Каир пятиугольная черепица - Cairo pentagonal tiling

Каир пятиугольная черепица
Тип	Двойной полурегулярный тайлинг
Лица	неправильные пятиугольники
Диаграмма Кокстера	;
Группа симметрии	p4g, [4+,4], (4*2); p4, [4,4]+, (442)
Группа вращения	p4, [4,4]+, (442)
Двойной многогранник	Плоская квадратная черепица
Конфигурация лица	V3.3.4.3.4
Характеристики	лицо переходный

В геометрия, то Каир пятиугольная черепица является двойственным полурегулярным замощением Евклидова плоскость. Он получил свое название, потому что несколько улиц в Каир вымощены в этом дизайне.^[1]^[2] Это один из 15 известных моноэдральный мозаика пятиугольника.Его также называют Сеть Мак-Магона^[3] после Перси Александр МакМахон и его публикация 1921 г. Новые математические развлечения.^[4]Конвей называет это 4-кратный пентиль.^[5]

Как двумерная кристаллическая сетка, она имеет общие особенности с сотовой сеткой. Обе сети являются примерами стандартной реализации, понятие, введенное М. Котани и Т. Сунада для обычных кристаллических сетей.^[6]^[7]

Геометрия

Геометрия каждого пятиугольника

Это не правильные пятиугольники: их стороны не равны (у них четыре длинных и один короткий в соотношении 1: sqrt (3) -1^[8]), а их углы по порядку составляют 120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 °. Он представлен конфигурация лица V3.3.4.3.4.

Это похоже на призматическая пятиугольная черепица с конфигурация лица V3.3.3.4.4, у которой прямые углы примыкают друг к другу.

Вариации

Пятиугольная мозаика Каира имеет две формы более низкой симметрии, представленные как моноэдральные пятиугольные мозаики типы 4 и 8:

п4 (442)	пгг (22 ×)

б = с, г = д B = D = 90 °	б = с = д = е 2B + C = D + 2E = 360 °

Двойная черепица

Это двойной из плоская квадратная черепица, состоящий из двух квадратов и трех равносторонних треугольников вокруг каждой вершины.^[9]

Отношение к шестиугольным мозаикам

Объединение всех ребер этого тайлинга аналогично объединению всех ребер двух перпендикулярных мозаики правильными шестиугольниками, если каждый из них сплющен в соотношении ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ . Каждый шестиугольник делится на четыре пятиугольники. Два шестиугольника также могут быть вогнутыми, что приведет к вогнутым пятиугольникам.^[10] В качестве альтернативы одна из шестиугольных мозаик может оставаться правильной, а вторая растягивается и сглаживается на ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ в каждом направлении, пересекаясь на 2 формы пятиугольников.

Топологически эквивалентные мозаики

Как двойник к плоская квадратная черепица геометрические пропорции этой плитки фиксированы. Однако его можно адаптировать к другим геометрическим формам с такой же топологической связностью и другой симметрией. Например, эта прямоугольная мозаика топологически идентична.

Плитка-корзиночка		Каирский оверлей

Усеченная пятиугольная черепица Каира

Усечение 4-валентных узлов создает форму, связанную с Многогранники Гольдберга, и может быть обозначен символом {4 +, 4}_2,1. Пентагоны усечены на семиугольники. Двойной {4,4+}_2,1 имеет все треугольные грани, относящиеся к геодезические многогранники. Это можно рассматривать как плоская квадратная черепица с его квадратами, замененными на 4 треугольника.

Усеченная пятиугольная черепица Каира Шестиугольники и квадраты	Усеченная пятиугольная черепица Каира Гептагоны и квадраты	Кис плоская квадратная черепица

Связанные многогранники и мозаики

В Каир пятиугольная черепица похож на призматическая пятиугольная черепица с конфигурация лица V3.3.3.4.4, и две 2-однородные двойственные мозаики и 2 3-однородных двойственных, которые смешивают два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы цветными краями, или k-равногранными пятиугольниками.^[11]

V3.3.3.4.4	V3.3.4.3.4

Связанные пятиугольные мозаики
Каир пятиугольная черепица	2-униформные дуалы
p4g (4 * 2)	р2, (2222)	пгг (22 ×)	см (2 * 22)

V3.3.4.3.4	(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)
Призматическая пятиугольная черепица	3-униформенные дуалы
см (2 * 22)	p2 (2222)	пгг (22 ×)	p2 (2222)	пгг (22 ×)

V3.3.3.4.4	(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)

В Каир пятиугольная черепица находится в последовательности двойственных курносых многогранников и мозаик с конфигурация лица V3.3.4.3.п.

