Экспоненциальный рост - Exponential growth

Экспоненциальный рост это особый способ увеличения количества со временем. Возникает при мгновенном скорость изменения (это производная ) величины по времени равна пропорциональный к самому количеству. Описывается как функция экспоненциально растущая величина экспоненциальная функция времени, то есть переменной, представляющей время, является показатель степени (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ).

Если коэффициент пропорциональности отрицательный, то величина со временем уменьшается и, как говорят, подвергается экспоненциальный спад вместо. В случае дискретного домен определения с равными интервалами, его также называют геометрический рост или геометрический распад поскольку значения функции образуют геометрическая прогрессия.

Формула экспоненциального роста переменной Икс по темпам роста р, как время т происходит в дискретных интервалах (то есть в целые числа, умноженные на 0, 1, 2, 3, ...), является

${ displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1 + r) ^ {t}}$

где Икс₀ это ценность Икс в момент времени 0. Рост бактериальный колония часто используется для иллюстрации. Одна бактерия распадается на две, каждая из которых разделяется на четыре, затем восемь, 16, 32 и так далее. Скорость увеличения продолжает расти, потому что она пропорциональна постоянно растущему количеству бактерий. Подобный рост наблюдается в реальной деятельности или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за сложные проценты, и распространение вирусные видео. В реальных случаях начальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, вместо этого он в конечном итоге замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами и превращаясь в логистический рост.

Примеры

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Биология

• Количество микроорганизмы в культура будет увеличиваться экспоненциально, пока не будут исчерпаны необходимые питательные вещества. Обычно первый организм раскол на два дочерних организма, каждый из которых затем разделился на четыре, а кто - на восемь, и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в стабильном состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью, изменяя свой метаболизм и экспрессию генов.^[1]
• Вирус (например COVID-19, или же оспа ) обычно сначала будет распространяться экспоненциально, если не будет искусственных иммунизация доступен. Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.

Физика

• Лавина в пределах диэлектрик материал. Бесплатный электрон становится достаточно ускоренным за счет внешнего применения электрическое поле что он освобождает дополнительные электроны при столкновении с атомы или молекулы диэлектрических сред. Эти вторичный электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Результирующий экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному пробой диэлектрика материала.
• Ядерная цепная реакция (концепция, лежащая в основе ядерные реакторы и ядерное оружие ). Каждый уран ядро что проходит деление производит несколько нейтроны, каждый из которых может быть поглощен соседними атомами урана, заставляя их, в свою очередь, делиться. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность выхода нейтрона (a функция из форма и масса урана), k > 0, и поэтому скорость образования нейтронов и индуцированного деления урана увеличивается экспоненциально в неконтролируемой реакции. "Из-за экспоненциальной скорости роста в любой момент цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Это разумное приближение, если рассматривать первые 53 поколения как латентный период, ведущий к настоящий взрыв, который занимает всего 3–4 поколения ».^[2]
• Положительный отзыв в линейном диапазоне электрических или электроакустических усиление может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонанс эффекты могут благоприятствовать некоторым составляющие частоты сигнала над другими.

Экономика

• Экономический рост выражается в процентах, что означает экспоненциальный рост.

Финансы

• Сложные проценты при постоянной процентной ставке обеспечивает экспоненциальный рост капитала.^[3] Смотрите также правило 72.
• Схемы пирамид или Схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, приводящий к высокой прибыли для нескольких первоначальных инвесторов и убыткам для большого числа инвесторов.

Информатика

• Вычислительная мощность компьютеров. Смотрите также Закон Мура и технологическая особенность. (При экспоненциальном росте нет сингулярностей. Сингулярность здесь - метафора, призванная передать невообразимое будущее. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко выражается футуристами. Рэй Курцвейл.)
• В теория сложности вычислений компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, времени, памяти компьютера) только для постоянного увеличения размера задачи. Итак, для алгоритма временной сложности 2^Икс, если проблема размера Икс = 10 требуется 10 секунд для завершения, и проблема размера Икс = 11 требуется 20 секунд, тогда проблема размера Икс = 12 потребуется 40 секунд. Этот вид алгоритма обычно становится непригодным для использования при очень малых размерах задач, часто от 30 до 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо более крупные проблемы, до десятков тысяч или даже миллионов элементов в разумные сроки, что быть физически невозможно с экспоненциальным алгоритмом). Кроме того, эффекты Закон Мура не сильно помогают ситуации, потому что удвоение скорости процессора просто позволяет увеличить размер проблемы на константу. Например. если медленный процессор может решить проблемы размера Икс во время т, то процессор в два раза быстрее может решать только задачи размера Икс + постоянная в то же время т. Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является сегодня одной из центральных целей информатики.

