Изогранная фигура - Isohedral figure
В геометрия, а многогранник размерности 3 (a многогранник ) или выше равногранный или же лицо переходный когда все это лица одинаковые. В частности, все лица должны быть не просто конгруэнтный но должно быть переходный, т.е. должны находиться в одном орбита симметрии. Другими словами, для любых лиц А и B, должна быть симметрия весь твердое тело вращениями и отражениями, которые отображают А на B. По этой причине выпуклые равногранные многогранники - это формы, которые будут честная игра в кости.[1]
Изоэдральные многогранники называются изоэдра. Их можно описать по их конфигурация лица. Форма, которая является изоэдральной и имеет правильные вершины, также является реберно-транзитивный (изотоксальный) и называется квазирегулярный двойной: некоторые теоретики считают эти цифры действительно квазирегулярными, потому что они обладают одинаковой симметрией, но это не является общепринятым. Изоэдр имеет четное количество лиц.[2]
Многогранник, который является равногранным, имеет двойственный многогранник то есть вершинно-транзитивный (изогональный). В Каталонские твердые вещества, то бипирамиды и трапецоэдры все равногранны. Они двойники изогонального Архимедовы тела, призмы и антипризмы, соответственно. В Платоновы тела, которые либо самодуальны, либо двойственны другому Платоновому телу, являются вершинно-реберно-транзитивными (изогональными, изотоксальными и изоэдральными). Многогранник, который является равногранным и изогональным, называется благородный.
Примечание: не все изозоноэдры[3] равногранны.[4] Пример: а ромбический икосаэдр является изозоноэдром, но не изоэдром.[5]
Примеры
| Выпуклый | Вогнутый | ||
|---|---|---|---|
 В шестиугольная бипирамида, V4.4.6 - это нерегулярный пример равногранного многогранника. |  Равногранный Каир пятиугольная черепица, V3.3.4.3.4 |  В ромбические додекаэдрические соты является примером изоэдральной (и изохорной) соты, заполняющей пространство. |  Топологические квадратные мозаики искажены в спиральные формы H. |
Классы изоэдров по симметрии
| Лица | Лицо config. | Учебный класс | Имя | Симметрия | Заказ | Выпуклый | Копланарный | Невыпуклый |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | V33 | Платонический | тетраэдр тетрагональный дисфеноид ромбический дисфеноид | Тd, [3,3], (*332) D2d, [2+,2], (2*) D2, [2,2]+, (222) | 24 4 4 4 |    | ||
| 6 | V34 | Платонический | куб треугольный трапецоэдр асимметричный треугольный трапецоэдр | Очас, [4,3], (*432) D3D, [2+,6] (2*3) D3 [2,3]+, (223) | 48 12 12 6 |    | ||
| 8 | V43 | Платонический | октаэдр квадрат бипирамида ромбическая бипирамида квадрат скаленоэдр | Очас, [4,3], (*432) D4ч,[2,4],(*224) D2ч,[2,2],(*222) D2d,[2+,4],(2*2) | 48 16 8 8 |       |  | |
| 12 | V35 | Платонический | правильный додекаэдр пиритоэдр тетартоид | ячас, [5,3], (*532) Тчас, [3+,4], (3*2) Т, [3,3]+, (*332) | 120 24 12 |    |   |   |
| 20 | V53 | Платонический | правильный икосаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  | ||
| 12 | V3.62 | Каталонский | триакис тетраэдр | Тd, [3,3], (*332) | 24 |  |   |  |
| 12 | V (3,4)2 | Каталонский | ромбический додекаэдр дельтовидный додекаэдр | Очас, [4,3], (*432) Тd, [3,3], (*332) | 48 24 |    |  |   |
| 24 | V3.82 | Каталонский | триакис октаэдр | Очас, [4,3], (*432) | 48 |  |   | |
| 24 | V4.62 | Каталонский | тетракис шестигранник | Очас, [4,3], (*432) | 48 |   |   |   |
| 24 | V3.43 | Каталонский | дельтовидный икоситетраэдр | Очас, [4,3], (*432) | 48 |   |    |  |
| 48 | V4.6.8 | Каталонский | disdyakis додекаэдр | Очас, [4,3], (*432) | 48 |  |    |   |
| 24 | V34.4 | Каталонский | пятиугольный икоситетраэдр | О, [4,3]+, (432) | 24 |  | ||
| 30 | В (3,5)2 | Каталонский | ромбический триаконтаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  | ||
| 60 | V3.102 | Каталонский | триакис икосаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  |     | |
| 60 | V5.62 | Каталонский | пентакид додекаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  |      | |
| 60 | V3.4.5.4 | Каталонский | дельтовидный гексеконтаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  |  |  |
| 120 | V4.6.10 | Каталонский | дисьякис триаконтаэдр | ячас, [5,3], (*532) | 120 |  |    |    |
