Проблема Эйнштейна - Einstein problem
В плоской геометрии проблема Эйнштейна спрашивает о существовании единственного прототип это само по себе образует апериодический набор прототипов, то есть форма, которая может мозаика космос, но только в непериодический путь. Такая форма называется «Эйнштейн» (не путать с физикой. Альберт Эйнштейн ), игра немецких слов Эйн Штайн, смысл одна плитка. В зависимости от конкретных определений непериодичности и спецификаций того, какие наборы могут квалифицироваться как плитки и какие типы правил сопоставления разрешены, проблема либо открыта, либо решена. Проблема Эйнштейна может рассматриваться как естественное продолжение второй части Восемнадцатая проблема Гильберта, который запрашивает единственный многогранник, который покрывает евклидово трехмерное пространство, но такой, что мозаика этим многогранником не равногранный.[1] Такой анисовидная плитка были найдены Карл Рейнхардт в 1928 году, но эти анизоэдральные плитки периодически покрывают все пространство плитки.
Предлагаемые решения
В 1988 году Питер Шмитт обнаружил единственный апериодический прототип в трехмерном евклидовом пространстве. Хотя ни один тайлинг этого прототипа не допускает перевод как симметрия, некоторые имеют винтовая симметрия. Винтовая операция включает в себя сочетание сдвига и вращения на иррациональное кратное π, поэтому никакое количество повторных операций никогда не приведет к чистому переносу. Эта конструкция была впоследствии расширена Джон Хортон Конвей и Людвиг Данцер в выпуклый апериодический прототип Плитка Schmitt-Conway-Danzer. Наличие винтовой симметрии привело к переоценке требований непериодичности.[2] Хаим Гудман-Штраус предложил рассмотреть тайлинг сильно апериодический если он признает нет бесконечная циклическая группа из Евклидовы движения как симметрии, и что только наборы плиток, которые обеспечивают сильную апериодичность, называются строго апериодическими, в то время как другие наборы должны называться слабо апериодический.[3]
В 1996 году Петра Гуммельт построила декорированную десятиугольную плитку и показала, что, когда разрешены два вида перекрытия между парами плиток, плитки могут покрывать плоскость, но только непериодически.[4] Под плиткой обычно понимается покрытие без нахлеста, поэтому плитка Gummelt не считается апериодическим прототипом. Апериодическая плитка, установленная в Евклидова плоскость состоящий из одной плитки - Плитка Socolar – Taylor - был предложен в начале 2010 года Джошуа Соколар и Джоан Тейлор.[5] Эта конструкция требует правил сопоставления, правил, которые ограничивают взаимную ориентацию двух плиток и ссылаются на украшения, нарисованные на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. В качестве альтернативы можно построить плитку без украшений без правил сопоставления, но она не будет соединена. Конструкция может быть расширена до трехмерной связанной плитки без правил сопоставления, но эта плитка допускает периодические в одном направлении мозаики, поэтому она является лишь слабо апериодической. Тем более, что плитка не просто связана.
Существование сильно апериодического набора тайлов, состоящего из одного связного тайла без правил сопоставления, является нерешенной проблемой.
Рекомендации
- ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. С. 22–24. ISBN 0-521-57541-9.
- ^ Радин, Чарльз (1995). «Апериодические мозаики в высших измерениях». Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 123 (11): 3543–3548. Дои:10.2307/2161105. JSTOR 2161105. МИСТЕР 1277129.
- ^ Гудман-Штраус, Хаим (10.01.2000). «Открытые вопросы в плитке» (PDF). Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2007 г.. Получено 2007-03-24.
- ^ Гуммельт, Петра (1996). «Плитки Пенроуза как покрытия конгруэнтных декагонов». Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. Дои:10.1007 / BF00239998.
- ^ Socolar, Джошуа Э. С .; Тейлор, Джоан М. (2011). «Апериодическая шестиугольная плитка». Журнал комбинаторной теории, серия А. 118 (8): 2207–2231. arXiv:1003.4279. Дои:10.1016 / j.jcta.2011.05.001.
