Расширение группы - Group extension

В математика, а расширение группы является общим средством описания группа с точки зрения конкретного нормальная подгруппа и факторгруппа. Если Q и N две группы, то грамм является расширение из Q к N если есть короткая точная последовательность

{ displaystyle 1 to N ; { overset { iota} { to}} ; G ; { overset { pi} { to}} ; Q to 1.}

Если грамм является продолжением Q к N, тогда грамм это группа, ${ Displaystyle йота (N)}$ это нормальная подгруппа из грамм и факторгруппа ${ Displaystyle G / iota (N)}$ является изоморфный к группе Q. Расширения групп возникают в контексте проблема расширения, где группы Q и N известны и свойства грамм подлежат определению. Обратите внимание, что фраза "грамм является продолжением N к Q"также используется некоторыми.^[1]

Поскольку любой конечная группа грамм обладает максимальным нормальная подгруппа N с простой факторной группой грамм/N, все конечные группы могут быть построены как серии расширений с конечными простые группы. Этот факт послужил мотивацией для завершения классификация конечных простых групп.

Расширение называется центральное расширение если подгруппа N лежит в центр из грамм.

Расширения в целом

Одно расширение, прямой продукт, это сразу очевидно. Если требуется грамм и Q быть абелевы группы, то множество классов изоморфизма расширений Q заданной (абелевой) группой N на самом деле группа, которая изоморфный к

{ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z}} ^ {1} (Q, N);}

ср. то Функтор Ext. Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как серьезная проблема; это называется проблема расширения.

Рассмотрим несколько примеров, если грамм = K × ЧАС, тогда грамм является продолжением обоих ЧАС и K. В более общем смысле, если грамм это полупрямой продукт из K и ЧАС, записанный как ${ displaystyle G = K rtimes H}$ , тогда грамм является продолжением ЧАС к K, поэтому такие продукты, как венок предоставьте дополнительные примеры расширений.

Проблема с расширением

Вопрос в каких группах грамм являются продолжением ЧАС к N называется проблема расширения, и активно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, считайте, что серия композиций конечной группы - это конечная последовательность подгрупп {А_я}, где каждый А_я+1 является продолжением А_я некоторыми простая группа. В классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; так что решение проблемы расширения дало бы нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в целом.

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений ЧАС к K; или, что более практично, выражая все такие расширения в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, это очень сложная проблема, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или совпадают. Мы говорим, что расширения

{ displaystyle 1 to K { stackrel {i} {{} to {}}} G { stackrel { pi} {{} to {}}} H to 1}

и

{ displaystyle 1 to K { stackrel {i '} {{} to {}}} G' { stackrel { pi '} {{} to {}}} H to 1}

находятся эквивалент (или конгруэнтно), если существует групповой изоморфизм ${ displaystyle T: G to G '}$ сделать коммутативной диаграмму на рис. 1. На самом деле достаточно иметь гомоморфизм групп; из-за предполагаемой коммутативности диаграммы отображение ${ displaystyle T}$ вынужден быть изоморфизмом лемма короткая пятерка.

Рисунок 1

Предупреждение

Может случиться так, что расширения ${ Displaystyle 1 к K к G к H к 1}$ и ${ Displaystyle 1 к К к G ^ { prime} к Н к 1}$ неэквивалентны, но грамм и ГРАММ' изоморфны как группы. Например, есть ${ displaystyle 8}$ неэквивалентные расширения Кляйн четыре группы к ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ ,^[2] но есть, с точностью до изоморфизма групп, всего четыре группы порядка ${ displaystyle 8}$ содержащая нормальную подгруппу порядка ${ displaystyle 2}$ с фактор-группой, изоморфной Кляйн четыре группы.

Тривиальные расширения

А тривиальное расширение это расширение

{ Displaystyle 1 к K к G к H к 1}

что эквивалентно расширению

{ Displaystyle 1 до К до К раз от Н до Н до 1}

где левая и правая стрелки - соответственно включение и проекция каждого фактора ${ displaystyle K times H}$ .

Классификация раздельных расширений

А раздельное расширение это расширение

{ Displaystyle 1 к K к G к H к 1}

с гомоморфизм ${ Displaystyle s двоеточие от H до G}$ такое, что идет от ЧАС к грамм к s а затем обратно к ЧАС факторным отображением короткой точной последовательности индуцирует карта идентичности на ЧАС т.е. ${ displaystyle pi circ s = mathrm {id} _ {H}}$ . В этой ситуации обычно говорят, что s раскол вышесказанное точная последовательность.