Интернет-феномены

• Интернет-контент, например интернет-мемы или ролики, может распространяться экспоненциально, часто говорят: "стать вирусным "как аналог распространения вирусов.^[4] С такими СМИ, как социальные сети, один человек может пересылать один и тот же контент множеству людей одновременно, а те затем распространяют его еще большему количеству людей и так далее, вызывая быстрое распространение.^[5] Например, видео гангам стайл был загружен в YouTube 15 июля 2012 года, его просмотрели сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы - в двадцатый день, а в совокупности его посмотрели сотни миллионов человек менее чем за два месяца.^[4][6]

Основная формула

Количество Икс экспоненциально зависит от времени т если

${ Displaystyle х (т) = а cdot b ^ {т / тау}}$

где постоянная а начальное значение Икс,

${ Displaystyle х (0) = а ,,}$

постоянная б положительный фактор роста, а τ это постоянная времени - время, необходимое для Икс увеличить в один раз б:

${ displaystyle x (t + tau) = a cdot b ^ { frac {t + tau} { tau}} = a cdot b ^ { frac {t} { tau}} cdot b ^ { frac { tau} { tau}} = x (t) cdot b ,.}$

Если τ > 0 и б > 1, тогда Икс имеет экспоненциальный рост. Если τ < 0 и б > 1, или же τ > 0 и 0 < б < 1, тогда Икс имеет экспоненциальный спад.

Пример: Если количество бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Вопрос подразумевает а = 1, б = 2 и τ = 10 мин.

${ displaystyle x (t) = a cdot b ^ {t / tau} = 1 cdot 2 ^ {(60 { text {min}}) / (10 { text {min}})}}$

${ displaystyle x (1 { text {hr}}) = 1 cdot 2 ^ {6} = 64.}$

Через час или шесть десятиминутных интервалов будет шестьдесят четыре бактерии.

Многие пары (б, τ) из безразмерный неотрицательное число б и количество времени τ (а физическое количество который может быть выражен как произведение количества единиц на единицу времени) представляют одну и ту же скорость роста, причем τ пропорционально бревнуб. Для любых фиксированных б не равно 1 (например, е или 2) темп роста задается ненулевым временем τ. Для любого ненулевого времени τ скорость роста определяется безразмерным положительным числомб.

Таким образом, закон экспоненциального роста может быть записан в различных, но математически эквивалентных формах, используя разные основание. Наиболее распространены следующие формы:

${ displaystyle x (t) = x_ {0} cdot e ^ {kt} = x_ {0} cdot e ^ {t / tau} = x_ {0} cdot 2 ^ {t / T} = x_ {0} cdot left (1 + { frac {r} {100}} right) ^ {t / p},}$

где Икс₀ выражает начальную величину Икс(0).

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального спада):

• В постоянная роста k это частота (количество раз в единицу времени) роста в раз е; в финансах это еще называют логарифмической отдачей, непрерывно начисленная доходность, или же сила интереса.
• В время электронного складывания τ время, необходимое для роста в раз е.
• В время удвоения Т время, необходимое для удвоения.
• Увеличение процента р (безразмерное число) за период п.

Количество k, τ, и Т, и для данного п также р, имеют взаимно однозначную связь, задаваемую следующим уравнением (которое может быть получено путем натурального логарифма приведенного выше):

${ displaystyle k = { frac {1} { tau}} = { frac { ln 2} {T}} = { frac { ln left (1 + { frac {r} {100}) } right)} {p}}}$

где k = 0 соответствует р = 0 и до τ и Т быть бесконечным.

Если п это единица времени частное т/п это просто количество единиц времени. Используя обозначения т для (безразмерного) количества единиц времени, а не для самого времени, т/п можно заменить на т, но для единообразия здесь этого удалось избежать. В этом случае деление на п в последней формуле тоже не числовое деление, а преобразование безразмерного числа в правильное количество, включая единицу.

Популярным приближенным методом расчета времени удвоения по скорости роста является правило 70,то есть, ${ displaystyle T simeq 70 / r}$.

Переформулировка как лог-линейный рост

Если переменная Икс показывает экспоненциальный рост в соответствии с ${ Displaystyle х (т) = х_ {0} (1 + г) ^ {т}}$, то лог (к любой базе) Икс растет линейно со временем, как можно увидеть, взяв логарифмы обеих частей уравнения экспоненциального роста:

${ displaystyle log x (t) = log x_ {0} + t cdot log (1 + r).}$

Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью лог-линейная модель. Например, если кто-то хочет эмпирически оценить скорость роста на основе межвременных данных по Икс, можно линейно регресс бревно Икс на т.

Дифференциальное уравнение

В экспоненциальная функция ${ Displaystyle х (т) = х (0) е ^ {kt}}$ удовлетворяет линейное дифференциальное уравнение:

${ Displaystyle ! , { гидроразрыва {dx} {dt}} = kx}$

говоря, что изменение в момент времени Икс вовремя т пропорционально значению Икс(т), и Икс(т) имеет Первоначальный значение

${ displaystyle x (0).}$

Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dx} {dt}} & = kx [5pt] { frac {dx} {x}} & = k , dt [5pt] int _ {x (0)} ^ {x (t)} { frac {dx} {x}} & = k int _ {0} ^ {t} , dt [5pt] ln { frac {x (t)} {x (0)}} & = kt. end {align}}}$

так что

${ Displaystyle х (т) = х (0) е ^ {kt}}$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если k < 0, то количество переживаний экспоненциальный спад.