| 60 | V34.5 | Каталонский | пятиугольный гексеконтаэдр | Я, [5,3]+, (532) | 60 |  | ||
| 2п | V33.п | Полярный | трапецоэдр асимметричный трапецоэдр | Dnd, [2+,2п], (2*п) Dп, [2,п]+, (22п) | 4п 2п |     | ||
| 2п 4п | V42.п V42.2п V42.2п | Полярный | обычный п-бипирамида изотоксал 2п-бипирамида 2п-скаленоэдр | Dпчас, [2,п], (*22п) Dпчас, [2,п], (*22п) Dпd, [2+,2п], (2*п) | 4п |    |        |
k-изоэдральная фигура
Многогранник (или многогранник вообще) - это k-изоэдральный если он содержит k лица в пределах своей фундаментальной области симметрии.[6]
Аналогичным образом k-изоэдральная черепица имеет k отдельные орбиты симметрии (и могут содержать м лица разной формы для некоторых м < k).[7]
А моноэдральный многогранник или моноэдральная черепица (м = 1) имеет конгруэнтные грани, как прямые, так и отражающие, которые встречаются в одном или нескольких положениях симметрии. An р-гедральный многогранники или мозаика р типы граней (также называемые двугранными, трехгранными для 2 или 3 соответственно).[8]
Вот несколько примеров k-изоэдральных многогранников и мозаик, грани которых раскрашены k позиции симметрии:
| 3-равногранный | 4-равногранный | равногранный | 2-равногранный |
|---|---|---|---|
| (2-гранные) правильные многогранники | Моноэдральные многогранники | ||
 |  |  |  |
| В ромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 2 вида квадратов | В псевдоромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 3 типа квадратов. | В дельтовидный икоситетраэдр имеет с 1 типом лица. | В псевдо-дельтовидный икоситетраэдр имеет 2 типа лиц одинаковой формы. |
| 2-равногранный | 4-равногранный | Изоэдральный | 3-равногранный |
|---|---|---|---|
| (2-гранный) правильные мозаики | Моноэдральные мозаики | ||
 |  |  |  |
| В Пифагорейская черепица имеет 2 размера квадратов. | Этот 3-однородная черепица имеет 3 типа треугольников одинаковой формы и 1 тип квадрата. | В узор в елочку имеет 1 тип прямоугольного лица. | Этот пятиугольная черепица имеет 3 типа неправильных граней пятиугольника одинаковой формы. |
Связанные термины
А клеточно-транзитивный или же изохорный фигура п-многогранник (п > 3) или соты это имеет свой клетки конгруэнтные и переходные друг другу. В трехмерных сотах катоптические соты, двойники к однородным сотам изохоричны. В 4-х измерениях изохорные многогранники пронумерованы до 20 ячеек.[9]
А фасетно-переходный или же изотопический фигура п-мерные многогранники или соты с его грани ((п−1)-лица ) конгруэнтно и транзитивно. В двойной из изотоп является изогональный многогранник. По определению это изотопическое свойство является общим для двойников однородные многогранники.
- Изотопическая 2-мерная фигура изотоксальный (реберно-транзитивный).
- Изотопическая 3-мерная фигура равногранный (лицо-переходное).
- Изотопная 4-мерная фигура изохорный (клеточно-транзитивный).
Смотрите также
Примечания
- ^ Маклин, К. Робин (1990), «Подземелья, драконы и кости», Математический вестник, 74 (469): 243–256, Дои:10.2307/3619822, JSTOR 3619822.
- ^ Грюнбаум (1960)
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изозоноэдр». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-26.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Изогедр". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-21.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Ромбический икосаэдр». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-21.
- ^ Socolar, Джошуа Э. С. (2007). «Шестиугольная паркетная плитка: k-Изоэдральные монотили с произвольно большими k" (исправленный PDF). Математический интеллект. 29: 33–38. arXiv:0708.2663. Дои:10.1007 / bf02986203. S2CID 119365079. Получено 2007-09-09.
- ^ Крейг С. Каплан. "Введение в теорию тайлинга для компьютерной графики". 2009. Глава 5 "Изоэдральные мозаики". п. 35.
- ^ Плитки и узоры, стр.20, 23
- ^ http://www.polytope.net/hedrondude/dice4.htm
Рекомендации
- Питер Р. Кромвель, Многогранники, Издательство Кембриджского университета 1997, ISBN 0-521-55432-2, п. 367 Транзитивность
внешняя ссылка
- Ольшевский, Георгий. "Изотоп". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Вайсштейн, Эрик В. «Изогранная черепица». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. "Изогедр". MathWorld.
- изоэдра 25 классов изоэдров с конечным числом сторон
- Дизайн игральных костей в The Dice Lab