Разделенные расширения очень легко классифицировать, потому что расширение разделено если и только если группа грамм это полупрямой продукт из K и ЧАС. Сами полупрямые произведения легко классифицировать, поскольку они находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами из ${ displaystyle H to operatorname {Aut} (K)}$ , где Aut (K) это автоморфизм группа K. Полное обсуждение того, почему это так, см. полупрямой продукт.

Предупреждение

В целом в математике расширение структуры K обычно рассматривается как структура L из которых K это подструктура. См. Например расширение поля. Однако в теорию групп вошла противоположная терминология, отчасти из-за обозначения ${ displaystyle operatorname {Ext} (Q, N)}$ , который легко читается как расширение Q к N, и основное внимание уделяется группе Q.

Статья Брауна и Портера (1996) о Шрайер теория неабелевых расширений (цитируется ниже) использует терминологию, которая K дает более крупную структуру.

Центральное расширение

А центральное расширение группы грамм короткий точная последовательность групп

{ Displaystyle 1 к А к Е к G к 1}

такой, что А находится в Z (E), центр группы E.Множество классов изоморфизма центральных расширений грамм к А (куда грамм действует тривиально на А) находится во взаимно однозначном соответствии с когомология группа ЧАС²(грамм, А).

Примеры центральных расширений можно построить, взяв любую группу грамм и любой абелева группа А, и установка E быть А × грамм. Этот вид расколоть пример соответствует элементу 0 в ЧАС²(грамм, А) при указанной выше переписке. Более серьезные примеры можно найти в теории проективные представления, в случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейное представление.

В случае конечных совершенных групп существует универсальное идеальное центральное расширение.

Аналогично центральное расширение Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это точная последовательность

{ displaystyle 0 rightarrow { mathfrak {a}} rightarrow { mathfrak {e}} rightarrow { mathfrak {g}} rightarrow 0}

такой, что ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ находится в центре ${ displaystyle { mathfrak {e}}}$ .

Существует общая теория центральных расширений в Мальцевские сорта см. статью Джанелидзе и Келли, указанную ниже.

Обобщение на общие расширения

Статья о расширениях групп и ${ displaystyle H ^ {3}}$ приведенная ниже, дает аналогичную классификацию всех расширений грамм к А в терминах гомоморфизмов из ${ displaystyle G to operatorname {Out} (A)}$ , утомительное, но явно проверяемое условие существования, включающее ${ Displaystyle Н ^ {3} (G, Z (A))}$ и группа когомологий ${ Displaystyle Н ^ {2} (G, Z (A))}$ .

Группы Ли

В Группа Ли теории центральные расширения возникают в связи с алгебраическая топология. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами такие же, как группы покрытия. Точнее, связаны покрывающее пространство $грамм *$ связной группы Ли $грамм$ естественно является центральным расширением $грамм$ , таким образом, чтобы проекция

{ displaystyle pi двоеточие G ^ {*} to G}

является групповым гомоморфизмом и сюръективным. (Структура группы на $грамм *$ зависит от выбора отображения элемента идентичности в идентичность в $грамм$ .) Например, когда $грамм *$ это универсальный чехол из $грамм$ , ядром π является фундаментальная группа из $грамм$ , которая, как известно, является абелевой (см. H-пространство ). Наоборот, для группы Ли $грамм$ и дискретная центральная подгруппа $Z$ , частное $грамм / Z$ группа Ли и $грамм$ это покрывающее его пространство.

В более общем плане, когда группы $А$ , $E$ и $грамм$ в центральном расширении являются группы Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, то если алгебра Ли $грамм$ является $грамм$ , что из $А$ является $а$ , и что из $E$ является $е$ , тогда $е$ это расширение центральной алгебры Ли из $грамм$ к $а$ . В терминологии теоретическая физика, генераторы $а$ называются центральные сборы. Эти генераторы находятся в центре $е$ ; к Теорема Нётер, генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым обвинения.

Основные примеры центральных расширений как групп покрытия:

то спиновые группы, которые дважды покрывают специальные ортогональные группы, которые (в четном измерении) дважды покрывают проективная ортогональная группа.
то метаплектические группы, которые дважды покрывают симплектические группы.

Случай $SL 2 (р)$ включает фундаментальную группу, которая бесконечный циклический. Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в модульная форма теория, в случае форм веса $½$ . Соответствующим проективным представлением является Представительство Вейля, построенный из преобразование Фурье, в данном случае на реальная линия. Метаплектические группы также встречаются в квантовая механика.

Расширение группы - Group extension

Содержание

Расширения в целом

Проблема с расширением

Классификация расширений

Предупреждение

Тривиальные расширения

Классификация раздельных расширений

Предупреждение

Центральное расширение

Обобщение на общие расширения

Группы Ли

Смотрите также

Рекомендации