Для нелинейный Вариант этой модели роста см. логистическая функция.

Уравнение разницы

В разностное уравнение

${ Displaystyle х_ {т} = а cdot х_ {т-1}}$

есть решение

${ displaystyle x_ {t} = x_ {0} cdot a ^ {t},}$

показывая это Икс испытывает экспоненциальный рост.

Прочие темпы роста

В конечном итоге экспоненциальный рост любого вида превзойдет линейный рост любого вида (основа Мальтузианская катастрофа ) а также любые многочлен рост, то есть для всех α:

${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} {t ^ { alpha} over ae ^ {t}} = 0.}$

Существует целая иерархия возможных темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). Видеть Степень полинома § Вычисляется из значений функции.

Темпы роста также могут быть выше, чем экспоненциальные. В самом крайнем случае, когда рост неограниченно увеличивается за конечное время, он называется гиперболический рост. Между экспоненциальным и гиперболическим ростом находится больше классов поведения роста, таких как гипероперации начиная с тетрация, и ${ Displaystyle А (п, п)}$, диагональ Функция Аккермана.

Логистический рост

В действительности начальный экспоненциальный рост часто не сохраняется вечно. По прошествии некоторого времени он будет замедлен внешними факторами или факторами окружающей среды. Например, рост населения может достигнуть верхнего предела из-за ограниченности ресурсов.^[7] В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Верхюльст впервые предложил такую ​​математическую модель роста, названную "логистический рост ".^[8]

Ограничения моделей

Модели экспоненциального роста физических явлений применимы только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост физически нереален. Хотя первоначально рост может быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорировались негативный отзыв факторы становятся значимыми (приводящими к логистический рост модель) или другие допущения, лежащие в основе модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, не работают.

Смещение экспоненциального роста

Исследования показывают, что людям сложно понять экспоненциальный рост. Смещение экспоненциального роста - это тенденция недооценивать сложные процессы роста. Эта предвзятость может иметь и финансовые последствия.^[9] Ниже приведены несколько историй, которые подчеркивают эту предвзятость.

Рис на шахматной доске

Согласно старинной легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарила индийскому королю Шариму красивый ручной работы. шахматная доска. Король спросил, что он хотел бы взамен своего подарка, и придворный удивил короля, попросив одно зерно риса на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и т. Д. Король с готовностью согласился и спросил чтобы принести рис. Сначала все шло хорошо, но требование на 2^п−1 зерна на п-й квадрат потребовал свыше миллиона зерен на 21-м квадрате, более миллиона миллионов (a.k.a. триллион ) 41-го и риса во всем мире просто не хватило для последних квадратов. (Из Свирски, 2006 г.)^[10]

В вторая половина шахматной доски это время, когда экспоненциально растущее влияние оказывает значительное экономическое влияние на общую бизнес-стратегию организации.

Водяная лилия

Французским детям предлагается загадка, в которой показан аспект экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение водяной лилии, растущее в пруду. Растение удваивается в размерах каждый день, и, если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убив всех остальных живых существ в воде. День за днем ​​рост растения невелик, поэтому решено, что это не будет проблемой, пока оно не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, остается только один день на спасение пруда.^[11][10]

Смотрите также

Ссылки и сноски

Источники

• Медоуз, Донелла. Рандерс, Йорген. Медоуз, Деннис. Пределы роста: 30-летнее обновление. Chelsea Green Publishing, 2004 г. ISBN  9781603581554
• Медоуз, Донелла Х., Деннис Л. Медоуз, Йорген Рандерс и Уильям В. Беренс III. (1972) Пределы роста. Нью-Йорк: Университетские книги. ISBN  0-87663-165-0
• Порритт, Дж. Капитализм, как будто мир имеет значение, Earthscan 2005. ISBN  1-84407-192-8
• Свирски, Питер. О литературе и знаниях: исследования в области повествовательных мысленных экспериментов, эволюции и теории игр. Нью-Йорк: Рутледж. ISBN  0-415-42060-1
• Томсон, Дэвид Г. План на миллиард: 7 принципов экспоненциального роста, Wiley декабрь 2005 г., ISBN  0-471-74747-5
• Цирель, С. В. 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста населения Земли. Математическое моделирование социально-экономической динамики / Под ред. Дмитриева М.Г., Петрова А.П., с. 367–9. М .: Российский государственный социальный университет, 2004.

внешняя ссылка

• Рост в конечном мире - устойчивость и экспоненциальная функция - презентация
• Д-р Альберт Бартлетт: Арифметика, народонаселение и энергия - потоковое видео и аудио 58 мин