Прямая сумма - Direct sum

В прямая сумма это операция от абстрактная алгебра, филиал математика. Например, прямая сумма ${ Displaystyle mathbf {R} oplus mathbf {R}}$ , куда ${ displaystyle mathbf {R}}$ является реальное координатное пространство, это Декартова плоскость, ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$ . Чтобы увидеть, как прямая сумма используется в абстрактной алгебре, рассмотрим более элементарную структуру абстрактной алгебры - абелева группа. Прямая сумма двух абелевы группы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ это еще одна абелева группа ${ displaystyle A oplus B}$ состоящий из упорядоченных пар ${ Displaystyle (а, б)}$ куда ${ displaystyle a in A}$ и ${ displaystyle b in B}$ . (Как ни странно, эта упорядоченная пара также называется декартово произведение двух групп.) Чтобы добавить упорядоченные пары, мы определяем сумму ${ Displaystyle (а, Ь) + (с, d)}$ быть ${ Displaystyle (а + с, Ь + г)}$ ; другими словами, сложение определяется по координатам. Аналогичный процесс можно использовать для получения прямой суммы двух векторные пространства или два модули.

Мы также можем формировать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например ${ displaystyle A oplus B oplus C}$ , при условии ${ displaystyle A, B,}$ и ${ displaystyle C}$ являются одинаковыми видами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том факте, что прямая сумма равна ассоциативный вплоть до изоморфизм. То есть, ${ Displaystyle (A oplus B) oplus C cong A oplus (B oplus C)}$ для любых алгебраических структур ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , и ${ displaystyle C}$ такого же вида. Прямая сумма также коммутативный с точностью до изоморфизма, т.е. ${ Displaystyle A oplus B cong B oplus A}$ для любых алгебраических структур ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ такого же вида.

В случае двух слагаемых или любого конечного числа слагаемых прямая сумма совпадает с прямой продукт. Если арифметическая операция записывается как +, как это обычно бывает в абелевых группах, то мы используем прямую сумму. Если арифметическая операция записана как × или ⋅ или с использованием сопоставления (как в выражении ${ displaystyle xy}$ ) мы используем прямой продукт.

В случае, когда объединяется бесконечно много объектов, большинство авторов различают прямую сумму и прямой продукт. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение бесконечного числа вещественных прямых. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3, ...), но в прямой сумме должно быть требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1, 2,3, ...) будет элементом прямого продукта, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0, ...) будет элементом обоих. В более общем смысле, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, тогда как при использовании некоторой формы умножения все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря более техническим языком, если слагаемые равны ${ displaystyle (A_ {я}) _ {я in I}}$ , прямая сумма ${ displaystyle bigoplus _ {я in I} A_ {i}}$ определяется как набор кортежей ${ Displaystyle (а_ {я}) _ {я в я}}$ с ${ displaystyle a_ {i} in A_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle a_ {i} = 0}$ для всех, кроме конечного множества я. Прямая сумма ${ displaystyle bigoplus _ {я in I} A_ {i}}$ содержится в прямой продукт ${ Displaystyle prod _ {я in I} A_ {я}}$ , но обычно строго меньше, когда набор индексов ${ displaystyle I}$ бесконечно, потому что прямые произведения не имеют ограничения, что все координаты, кроме конечного числа, должны быть нулевыми.^[1]

Примеры

В ху-самолет, двухмерный векторное пространство, можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно Икс и у топоры. В этой прямой сумме Икс и у оси пересекаются только в начале координат (нулевой вектор). Сложение определяется покоординатно, то есть ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) + (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2})}$ , что аналогично сложению векторов.

Учитывая две структуры ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ , их прямая сумма записывается как ${ displaystyle A oplus B}$ . Учитывая индексированная семья структур ${ displaystyle A_ {i}}$ , проиндексировано ${ displaystyle i in I}$ , прямую сумму можно записать ${ displaystyle textstyle A = bigoplus _ {я in I} A_ {я}}$ . Каждый А_я называется прямое слагаемое из А. Если набор индексов конечен, прямая сумма такая же, как и прямой продукт. В случае групп, если групповая операция записана как ${ displaystyle +}$ используется фраза «прямая сумма», а если записывается групповая операция ${ displaystyle *}$ используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма не совпадает с прямым произведением, поскольку прямая сумма имеет дополнительное требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю.

Внутренние и внешние прямые суммы

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определены факторы, а затем прямая сумма определяется в терминах факторов, у нас есть внешняя прямая сумма. Например, если мы определим действительные числа ${ displaystyle mathbf {R}}$ а затем определить ${ Displaystyle mathbf {R} oplus mathbf {R}}$ прямая сумма называется внешней.

Если, с другой стороны, мы сначала определим некоторую алгебраическую структуру ${ displaystyle S}$ а затем напишите ${ displaystyle S}$ как прямая сумма двух подструктур ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ , то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент ${ displaystyle S}$ однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента из ${ displaystyle V}$ и элемент ${ displaystyle W}$ . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим ${ displaystyle mathbb {Z} _ {6}}$ (целые числа по модулю шесть), элементы которого ${ Displaystyle {0,1,2,3,4,5 }}$ . Это выражается как внутренняя прямая сумма ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {6} = {0,2,4 } oplus {0,3 }}$ .