4п2 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.4.3.n [ v т е ]
Симметрия 4п2	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия 4п2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Он находится в последовательности двойных курносых многогранников и мозаик с конфигурация лица V3.3.п.3.п.

4п2 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.n.3.n
Симметрия 4п2	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
Симметрия 4п2	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

Смотрите также

Примечания

^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, Математические экспозиции Дольчиани, 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 164, г. ISBN 978-0-88385-348-1.
^ Мартин, Джордж Эдвард (1982), Преобразовательная геометрия: введение в симметрию, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.
^ О'Киф, М .; Хайд, Б. Г. (1980), "Плоские сетки в кристаллохимии", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 295 (1417): 553–618, Дои:10.1098 / рста.1980.0150, JSTOR 36648.
^ Макмахон, майор П. А. (1921), Новые математические развлечения, University Press. PDF [1] стр.101
^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] В архиве 2010-09-19 на Wayback Machine (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, таблица с. 288)
^ Kotani, M .; Сунада, Т. (2000), "Стандартные реализации кристаллических решеток с помощью гармонических отображений", Труды Американского математического общества, 353: 1–20, Дои:10.1090 / S0002-9947-00-02632-5
^ Т. Сунада, Топологическая кристаллография --- с точки зрения дискретного геометрического анализа ---, Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам, Вып. 6, Springer
^ http://catnaps.org/islamic/geometry2.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная тесселяция». MathWorld.
^ Определение мозаики типа cairo
^ Чави, Д. (1989). "Тайлинги правильными многоугольниками - II: Каталог мозаик". Компьютеры и математика с приложениями. 17: 147–165. Дои:10.1016/0898-1221(89)90156-9.CS1 maint: ref = harv (связь)

дальнейшее чтение

Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г. К. (1987). Плитки и узоры. Нью-Йорк: У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-1193-1. (Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики, п. 58-65) (Стр. 480, Тайлинги полигонами, №24 из 24 полигональных равногранный типы по пятиугольникам)
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. стр. 38. ISBN 0-486-23729-X.
Уэллс, Дэвид, Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Лондон: Пингвин, стр. 23 января 1991 г.
Кит Кричлоу, Заказ в космосе: справочник по дизайну, 1970, с. 77-76, узор 3

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Каирская мозаика". MathWorld.

[1] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, Математические экспозиции Дольчиани, 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 164, г. ISBN 978-0-88385-348-1.

[2] Мартин, Джордж Эдвард (1982), Преобразовательная геометрия: введение в симметрию, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.

[3] О'Киф, М .; Хайд, Б. Г. (1980), "Плоские сетки в кристаллохимии", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 295 (1417): 553–618, Дои:10.1098 / рста.1980.0150, JSTOR 36648.

[4] Макмахон, майор П. А. (1921), Новые математические развлечения, University Press. PDF [1] стр.101

[5] Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] В архиве 2010-09-19 на Wayback Machine (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, таблица с. 288)

[6] Kotani, M .; Сунада, Т. (2000), "Стандартные реализации кристаллических решеток с помощью гармонических отображений", Труды Американского математического общества, 353: 1–20, Дои:10.1090 / S0002-9947-00-02632-5

[7] Т. Сунада, Топологическая кристаллография --- с точки зрения дискретного геометрического анализа ---, Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам, Вып. 6, Springer

[8] ttp://catnaps.org/islamic/geometry2.html

[9] Вайсштейн, Эрик В. «Двойная тесселяция». MathWorld.

[10] Определение мозаики типа cairo

[11] Чави, Д. (1989). "Тайлинги правильными многоугольниками - II: Каталог мозаик". Компьютеры и математика с приложениями. 17: 147–165. Дои:10.1016/0898-1221(89)90156-9.CS1 maint: ref = harv (связь)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]