Распределение на линейной алгебраической группе - Distribution on a linear algebraic group

В алгебраической геометрии, учитывая линейная алгебраическая группа грамм над полем k, а распределение на нем - линейный функционал ${ Displaystyle к [G] к к}$ удовлетворение некоторого условия поддержки. А свертка распределений снова является распределением и, таким образом, они образуют Алгебра Хопфа на грамм, обозначаемый Dist (грамм), содержащую алгебру Ли Lie (грамм) связано с грамм. Теорема Картье утверждает, что над полем нулевой характеристики Dist (грамм) изоморфна универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли грамм Таким образом, конструкция не дает новой информации. В случае положительной характеристики алгебру можно использовать вместо Соответствие группы Ли и алгебры Ли и его вариант для алгебраических групп в нулевой характеристике; например, этот подход, использованный в (Янцен 1987 ).

Строительство

Алгебра Ли линейной алгебраической группы

Позволять k - алгебраически замкнутое поле и грамм а линейная алгебраическая группа (то есть аффинной алгебраической группой) над k. По определению Ли (грамм) - алгебра Ли всех дифференцирований k[грамм], которые коммутируют с левым действием грамм. Как и в случае группы Ли, ее можно отождествить с касательным пространством к грамм в элементе идентичности.

Обертывающая алгебра

Существует следующая общая конструкция алгебры Хопфа. Позволять А - алгебра Хопфа. В конечный дуальный из А - пространство линейных функционалов на А с ядрами, содержащими левые идеалы конечной коразмерности. Конкретно его можно рассматривать как пространство матричных коэффициентов.

Присоединенная группа алгебры Ли

Распределения на алгебраической группе

Определение

Позволять Икс = Спецификация А быть аффинной схемой над полем k и разреши я_Икс быть ядром отображения ограничения ${ Displaystyle от А до К (х)}$ , поле вычетов Икс. По определению распределение ж поддерживается в Икс'' это k-линейный функционал на А такой, что ${ displaystyle f (I_ {x} ^ {n}) = 0}$ для некоторых п. (Примечание: определение остается в силе, если k - произвольное кольцо.)

Сейчас если грамм является алгебраической группой над k, пусть Dist (грамм) - множество всех распределений на грамм поддерживается в элементе идентификации (часто просто называется дистрибутивами грамм). Если ж, грамм находятся в нем, мы определяем продукт ж и грамм, понижен в должности ж * грамм, как линейный функционал

{ displaystyle k [G] { overset { Delta} { to}} k [G] otimes k [G] { overset {f otimes g} { to}} k otimes k = k}

где Δ - коумножение то есть гомоморфизм, индуцированный умножением ${ displaystyle G times G to G}$ . Умножение оказывается ассоциативным (используйте ${ displaystyle 1 otimes Delta circ Delta = Delta otimes 1 circ Delta}$ ) и, таким образом, Dist (грамм) является ассоциативной алгеброй, так как множество замкнуто относительно дублирования по формуле:

(*)

{ displaystyle Delta (I_ {1} ^ {n}) subset sum _ {r = 0} ^ {n} I_ {1} ^ {r} иногда I_ {1} ^ {n-r}.}

Это также единица с единицей, которая является линейным функционалом ${ Displaystyle к [г] к к фи mapsto фи (1)}$ , то Дельта-мера Дирака.

Алгебра Ли Lie (грамм) находится внутри Dist (грамм). Действительно, по определению Ли (грамм) - касательное пространство к грамм у элемента идентичности 1; т. е. двойственное пространство ${ displaystyle I_ {1} / I_ {1} ^ {2}}$ . Таким образом, касательный вектор представляет собой линейный функционал на я₁ который не имеет постоянного члена и убивает квадрат я₁ а из формулы (*) следует ${ Displaystyle [е, г] = е * г-г * е}$ по-прежнему является касательным вектором.

Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ быть алгеброй Ли грамм. Тогда по универсальному свойству включение ${ Displaystyle { mathfrak {g}} hookrightarrow operatorname {Dist} (G)}$ индуцирует гомоморфизм алгебр:

{ displaystyle U ({ mathfrak {g}}) to operatorname {Dist} (G).}

Когда базовое поле k имеет нулевую характеристику, этот гомоморфизм является изоморфизмом.^[1]

Примеры

Аддитивная группа

Позволять ${ Displaystyle G = mathbb {G} _ {а}}$ быть аддитивной группой; т.е. грамм(р) = р для любого k-алгебра р. Как разновидность грамм - аффинная линия; т.е. координатное кольцо k[т] и я^п
₀ = (т^п).

Мультипликативная группа

Позволять ${ Displaystyle G = mathbb {G} _ {m}}$ - мультипликативная группа; т.е. грамм(р) = р^* для любого k-алгебра р. Координатное кольцо грамм является k[т, т⁻¹] (поскольку грамм действительно GL₁(k).)

Переписка

Для любых замкнутых подгрупп ЧАС, 'K из грамм, если k идеально и ЧАС неприводимо, то

{ displaystyle H subset K Leftrightarrow operatorname {Dist} (H) subset operatorname {Dist} (K).}

Если V это грамм-модуль (то есть представление грамм), то он допускает естественную структуру Dist (грамм) -модуль, который, в свою очередь, дает структуру модуля над ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .
Любое действие грамм на аффинное алгебраическое многообразие Икс индуцирует представление грамм на координатном кольце k[грамм]. В частности, действие сопряжения грамм вызывает действие грамм на k[грамм]. Можно показать я^п
₁ стабилен под грамм и поэтому грамм действует на (k[грамм]/я^п
₁)^* и откуда на его объединении Dist (грамм). Результирующее действие называется сопряженное действие из грамм.

Случай конечных алгебраических групп

Позволять грамм - алгебраическая группа, "конечная" как групповая схема; например, любой конечная группа можно рассматривать как конечную алгебраическую группу. Существует эквивалентность категорий между категорией конечных алгебраических групп и категорией конечномерных кокоммутативных алгебр Хопфа, заданной отображением грамм к k[грамм]^*, двойственное к координатному кольцу грамм. Обратите внимание, что Dist (грамм) является (хопфовой) подалгеброй в k[грамм]^*.

Связь с соответствием группа Ли – алгебра Ли

Примечания

^ Jantzen, Часть I, § 7.10.

дальнейшее чтение

Линейные алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниел Миллер, осень 2014 г.

[1] Jantzen, Часть I, § 7.10.

[1]