Верное представительство - Faithful representation

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра известный как теория представлений, а верное представление ρ группа ${ displaystyle G}$ на векторное пространство ${ displaystyle V}$ это линейное представление в котором разные элементы ${ displaystyle g}$ из ${ displaystyle G}$ представлены различными линейными отображениями ${ displaystyle rho (g)}$.

На более абстрактном языке это означает, что групповой гомоморфизм

${ Displaystyle rho: G в GL (V)}$

является инъективный (или же один к одному ).

Предостережение: Хотя представления ${ displaystyle G}$ над полем ${ displaystyle K}$ находятся де-факто такой же как ${ displaystyle K [G]}$-модули (с ${ displaystyle K [G]}$ обозначая групповая алгебра группы ${ displaystyle G}$), точное представление ${ displaystyle G}$ не обязательно верный модуль для групповой алгебры. Фактически каждый верный ${ displaystyle K [G]}$-модуль является точным представлением ${ displaystyle G}$, но обратное неверно. Рассмотрим, например, естественное представление симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ в ${ displaystyle n}$ размеры по матрицы перестановок, что, безусловно, верно. Здесь порядок группы ${ displaystyle n}$! в то время как ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы образуют векторное пространство размерности ${ Displaystyle п ^ {2}}$. Как только ${ displaystyle n}$ не меньше 4, подсчет размерностей означает, что между матрицами перестановок должна иметь место некоторая линейная зависимость (поскольку ${ displaystyle 24> 16}$); это соотношение означает, что модуль групповой алгебры не точен.

Характеристики

Представление ${ displaystyle V}$ конечной группы ${ displaystyle G}$ над алгебраически замкнутым полем ${ displaystyle K}$ нулевой характеристики является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление ${ displaystyle G}$ происходит как субпредставление ${ displaystyle S ^ {n} V}$ (в ${ displaystyle n}$-я симметричная степень представления ${ displaystyle V}$) для достаточно высокого ${ displaystyle n}$. Также, ${ displaystyle V}$ является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление ${ displaystyle G}$ происходит как субпредставление

${ displaystyle V ^ { otimes n} = underbrace {V otimes V otimes cdots otimes V} _ {n { text {times}}}}$

(в ${ displaystyle n}$-я тензорная степень представления ${ displaystyle V}$) для достаточно высокой ${ displaystyle n}$.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

"верное представление", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.