перпендикуляр все геодезические асимптотически сходятся в одном направлении), - это круг внутри диска, который касается граничной окружности диска. Точка касания граничного круга не является частью орицикла. Это идеальная точка и является гиперболическим центром орицикла.

Евклидов синопсис

Евклидов круг:

полностью внутри диска гиперболический круг.

(Когда центр диска не находится внутри круга, евклидов центр всегда ближе к центру диска, чем гиперболический центр, т.е.

{ displaystyle t_ {e}

держит.)

который находится внутри диска и касается границы, является орицикл;
который пересекает границу ортогонально это гиперболическая линия; и
неортогонально пересекает границу, является гиперцикл.

Евклидов аккорд граничного круга:

проходит через центр - гиперболическая линия; и
то, что не проходит через центр, является гиперциклом.

Метрика и кривизна

Пуанкаремяч 'модельный вид гиперболической регулярной икосаэдрические соты, {3,5,3}

Если ты и v два вектора в реальном п-мерное векторное пространство р^п с обычной евклидовой нормой, оба из которых имеют норму меньше 1, то мы можем определить изометрический инвариант к

{ displaystyle delta (u, v) = 2 { frac { lVert uv rVert ^ {2}} {(1- lVert u rVert ^ {2}) (1- lVert v rVert ^ { 2})}} ,,}

куда ${ displaystyle lVert cdot rVert}$ обозначает обычную евклидову норму. Тогда функция расстояния равна

{ displaystyle { begin {align} d (u, v) & = operatorname {arcosh} (1+ delta (u, v)) & = 2 operatorname {arsinh} { sqrt { frac { delta (u, v)} {2}}} , & = 2 ln { frac { lVert uv rVert + { sqrt { lVert u rVert ^ {2} lVert v rVert ^ {2} -2u cdot v + 1}}} { sqrt {(1- lVert u rVert ^ {2}) (1- lVert v rVert ^ {2})}}}. End {выровнено}}}

Такая функция расстояния определяется для любых двух векторов с нормой меньше единицы и превращает набор таких векторов в метрическое пространство, которое является моделью гиперболического пространства постоянной кривизны -1. Модель обладает конформным свойством, что угол между двумя пересекающимися кривыми в гиперболическом пространстве такой же, как угол в модели.

Связанный метрический тензор модели диска Пуанкаре дается формулой^[2]

{ displaystyle ds ^ {2} = 4 { frac { sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}} = { frac {4 lVert d mathbf {x} rVert ^ {2}} {{ bigl (} 1- lVert mathbf {x} rVert ^ {2} { bigr) } ^ {2}}}}

где Икс_я - декартовы координаты окружающего евклидова пространства. В геодезические модели диска представляют собой окружности, перпендикулярные граничной сфере S^п−1.

Ортонормированный репер относительно этой римановой метрики задается формулой

{ displaystyle e_ {i} = { frac {1} {2}} (1- | mathbf {x} | ^ {2}) { frac { partial} { partial x ^ {i}}} ,}

с двойным каркасом 1-форм

{ displaystyle theta ^ {i} = { frac {2} {1- | mathbf {x} | ^ {2}}} , dx ^ {i}.}

В двух измерениях

В двух измерениях, относительно этих фреймов и связи Леви-Чивиты, формы связи задаются уникальной кососимметричной матрицей 1-форм ${ displaystyle omega}$ без кручения, т.е. удовлетворяющая матричному уравнению ${ Displaystyle 0 = д тета + омега клин тета}$ . Решение этого уравнения для ${ displaystyle omega}$ дает

{ displaystyle omega = { frac {2 (y , dx-x , dy)} {1- | mathbf {x} | ^ {2}}} { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}},}

откуда матрица кривизны

{ displaystyle Omega = d omega + omega wedge omega = d omega +0 = { frac {-4 , dx wedge dy} {(1- | mathbf {x} | ^ {2 }) ^ {2}}} { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}

Следовательно, кривизна гиперболического диска равна

{ displaystyle K = Omega _ {2} ^ {1} (e_ {1}, e_ {2}) = - 1.}

Отношение к другим моделям гиперболической геометрии

модель диска Пуанкаре (линия п), и их отношения с другими модели

Отношение к модели диска Клейна

В Модель диска Клейна (также известная как модель Бельтрами – Клейна) и модель диска Пуанкаре - это модели, которые проецируют всю гиперболическую плоскость в диск. Две модели связаны через проекцию на или от модель полушария. Модель диска Клейна - это орфографическая проекция к модели полусферы, а модель диска Пуанкаре - стереографическая проекция.

