Лицо (геометрия) - Face (geometry)

В сплошная геометрия, а лицо это квартира (планарный ) поверхность, составляющая часть границы твердого объекта;[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.

В более технических трактовках геометрии многогранников и многомерных многогранники, этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом количестве измерений).[2]

Многоугольное лицо

В элементарной геометрии лицо это многоугольник[примечание 1] на границе многогранник.[2][3] Другие названия многоугольного лица включают: сторона многогранника и плитка евклидовой плоскости мозаика.

Например, любой из шести квадраты это ограничивало куб это грань куба. Иногда "лицо" также используется для обозначения двухмерных черт 4-многогранник. В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных лица, каждое делит два из 8 кубический клетки.

Регулярные примеры от Символ Шлефли
МногогранникЗвездный многогранникЕвклидова мозаикаГиперболическая мозаика4-многогранник
{4,3}{5/2,5}{4,4}{4,5}{4,3,3}
Hexahedron.png
В куб имеет 3 квадрата лица на вершину.		Малый звездчатый додекаэдр.png
В малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграмматический граней на вершину.		Плитка 4,4.svg
В квадратная черепица в евклидовой плоскости имеет 4 квадрата лица на вершину.		H2-5-4-primal.svg
В квадратная черепица порядка 5 имеет 5 квадратных лица на вершину.		Hypercube.svg
В тессеракт имеет 3 квадрата лица за край.

Количество многоугольных граней многогранника

Любые выпуклый многогранник поверхность имеет Эйлерова характеристика

где V это количество вершины, E это количество края, и F количество лиц. Это уравнение известно как Формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством вершин. Например, куб имеет 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

k-лицо

В многомерной геометрии грани многогранник особенности всех размеров.[2][4][5] Лицо измерения k называется k-лицо. Например, многоугольные грани обычного многогранника - это 2-грани. В теория множеств, набор граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого п-полигон (п-мерный многогранник), −1 ≤ k ≤ п.

Например, с таким значением лица куб составляют сам куб (3-гранный), его (квадрат) грани (2-грани), (линейные) ребра (1-грани), (точечные) вершины (0-грани) и пустое множество. Ниже приведены лица из 4-мерный многогранник:

В некоторых областях математики, таких как многогранная комбинаторика, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника п это пересечение п с любым закрыто полупространство граница которого не пересекается с внутренностью п.[6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество.[4][5]

В других областях математики, таких как теории абстрактные многогранники и звездные многогранники, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.

Сотовый или 3-х сторонний

А ячейка это многогранник элемент (3-гранный) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или выше. Ячейки грани для 4-многогранников и 3-сот.

Примеры:

Регулярные примеры от Символ Шлефли
4-многогранники3-соты
{4,3,3}{5,3,3}{4,3,4}{5,3,4}
Hypercube.svg
В тессеракт имеет 3 кубических ячейки (3-грани) на ребро.		Каркас Schlegel 120-cell.png
В 120 ячеек имеет 3 додекаэдр ячеек (3-х граней) на каждый край.		Partial Cubic honeycomb.png
В кубические соты заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками (3-гранями) на ребро.		Гиперболические ортогональные додекаэдрические соты.png
В додекаэдрические соты порядка 4 заполняет трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки (3-грани) на ребро.

Фасет или (п-1) -лицо

В многомерной геометрии грани (также называется гиперграфы)[7] из п-полигопами являются (п-1) -грани (грани размерности на единицу меньше самого многогранника).[8] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

Ридж или (п-2) -лицо

В соответствующей терминологии, (п − 2)-лицос п-полигопи называются гребни (также субфасеты).[9] Гребень рассматривается как граница между двумя гранями многогранника или соты.

Например:

Пик или (п-3) -лицо

(п − 3)-лицос п-полигопи называются вершины. Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.

Например:

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Некоторые другие многоугольники, не являющиеся гранями, также важны для многогранников и мозаик. Они включают Полигоны Петри, фигуры вершин и грани (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, не лежащими на одной грани многогранника).

использованная литература

  1. ^ Энциклопедический словарь Мерриам-Вебстера (Одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер. 2004.
  2. ^ а б c Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии, Тексты для выпускников по математике, 212, Спрингер, 5.3. Грани выпуклого многогранника, с. 86, ISBN  9780387953748.
  3. ^ Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN  9780521664059.
  4. ^ а б Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники, Тексты для выпускников по математике, 221 (2-е изд.), Springer, p.17.
  5. ^ а б Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Спрингер, определение 2.1, с. 51, ISBN  9780387943657.
  6. ^ Матушек (2002) и Зиглер (1995) используйте немного другое, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению п с гиперплоскостью, не пересекающей внутренности п или все пространство.
  7. ^ N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.1 Многогранники и соты, стр.225
  8. ^ Матушек (2002), п. 87; Грюнбаум (2003), п. 27; Зиглер (1995), п. 17.
  9. ^ Матушек (2002), п. 87; Зиглер (1995), п. 71.

внешние ссылки