Виды прямой суммы

Прямая сумма абелевых групп

В прямая сумма абелевых групп является прототипом прямой суммы. Учитывая два абелевы группы ${ displaystyle (A, circ)}$ и ${ displaystyle (B, bullet)}$ , их прямая сумма ${ displaystyle A oplus B}$ такой же, как их прямой продукт, то есть базовым набором является декартово произведение ${ displaystyle A times B}$ и групповая операция ${ displaystyle cdot}$ определяется покомпонентно:

{ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} circ a_ {2}, b_ {1} bullet b_ {2} )}

.

Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для бесконечного семейства абелевых групп А_я за я ∈ я, прямая сумма

{ displaystyle bigoplus _ {я in I} A_ {i}}

это собственная подгруппа прямого продукта. Он состоит из элементов ${ displaystyle textstyle (a_ {i}) in prod _ {j in I} A_ {j}}$ такой, что а_я является элементом идентичности А_я для всех, кроме конечного множества я.^[2]

Прямая сумма модулей

В прямая сумма модулей это конструкция, сочетающая в себе несколько модули в новый модуль.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторные пространства, которые являются модулями над поле. Конструкция также может быть расширена до Банаховы пространства и Гильбертовы пространства.

Прямая сумма представлений групп

В прямая сумма представлений групп обобщает прямая сумма лежащих в основе модули, добавив групповое действие к нему. В частности, учитывая группа грамм и два представления V и W из грамм (или, в более общем смысле, два грамм-модули ) прямая сумма представлений равна V ⊕ W с действием грамм ∈ грамм задано покомпонентно, т.е.

грамм·(v, ш) = (грамм·v, грамм·ш).

Другой эквивалентный способ определения прямой суммы:

Учитывая два представления ${ displaystyle (V, rho _ {V})}$ и ${ displaystyle (W, rho _ {W})}$ векторное пространство прямой суммы ${ Displaystyle V oplus W}$ и гомоморфизм ${ displaystyle rho _ {V oplus W}}$ дан кем-то ${ Displaystyle альфа circ ( rho _ {V} times rho _ {W})}$ , куда ${ Displaystyle альфа: GL (V) times GL (W) to GL (V otimes W)}$ - естественное отображение, полученное покоординатным действием, как указано выше.

Кроме того, если ${ Displaystyle V, , W}$ конечномерны, то с учетом базиса ${ Displaystyle V, , W}$ , ${ displaystyle rho _ {V}}$ и ${ displaystyle rho _ {W}}$ матричнозначные. В этом случае, ${ displaystyle rho _ {V oplus W}}$ дается как

{ displaystyle g mapsto { begin {pmatrix} rho _ {V} (g) & 0 0 & rho _ {W} (g) end {pmatrix}}.}

Более того, если рассматривать ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ в виде модулей над групповое кольцо ${ displaystyle kG}$ , куда ${ displaystyle k}$ - поле, то прямая сумма представлений ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ равна их прямой сумме как ${ displaystyle kG}$ модули.

Прямая сумма колец

Некоторые авторы будут говорить о прямой сумме ${ Displaystyle R oplus S}$ двух колец, когда они означают прямой продукт ${ Displaystyle R раз S}$ , но этого следует избегать^[3] поскольку ${ Displaystyle R раз S}$ не получает естественных гомоморфизмов колец из р и S: в частности, карта ${ displaystyle R to R times S}$ отправка р к (р, 0) не является гомоморфизмом колец, поскольку он не может передать 1 в (1,1) (предполагая, что 0 ≠ 1 в S). Таким образом ${ Displaystyle R раз S}$ не является побочным продуктом в категория колец, и не следует записывать в виде прямой суммы. (Побочный продукт в категория коммутативных колец это тензорное произведение колец.^[4] В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной конструкции бесплатный продукт групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если ${ Displaystyle (R_ {я}) _ {я in I}}$ является бесконечным набором нетривиальных колец, то прямая сумма основных аддитивных групп может быть снабжена почленным умножением, но это дает rng, т.е. кольцо без мультипликативного тождества.

Прямая сумма по категориям

An аддитивная категория является абстракцией свойств категории модулей.^[5]^[6] В такой категории конечные продукты и копроизведения согласуются, и прямая сумма равна любому из них, ср. побочный продукт.

Общий случай:^[7]В теория категорий прямая сумма часто, но не всегда, сопродукт в категория рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. То же верно и в категории модулей.

Гомоморфизмы

^{[требуется разъяснение ]}

Прямая сумма ${ displaystyle bigoplus _ {я in I} A_ {i}}$ оснащен проекция гомоморфизм ${ displaystyle pi _ {j} двоеточие , bigoplus _ {i in I} A_ {i} to A_ {j}}$ для каждого j в я и копроекция ${ displaystyle alpha _ {j} двоеточие , A_ {j} to bigoplus _ {i in I} A_ {i}}$ для каждого j в я.^[8] Учитывая другую алгебраическую структуру ${ displaystyle B}$ (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмами ${ displaystyle g_ {j} двоеточие A_ {j} to B}$ для каждого j в я, существует единственный гомоморфизм ${ Displaystyle г двоеточие , bigoplus _ {я in I} от A_ {i} до B}$ , называется суммой грамм_j, так что ${ displaystyle g alpha _ {j} = g_ {j}}$ для всех j. Таким образом, прямая сумма равна сопродукт в соответствующем категория.

Смотрите также

Примечания

^ Томас В. Хангерфорд, Алгебра, стр.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
^ Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение, п. 177, Аллин и Бэкон, 1965 г.
^ Math StackExchange о прямой сумме колец против прямого произведения колец.
^ Lang 2002, раздел I.11
^ "стр.45"
^ ""Приложение"" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2006-09-17. Получено 2014-01-14.
^ лаборатория
^ Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика. Pallas Proefschriften. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 9085550246.