Набор самонакладной плитки - Self-tiling tile set - Wikipedia

Рисунок 1:   `` Идеальный '' набор самонакладной плитки 4-го порядка

А набор самоклеящейся плитки, или же сетисет, порядка п это набор п формы или части, обычно плоские, каждая из которых может быть облицована меньшими копиями полного набора п формы. Это п формы могут быть собраны в п различными способами, чтобы создавать более крупные копии самих себя, причем увеличение в масштабе одинаково в каждом случае. На рисунке 1 показан пример для п = 4, используя отчетливую форму распадается. Концепция может быть расширена за счет включения предметов более высокого измерения. Название сетисец было придумано Ли Саллоус в 2012,[1][2] но проблема нахождения таких наборов для п = 4 несколько десятилетий назад задавал К. Дадли Лэнгфорд, и примеры полиаболо (обнаружено Мартин Гарднер, Уэйд Э. Филпотт и другие) и полимино (обнаруженный Морисом Дж. Повахом) ранее были опубликованы Гарднером.[3]

Примеры и определения

Фигура 2:   Сетисет с дублированным элементом.

Из приведенного выше определения следует, что множество, состоящее из п идентичные части - это то же самое, что и «самовоспроизводящаяся плитка» или реплика, из которых наборы поэтому являются обобщением.[4] Сетисеты, использующие п отдельные формы, такие как рисунок 1, называются идеально. На рисунке 2 показан пример для п = 4, что является несовершенный потому что две формы компонентов одинаковы.

Формы, используемые в setiset, не должны быть связаны регионы. Разрешены также непересекающиеся фишки, состоящие из двух или более разделенных островов. Такие произведения описываются как отключен, или же слабо связанный (когда острова соединяются только в одной точке), как показано в наборе, показанном на рисунке 3.

Наименьшее количество штук в сетисете - две. Рисунок 4 инкапсулирует бесконечное семейство наборов порядка 2, каждое из которых состоит из двух треугольников, п и Q. Как показано, последние могут быть соединены вместе, чтобы образовать составной треугольник, имеющий ту же форму, что и п или же Qв зависимости от того, полностью или полностью закрыта петля. Таким образом, этот необычный образец представляет собой пример шарнирное рассечение.

Фигура 3:   Сетисет, показывающий слабо связанные фигуры.
Рисунок 4:   Бесконечное семейство множеств порядка 2.

Инфляция и дефляция

Фигура 5:   Набор четвертого порядка с октамино. Показаны две стадии инфляции.

Свойства сетисетов означают, что их части образуют подстановочные мозаики, или же мозаика в которой прототипы могут быть рассечены или объединены, чтобы получить меньшие или большие дубликаты самих себя. Ясно, что двойные действия по формированию все больших и больших копий (известное как раздувание) или еще меньших и меньших разрезов (дефляция) могут повторяться бесконечно. Таким образом, наборы могут создавать непериодические мозаики. Однако ни одна из непериодических мозаик, открытых до сих пор, не может быть квалифицирована как апериодический, потому что прототипы всегда можно переупорядочить, чтобы получить периодическую мозаику. На рис. 5 показаны первые две стадии раздувания набора порядка 4, приводящие к непериодической мозаике.

Петли

Рисунок 6:   Цикл длины 2 с использованием декомпозиций.

Помимо саморазлагающихся наборов плиток, которые можно интерпретировать как петли длиной 1, существуют более длинные петли или замкнутые цепочки наборов, в которых каждый набор разбивает свой преемник.[5] На рисунке 6 показана пара взаимно мозаичных наборов распадается, другими словами, цикл длины 2. Саллоус и Скотель провели исчерпывающий поиск множеств порядка 4, состоящих из октимино. В дополнение к семи обычным сетистам (т. Е. Петлям длины 1) они обнаружили поразительное разнообразие петель любой длины до максимум 14. Общее количество идентифицированных петель составило почти полтора миллиона. Еще предстоит провести дополнительные исследования в этой области, но можно с уверенностью предположить, что другие формы также могут иметь петли.[6]

Способы строительства

На сегодняшний день для создания наборов использовались два метода. В случае наборов, состоящих из таких фигур, как полимино, которые влекут за собой целые размеры частей, возможен компьютерный поиск методом грубой силы, если п, количество задействованных штук не является чрезмерным. Легко показать, что п тогда должен быть идеальный квадрат.[4] Рисунки 1, 2, 3, 5 и 6 - все примеры, найденные этим методом.

В качестве альтернативы существует метод, с помощью которого можно разрезать несколько копий повторяющегося тайла определенными способами, чтобы получить формы, которые создают наборы. На рисунках 7 и 8 показаны наборы, созданные с помощью этого средства, в которых каждая часть представляет собой объединение 2 и 3 повторяющихся плиток соответственно. На Рисунке 8 можно увидеть, как 9 частей наверху вместе соединяют 3 формы повторяющихся плиток ниже, в то время как каждая из 9 частей сама образуется объединением 3 таких форм повторяющихся плиток. Следовательно, каждая форма может быть выложена более мелкими дубликатами всего набора из 9.[4]

Фигура 7:   Набор на основе реплик 4-го порядка.
Фигура 8:   Набор на основе реплики порядка 9.

Рекомендации

  1. ^ Саллоуз, Ли (декабрь 2012 г.). «О наборах самонесущей плитки». Математический журнал. 85 (5): 323–333. Дои:10.4169 / math.mag.85.5.323.
  2. ^ Алехандро Эриксон о наборах саморазлагающейся плитки
  3. ^ Полигексы и полиаболы в Математическое волшебное шоу, Мартин Гарднер, Кнопф, 1977, стр. 146-159.
  4. ^ а б c Саллоуз, Ли (апрель 2014 г.). «Подробнее о наборах самонесущей плитки». Математический журнал. 87 (2): 100–112. Дои:10.4169 / math.mag.87.2.100.
  5. ^ Геометрические скрытые камни Жан-Поль Делахай в Scilogs, 07 апреля 2013 г.
  6. ^ Веб-сайт Self-Tile Sets

внешняя ссылка