Преимущество модели диска Клейна состоит в том, что линии в этой модели представляют собой евклидовы прямые. аккорды. Недостатком является то, что модель диска Клейна не конформный (круги и углы искажены).

При проецировании одних и тех же линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки. (идеальные точки остаются на том же месте) также столб хорды в модели диска Клейна является центром окружности, содержащей дуга в модели диска Пуанкаре.

Точка (Икс,у) в модели диска Пуанкаре отображается в ${ displaystyle left ({ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} , { frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2) }}}верно)}$ в модели Клейна.

Точка (Икс,у) в модели Клейна отображается в ${ displaystyle left ({ frac {x} {1 + { sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} , { frac {y} {1+ { sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} right)}$ в модели диска Пуанкаре.

Для идеальных точек ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ и формулы становятся ${ Displaystyle х = х , у = у}$ так что точки зафиксированы.

Если ${ displaystyle u}$ - вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели диска Клейна определяется как:

{ displaystyle s = { frac {2u} {1 + u cdot u}}.}

И наоборот, из вектора ${ displaystyle s}$ с нормой меньше единицы, представляющей точку модели Бельтрами – Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре определяется выражением:

{ displaystyle u = { frac {s} {1 + { sqrt {1-s cdot s}}}} = { frac { left (1 - { sqrt {1-s cdot s}}) right) s} {s cdot s}}.}

Связь с моделью полуплоскости Пуанкаре

Модель диска Пуанкаре и Модель полуплоскости Пуанкаре оба названы в честь Анри Пуанкаре.

Если ${ displaystyle u}$ - вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели полуплоскости определяется выражением:

{ displaystyle s = { frac {u + i} {iu + 1}}.}

Точка (х, у) в модели диска соответствует ${ displaystyle left ({ frac {2x} {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} , { frac {1-x ^ {2} -y ^ {2}) } {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} right) ,}$ в модели полуплоскости.^[3]

Точка (х, у) в модели полуплоскости соответствует ${ displaystyle left ({ frac {2x} {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} , { frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1) } {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} right) ,}$ в модели диска.

Связь с моделью гиперболоида

В модель гиперболоида можно представить в виде уравнения t²= х₁²+ х₂²+1, t> 1. Его можно использовать для построения модели диска Пуанкаре как проекция при взгляде с (t = -1, x₁= 0, х₂= 0), проектируя верхнюю половину гиперболоида на единичный диск при t = 0. Красная геодезическая в модели диска Пуанкаре проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Модель диска Пуанкаре, а также Модель Кляйна, относятся к модель гиперболоида проективно. Если у нас есть точка зрения [т, Икс₁, ..., Икс_п] на верхнем листе гиперболоида модели гиперболоида, тем самым определяя точку в модели гиперболоида, мы можем спроецировать ее на гиперплоскость т = 0, пересекая его линией, проведенной через [−1, 0, ..., 0]. Результатом является соответствующая точка модели диска Пуанкаре.

За Декартовы координаты (т, Икс_я) на гиперболоиде и (у_я) на плоскости формулы преобразования:

{ displaystyle y_ {i} = { frac {x_ {i}} {1 + t}}}

{ displaystyle (t, x_ {i}) = { frac { left (1+ sum {y_ {i} ^ {2}}, , 2y_ {i} right)} {1- sum { y_ {i} ^ {2}}}} ,.}

Сравните формулы для стереографическая проекция между сферой и плоскостью.

Построения аналитической геометрии в гиперболической плоскости

Базовая конструкция аналитическая геометрия найти прямую через две заданные точки. В модели диска Пуанкаре прямые на плоскости определяются частями окружностей, имеющих уравнения вида

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + 1 = 0 ,,}

который является общей формой окружности, ортогональной единичной окружности или диаметрам. Учитывая два очка ты и v в диске, которые не лежат на диаметре, мы можем найти окружность этой формы, проходящую через обе точки, и получить

{ displaystyle { begin {align} x ^ {2} + y ^ {2} & {} + { frac {v_ {1} (u_ {2} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}) +1) -v_ {2} (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} +1)} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} x [8pt] & {} + { frac {u_ {2} (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} +1) -u_ {1} (u_ {2} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} +1)} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0 ,. End {выровнено}} }

