Анизоэдральная черепица - Anisohedral tiling

Частичная облицовка плоскости анизоэдральной плиткой Хиша. Есть два класса симметрии плиток: один содержит синюю и зеленую плитки, а другой - красную и желтую плитки. Как доказал Хиш, эта плитка не может выложить плоскость только одним классом симметрии.

В геометрия, форма называется анизоэдральный если он допускает черепица, но такой мозаики нет равногранный (тайлово-транзитивный); то есть в любом замощении этой формы есть две плитки, которые не эквивалентны при любой симметрии мозаики. Облицовка анизоэдральной плиткой называется анизоэдрическая мозаика.[1]

Существование

Первая часть Восемнадцатая проблема Гильберта спросил, существует ли анизоэдрический многогранник в Евклидово 3-пространство; Грюнбаум и Шепард предлагают[2] что Гильберт предполагал, что такой плитки не существовало на плоскости. Рейнхардт ответил на проблему Гильберта в 1928 году, найдя примеры таких многогранников, и заявил, что его доказательство того, что таких плиток не существует на плоскости, скоро появится.[3] Тем не мение, Heesch затем привел пример анизоэдральной черепицы в плоскости в 1935 году.[4]

Выпуклая плитка

Рейнхардт ранее рассматривал вопрос об анизоэдральной выпуклые многоугольники, показывая, что не существует анизоэдрально выпуклой шестиугольники но не сумев показать, что таких выпуклых пятиугольники, находя пять виды выпуклого пятиугольника, покрывающего плоскость изоэдрально.[2] Кершнер дал три типа анизоэдрального выпуклого пятиугольника в 1968 г .; одна из этих плиток, используя только прямые изометрии без отражений или скользящих отражений, так что отвечая на вопрос Хиша.[5]

Изоэдральные числа

Проблема анизоэдрального разбиения была обобщена тем, что равногранное число плитки - наименьшее число орбиты (классы эквивалентности) плиток в любой мозаике этой плитки под действием группа симметрии этой плитки, и плитки с равногранным числом k является k-анисоэдрический. Берглунд спросил, существуют ли k-анисоэдральная плитка для всех k, приводя примеры для k ≤ 4 (примеры 2-анизоэдральных и 3-анизоэдральных плиток были известны ранее, в то время как данная 4-анизоэдральная плитка была первой такой опубликованной плиткой).[6] Гудман-Штраус рассматривал это в контексте общих вопросов о том, насколько сложным может быть поведение данной плитки или набора плиток, отмечая 10-анизоэдрический пример Майерса.[7] Грюнбаум и Шепард ранее высказывали небольшую вариацию по тому же вопросу.[8]

В 2007 году Socolar показал, что произвольно высокие равногранные числа могут быть достигнуты в двух измерениях, если плитка отключена или имеет цветные края с ограничениями на то, какие цвета могут быть смежными, и в трех измерениях с подключенной плиткой без цветов, отметив, что в двух измерениях для соединенной плитки без цветов наибольшее известное равногранное число равно 10.[9]

Джозеф Майерс создал коллекцию плиток с высокими изоэдральными числами, в частности, многогранник с равногранным числом 10 (встречающийся на 20 орбитах при перемещении) и другой с равногранным числом 9 (встречающийся на 36 орбитах при перемещении).[1]

Рекомендации

  1. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г. К. (1987). Плитки и узоры. Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания. ISBN  0-7167-1193-1.
  2. ^ а б Грюнбаум и Шепард, раздел 9.6
  3. ^ Рейнхардт, Карл (1928). "Zur Zerlegung der euklidischen Räume в kongruente Polytope". Sitzungsberichte der Preussischen Akamemie der Wissenschaften Berlin, Physikalisch-Mathematische Klasse: 150–155.
  4. ^ Хиш, Х. (1935). "Aufbau der Ebene aus kongruenten Bereichen" (транскрипция Берглунда, с английским переводом). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Neue Folge. 1: 115–117. Получено 2007-09-09.
  5. ^ Кершнер, Р. Б. (октябрь 1968 г.). «Об укладке самолета». Американский математический ежемесячный журнал (требуется оплата). Американский математический ежемесячник, Vol. 75, № 8. 75 (8): 839–844. Дои:10.2307/2314332. JSTOR  2314332.
  6. ^ Берглунд, Джон (1993). "Есть ли k-Анисоэдральная плитка для k ≥ 5?". Американский математический ежемесячный журнал (требуется оплата). Американский математический ежемесячник, Vol. 100, №6. 100 (6): 585–588. Дои:10.2307/2324621. JSTOR  2324621.
  7. ^ Гудман-Штраус, Хаим. «Тесселяции» (PDF).
  8. ^ Грюнбаум и Шепард, упражнение 9.3.2
  9. ^ Socolar, Джошуа Э. С. (2007). «Шестиугольная паркетная плитка: k-Изоэдральные монотили с произвольно большими k" (исправленный PDF). Математический интеллект. 29: 33–38. Дои:10.1007 / bf02986203. Получено 2007-09-09.

внешняя ссылка