Волоконный продукт схем - Fiber product of schemes

В математика особенно в алгебраическая геометрия, то волокнистое изделие схем фундаментальная конструкция. У него много толкований и частных случаев. Например, продукт из волокна описывает, как алгебраическое многообразие более одного поле определяет разнообразие на более крупном поле, или возврат семейства разновидностей, или волокно семейства разновидностей. Базовое изменение это тесно связанное понятие.

Определение

В категория из схемы - это широкая область применения алгебраической геометрии. Плодотворная философия (известная как Относительная точка зрения Гротендика ) состоит в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизм схем Икс → Y (называется схемой Икс над Y), а не для одной схемы Икс. Например, вместо того, чтобы просто учиться алгебраические кривые, можно изучать семейства кривых над любой базовой схемой Y. Действительно, эти два подхода обогащают друг друга.

В частности, схема над коммутативное кольцо р означает схему Икс вместе с морфизмом Икс → Спецификация (р). Старое понятие алгебраического многообразия над полем k эквивалентна схеме над k с определенными свойствами. (Существуют разные соглашения о том, какие именно схемы следует называть "разновидностями". Один стандартный выбор состоит в том, что разновидность над полем k означает интегрально разделенный схема конечный тип над k.[1])

В общем, морфизм схем Икс → Y можно представить себе как семейство схем, параметризованных точками Y. Учитывая морфизм из другой схемы Z к Y, должно быть семейство схем "отката" за Z. Это как раз и есть волокнистый продукт Икс ×Y Z → Z.

Формально: это полезное свойство категории схем, которое волокнистый продукт всегда существует.[2] То есть для любых морфизмов схем Икс → Y и Z → Y, есть схема Икс ×Y Z с морфизмами на Икс и Z, составив диаграмму

Fiber product.png

коммутативный, и который универсальный с этим свойством. То есть для любой схемы W с морфизмами на Икс и Z чьи сочинения Y равны, существует единственный морфизм из W к Икс ×Y Z что заставляет диаграмму коммутировать. Как всегда с универсальными свойствами, это условие определяет схему Икс ×Y Z с точностью до единственного изоморфизма, если он существует. Доказательство того, что волоконные произведения схем всегда существуют, сводит проблему к следующему: тензорное произведение коммутативных колец (ср. схемы склейки ). В частности, когда Икс, Y, и Z все аффинные схемы, так Икс = Спецификация (А), Y = Спецификация (B), и Z = Спецификация (C) для некоторых коммутативных колец А,B,C, волокнистым продуктом является аффинная схема

Морфизм Икс ×Y Z → Z называется изменение базы или же откат морфизма Икс → Y через морфизм Z → Y.

Толкования и особые случаи

  • В категории схем над полем k, то товар Икс × Y означает волокнистый продукт Икс ×k Y (что является сокращением для продукта волокна над Spec (k)). Например, произведение аффинных пространств Aм и Ап над полем k аффинное пространство Aм+п над k.
  • Для схемы Икс над полем k и любой расширение поля E из k, то изменение базы ИксE означает волокнистый продукт Икс ×Спецификация (k) Спецификация (E). Здесь ИксE это схема над E. Например, если Икс кривая в проективная плоскость п2
    р     над действительные числа р определяется уравнением ху2 = 7z3, тогда ИксC это сложный кривая в п2
    C     определяется тем же уравнением. Многие свойства алгебраического многообразия над полем k можно определить в терминах его базового изменения на алгебраическое замыкание из k, что упрощает ситуацию.
  • Позволять ж: Икс → Y - морфизм схем, и пусть у быть точкой в Y. Тогда существует морфизм Spec (k(у)) → Y с изображением у, куда k(у) это поле вычетов из у. В волокно из ж над у определяется как волокнистый продукт Икс ×Y Спецификация (k(у)); это схема над полем k(у).[3] Это понятие помогает обосновать приблизительное представление о морфизме схем. Икс → Y как семейство схем, параметризованных Y.
  • Позволять Икс, Y, и Z быть схемами над полем k, с морфизмами Икс → Y и Z → Y над k. Тогда набор k-рациональные точки волокнистого продукта Икс ИксY Z легко описать:
Это k-точка Икс ИксY Z можно отождествить с парой k-точки Икс и Z которые имеют такое же изображение в Y. Это непосредственно следует из универсального свойства волоконного произведения схем.
  • Если Икс и Z замкнутые подсхемы схемы Y, то волокнистый продукт Икс ИксY Z это точно пересечение Икс ∩ Z, с его естественной схемной структурой.[4] То же самое и с открытыми подсхемами.

Смена базы и спуск

Некоторые важные свойства P морфизмов схем: сохраняется при произвольной замене базы. То есть, если Икс → Y обладает свойством P и Z → Y - любой морфизм схем, то замена базы Икс ИксY Z → Z имеет свойство P. Например, плоские морфизмы, гладкие морфизмы, правильные морфизмы, и многие другие классы морфизмов сохраняются при произвольной замене базы.[5]

Слово спуск относится к обратному вопросу: если обратный морфизм Икс ИксY Z → Z обладает некоторым свойством P, исходный морфизм должен Икс → Y есть свойство P? Понятно, что в целом это невозможно: например, Z может быть пустой схемой, и в этом случае обратный морфизм теряет всю информацию об исходном морфизме. Но если морфизм Z → Y плоский и сюръективный (также называемый точно плоский) и квазикомпактный, то многие свойства происходят от Z к Y. Нисходящие свойства включают плоскостность, гладкость, правильность и многие другие классы морфизмов.[6] Эти результаты являются частью Гротендик теория точно ровный спуск.

Пример: для любого расширения поля k ⊂ E, морфизм Spec (E) → Спец (k) строго плоский и квазикомпактный. Таким образом, упомянутые результаты спуска подразумевают, что схема Икс над k сглаживается k если и только если база изменится ИксE сглаживается E. То же самое касается правильности и многих других свойств.

Примечания

  1. ^ Stacks Project, тег 020D.
  2. ^ Гротендик, EGA I, Théorème 3.2.6; Хартсхорн (1977), теорема II.3.3.
  3. ^ Hartshorne (1977), раздел II.3.
  4. ^ Stacks Project, тег 0C4I.
  5. ^ Stacks Project, тег 02WE.
  6. ^ Stacks Project, тег 02YJ.

Рекомендации

внешняя ссылка