Если точки ты и v точки на границе диска, не лежащие на концах диаметра, вышеизложенное упрощается до

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + { frac {2 (v_ {1} -v_ {2})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} }} x - { frac {2 (u_ {2} -u_ {1})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0 ,.}

Углы

Мы можем вычислить угол между дуга окружности чьи конечные точки (идеальные точки) задаются единичными векторами ты и v, а дуга с концами s и т, с помощью формулы. Поскольку идеальные точки в модели Клейна и модели диска Пуанкаре совпадают, формулы идентичны для каждой модели.

Если линии обеих моделей диаметры, так что v = −ты и т = −s, то мы просто находим угол между двумя единичными векторами, и формула для угла θ имеет вид

{ Displaystyle соз ( тета) = и cdot s ,.}

Если v = −ты но нет т = −s, формула принимает вид клин ( ${ displaystyle wedge}$ ),

{ displaystyle cos ^ {2} ( theta) = { frac {P ^ {2}} {QR}},}

куда

{ Displaystyle Р = и CDOT (s-t) ,,}

{ Displaystyle Q = и cdot и ,,}

{ Displaystyle R = (s-t) cdot (s-t) - (s wedge t) cdot (s wedge t) ,.}

Если обе хорды не являются диаметрами, общая формула имеет вид

{ Displaystyle соз ^ {2} ( тета) = { гидроразрыва {P ^ {2}} {QR}} ,,}

куда

{ Displaystyle Р = (и-v) cdot (s-t) - (и клин v) cdot (s клин т) ,,}

{ Displaystyle Q = (и-v) cdot (и-v) - (и клин v) cdot (и клин v) ,,}

{ Displaystyle R = (s-t) cdot (s-t) - (s wedge t) cdot (s wedge t) ,.}

С использованием Тождество Бине – Коши и тот факт, что это единичные векторы, мы можем переписать приведенные выше выражения исключительно в терминах скалярное произведение, так как

{ Displaystyle P = (U-v) CDOT (S-T) + (U CDOT T) (V CDOT S) - (и CDOT S) (v CDOT T) ,.}

{ Displaystyle Q = (1-и cdot v) ^ {2} ,,}

{ Displaystyle R = (1-s cdot t) ^ {2} ,.}

Художественные реализации

(6,4,2) треугольный гиперболическая мозаика это вдохновило М. К. Эшер

М. К. Эшер исследовал концепцию представления бесконечности на двумерной плоскости. Обсуждения с канадским математиком H.S.M. Coxeter около 1956 г. вдохновил Эшера на гиперболическая мозаика, которые являются правильными мозаиками гиперболической плоскости. Гравюры Эшера на дереве Предел круга I – IV продемонстрировать эту концепцию между 1958 и 1960 годами, последняя из которых Предел круга IV: рай и ад в 1960 г.^[4] По словам Бруно Эрнста, лучший из них Предел круга III.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Джеймс В. Андерсон, Гиперболическая геометрия, второе издание, Springer, 2005.
Эухенио Бельтрами, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. ди Мат., серия II 2 (1868), 232–255.
Саул Шталь, Полуплоскость Пуанкаре, Джонс и Бартлетт, 1993.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Модели дисков Пуанкаре в Wikimedia Commons

[1] Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной. Великобритания: мыс Джонатан. п.45. ISBN 0-224-04447-8.

[2] «Сравнение метрических тензоров моделей диска Пуанкаре и диска Клейна гиперболической геометрии». Обмен стеком. 23 мая 2015 года.

[MSE1333850-3] «Отображение модели диска Пуанкаре в модель полуплоскости Пуанкаре». Получено 13 декабря 2015.

[4] Исследование пределов круга Эшера

[1]

[2]

[3]

[4]

Модель диска Пуанкаре - Poincaré disk model

Содержание

Характеристики

Линии

Конструкция компаса и линейки

Расстояние

Круги

Гиперциклы

Ороциклы

Евклидов синопсис

Метрика и кривизна

В двух измерениях

Отношение к другим моделям гиперболической геометрии

Отношение к модели диска Клейна

Связь с моделью полуплоскости Пуанкаре

Связь с моделью гиперболоида

Построения аналитической геометрии в гиперболической плоскости

Углы

Художественные реализации

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка