Проективное пространство - Projective space

В графическая перспектива, параллельные прямые на плоскости пересекаются точка схода на горизонт.

В математика, концепция проективное пространство возникла из визуального эффекта перспектива, где кажется, что параллельные линии встречаются в бесконечности. Таким образом, проективное пространство можно рассматривать как расширение Евклидово пространство, или, в более общем смысле, аффинное пространство с указывает на бесконечность, таким образом, что каждая точка на бесконечности направление из параллельные линии.

Недостаток этого определения проективного пространства состоит в том, что изотропный, имеющий два разных типа точек, которые должны рассматриваться отдельно в доказательствах. Поэтому обычно предпочтительны другие определения. Есть два класса определений. В синтетическая геометрия, точка и линии являются примитивными объектами, которые связаны отношением инцидентности «точка находится на линии» или «линия проходит через точку», которое подлежит аксиомы проективной геометрии. Для некоторого такого набора аксиом было показано, что определенные проективные пространства эквивалентны тем, которые вытекают из следующего определения, которое чаще встречается в современных учебниках.

С помощью линейная алгебра, проективное пространство размерности $п$ определяется как набор векторные линии (то есть векторные подпространства размерности один) в векторное пространство $V$ измерения $п + 1$ . Эквивалентно, это набор частных из $V \ {0}$ посредством отношение эквивалентности «находиться на одной векторной линии». Поскольку векторная линия пересекает единичная сфера из $V$ в двоем противоположные точки, проективные пространства можно эквивалентно определить как сферы, в которых отождествляются антиподальные точки. Проективное пространство размерности 1 - это проективная линия, а проективное пространство размерности 2 является проективная плоскость.

Проективные пространства широко используются в геометрия, как допускающие более простые утверждения и более простые доказательства. Например, в аффинная геометрия две различные прямые на плоскости пересекаются не более чем в одной точке, а в проективная геометрия, они пересекаются ровно в одной точке. Кроме того, существует только один класс конические секции, которые можно отличить только по их пересечению с бесконечно удаленной прямой: две точки пересечения для гиперболы; один для парабола, касающаяся бесконечно удаленной прямой; и нет реальной точки пересечения эллипсы.

В топология, а точнее в теория многообразий, проективные пространства играют фундаментальную роль, являясь типичными примерами неориентируемые многообразия.

Мотивация

Проективная плоскость и центральная проекция

Как отмечалось выше, проективные пространства были введены для формализации утверждений типа «два копланарные линии пересекаются ровно в одной точке, и эта точка находится на бесконечности, если прямые параллельно. "Такие утверждения подсказаны исследованием перспектива, который можно рассматривать как центральная проекция из трехмерное пространство на самолет (видеть Модель камеры-обскуры ). Точнее, входной зрачок камеры или глаза наблюдателя - это центр проекции, а изображение формируется на плоскость проекции.

Математически центр проекции - это точка $О$ пространства (пересечение осей на рисунке); плоскость проекции ( $п 2$ , на рисунке синим цветом) - это самолет, не проходящий через $О$ , которая часто выбирается как плоскость уравнения $z = 1$ , когда Декартовы координаты считаются. Тогда центральная проекция отображает точку $п$ до пересечения линии $OP$ с плоскостью проекции. Такое пересечение существует тогда и только тогда, когда точка $п$ не принадлежит плоскости ( $п 1$ , зеленым на рисунке), который проходит через $О$ и параллельно $п 2$ .

Отсюда следует, что линии, проходящие через $О$ разделить на два непересекающихся подмножества: строки, не содержащиеся в $п 1$ , находящиеся во взаимно однозначном соответствии с точками $п 2$ , и содержащиеся в $п 1$ , которые находятся во взаимно однозначном соответствии с направлениями параллельных прямых в $п 2$ . Это предлагает определить точки (называется здесь проективные точки для наглядности) проективной плоскости как прямые, проходящие через $О$ . А проективная линия в этой плоскости состоит из всех проективных точек (которые являются прямыми), содержащихся в плоскости, проходящей через $О$ . Как пересечение двух плоскостей, проходящих через $О$ это линия, проходящая через $О$ , пересечение двух различных проективных прямых состоит из одной проективной точки. Самолет $п 1$ определяет проективную линию, которая называется линия на бесконечности из $п 2$ . Идентифицируя каждую точку $п 2$ с соответствующей проективной точкой, можно, таким образом, сказать, что проективная плоскость является несвязный союз из $п 2$ и (проективная) прямая на бесконечности.

Как аффинное пространство с выдающейся точкой $О$ может быть идентифицирован с его ассоциированным векторное пространство (видеть Аффинное пространство § Векторные пространства как аффинные пространства ), предыдущая конструкция обычно выполняется, начиная с векторного пространства и называется проективизация. Кроме того, построение можно выполнить, начав с векторного пространства любой положительной размерности.

Итак, проективное пространство размерности $п$ можно определить как набор векторные линии (векторные подпространства размерности один) в векторном пространстве размерности $п + 1$ . Проективное пространство также можно определить как элементы любого множества, которое находится в естественном соответствии с этим набором векторных линий.

Этот набор может быть набором классы эквивалентности при отношении эквивалентности между векторами, определяемыми формулой «один вектор является произведением другого на ненулевой скаляр». Другими словами, это означает определение проективного пространства как набора векторных линий, в которых был удален нулевой вектор.

Третье эквивалентное определение - определить проективное пространство размерности $п$ как набор пар противоположные точки в сфере измерения $п$ (в пространстве измерения $п + 1$ ).

Определение

Учитывая векторное пространство $V$ через поле $K$ , то проективное пространство $п (V)$ это набор классы эквивалентности из $V \{0}$ при отношении эквивалентности $~$ определяется $Икс ~ у$ если есть ненулевой элемент $λ$ из $K$ такой, что $Икс = λy$ . Если $V$ это топологическое векторное пространство, фактор-пространство $п (V)$ это топологическое пространство, наделенный факторная топология. Это тот случай, когда $K$ это поле ${ Displaystyle mathbb {R}}$ из действительные числа или поле ${ Displaystyle mathbb {C}}$ из сложные числа. Если $V$ конечномерно, измерение из $п (V)$ это размер $V$ минус один.

В общем случае, когда $V = K п +1$ , проективное пространство $п (V)$ обозначается $п п (K)$ (а также $K п п$ или же $п п (K)$ , хотя это обозначение можно спутать с возведением в степень). Космос $п п (K)$ часто называют в проективное пространство измерения $п$ над $K$ , или же проективный $п$ -Космос, поскольку все проективные пространства размерности $п$ находятся изоморфный к нему (потому что каждый $K$ векторное пространство размерности $п + 1$ изоморфен $K п +1$ .

Элементы проективного пространства $п (V)$ обычно называют точки. Если основа из $V$ был выбран, и, в частности, если $V = K п +1$ , то проективные координаты точки п - координаты на основе любого элемента соответствующего класса эквивалентности. Эти координаты обычно обозначают $[Икс 0 : ... : Икс п]$ , двоеточия и скобки, используемые для отличия от обычных координат, и подчеркивая, что это класс эквивалентности, который определяется вплоть до умножение на ненулевую константу. То есть, если $[Икс 0 : ... : Икс п]$ - проективные координаты точки, то $[λx 0 : ... : λx п]$ также являются проективными координатами одной и той же точки для любого ненулевого $λ$ в $K$ . Также из приведенного выше определения следует, что $[Икс 0 : ... : Икс п]$ являются проективными координатами точки тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат отлична от нуля.

Если $K$ поле действительных или комплексных чисел, проективное пространство называется реальное проективное пространство или сложное проективное пространство, соответственно. Если $п$ один или два, проективное пространство размерности $п$ называется проективная линия или проективная плоскость, соответственно. Комплексную проективную прямую также называют Сфера Римана.

Все эти определения естественным образом переносятся на случай, когда $K$ это делительное кольцо; см., например, Кватернионное проективное пространство. Обозначение $PG (п, K)$ иногда используется для $п п (K)$ .^[1] Если $K$ это конечное поле с $q$ элементы $п п (K)$ часто обозначается $PG (п, q)$ (видеть PG (3,2) ).^[2]

Связанные понятия

Подпространство

Позволять $п (V)$ - проективное пространство, где $V$ векторное пространство над полем $K$ , и

{ Displaystyle p: V to mathbf {P} (V)}

быть каноническая карта который отображает ненулевой вектор в его класс эквивалентности, который является векторная линия содержащий $п$ с удаленным нулевым вектором.

Каждый линейное подпространство $W$ из $V$ представляет собой объединение линий. Следует, что $п (W)$ - проективное пространство, которое можно отождествить с $п (W)$ .

А проективное подпространство таким образом, является проективным пространством, которое получается ограничением линейного подпространства отношения эквивалентности, которое определяет $п (V)$ .

Если $п (v)$ и $п (ш)$ две разные точки $п (V)$ , векторы $v$ и $ш$ находятся линейно независимый. Следует, что:

Есть ровно одна проективная линия, которая проходит через две разные точки

п (V)

и

Подмножество

п (V)

является проективным подпространством тогда и только тогда, когда для любых двух различных точек оно содержит всю проективную прямую, проходящую через эти точки.

В синтетическая геометрия, где проективные линии - примитивные объекты, первое свойство - аксиома, а второе - определение проективного подпространства.

Охватывать

Каждый пересечение проективных подпространств является проективным подпространством. Отсюда следует, что для каждого подмножества $S$ проективного пространства существует наименьшее проективное подпространство, содержащее $S$ , пересечение всех проективных подпространств, содержащих $S$ . Это проективное подпространство называется проективный диапазон из $S$ , и $S$ - это набор для него.

Множество $S$ очков проективно независимый если его промежуток не является промежутком какого-либо собственного подмножества $S$ . Если $S$ остовное множество проективного пространства $п$ , то существует подмножество $S$ что охватывает $п$ и проективно независим (это следует из аналогичной теоремы для векторных пространств). Если размер $п$ является $п$ , такое независимое остовное множество имеет $п + 1$ элементы.

В отличие от случаев векторные пространства и аффинные пространства, независимого остовного набора недостаточно для определения координат. Нужен еще один момент, см. Следующий раздел.

Рамка

А проекционная рамка - упорядоченный набор точек в проективном пространстве, позволяющий определять координаты. Точнее, в $п$ -мерное проективное пространство, проективный репер - это набор $п + 2$ точки такие, что любой $п + 1$ из них независимы, то есть не содержатся в гиперплоскости.

Если $V$ это $(п + 1)$ -мерное векторное пространство, и $п$ это каноническая проекция из $V$ к $п (V)$ , тогда ${ Displaystyle (п (е_ {0}), точки, p (е_ {п + 1}))}$ является проективным фреймом тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle (е_ {0}, точки, е_ {п})}$ является основой $V$ , а коэффициенты при ${ displaystyle e_ {n + 1}}$ на этом основании все ненулевые. Изменив масштаб первого $п$ векторов, любой кадр можно переписать как ${ Displaystyle (п (е '_ {0}), точки, р (е' _ {п + 1}))}$ такой, что ${ displaystyle e '_ {n + 1} = e' _ {0} + dots + e '_ {n};}$ это представление уникально с точностью до умножения всех ${ displaystyle e '_ {я}}$ с общим ненулевым множителем.

В проективные координаты или же однородные координаты точки $п (v)$ на раме ${ Displaystyle (п (е_ {0}), точки, p (е_ {п + 1}))}$ с ${ Displaystyle е_ {п + 1} = е_ {0} + точки + е_ {п}}$ координаты $v$ на основании ${ displaystyle (e_ {0}, dots, e_ {n}).}$ Они снова определены только с точностью до масштабирования с общим ненулевым коэффициентом.

В каноническая рамка проективного пространства $п п (K)$ состоит из изображений $п$ элементов канонической основы $K п + 1$ (в кортежи только с одной ненулевой записью, равной 1), а изображение - $п$ от их суммы.

Проективное преобразование

Топология

Проективное пространство - это топологическое пространство, как наделенный факторная топология топологии конечномерного вещественного векторного пространства.

Позволять $S$ быть единичная сфера в нормированном векторном пространстве $V$ , и рассмотрим функцию

{ Displaystyle pi: S to mathbf {P} (V)}

который отображает точку $S$ к проходящей через него векторной прямой. Эта функция непрерывна и сюръективна. Прообраз каждой точки $п (V)$ состоит из двух противоположные точки. Поскольку сферы компактные пространства, следует, что:

(Конечномерное) проективное пространство компактно.

За каждую точку $п$ из $S$ , ограничение $π$ в район $п$ это гомеоморфизм на его изображение, при условии, что окрестность достаточно мала, чтобы не содержать ни одной пары антиподальных точек. Это показывает, что проективное пространство является многообразием. Простой атлас может быть предоставлено следующим образом.

Как только будет выбрана основа для $V$ , любой вектор можно отождествить с его координатами на основании, а любую точку $п (V)$ можно отождествить с его однородные координаты. За $я = 0, ..., п$ , набор

{ Displaystyle U_ {я} = {[x_ {0}: cdots: x_ {n}], x_ {i} neq 0 }}

открытое подмножество $п (V)$ , и

{ displaystyle mathbf {P} (V) = bigcup _ {i = 0} ^ {n} U_ {i}}

поскольку каждая точка $п (V)$ имеет хотя бы одну ненулевую координату.

Для каждого $U я$ связан с Диаграмма, какой гомеоморфизмы

{ displaystyle { begin {align} mathbb { varphi} _ {i}: R ^ {n} & to U_ {i} (y_ {0}, dots, { widehat {y_ {i) }}}, dots y_ {n}) & mapsto [y_ {0}: cdots: y_ {i-1}: 1: y_ {i + 1}: cdots: y_ {n}], end {выровнено}}}

такой, что

{ displaystyle varphi _ {i} ^ {- 1} left ([x_ {0}: cdots x_ {n}] right) = left ({ frac {x_ {0}} {x_ {i }}}, dots, { widehat { frac {x_ {i}} {x_ {i}}}}, dots, { frac {x_ {n}} {x_ {i}}} right) ,}

где шляпы означает, что соответствующий термин отсутствует.

Структура многообразия реальной проективной прямой

Эти диаграммы образуют атлас, и, как карты переходов находятся аналитические функции, это приводит к тому, что проективные пространства аналитические многообразия.

Например, в случае $п = 1$ , то есть проективной прямой, всего два $U я$ , каждый из которых может быть идентифицирован с копией реальная линия. В обеих строках пересечение двух диаграмм - это набор ненулевых действительных чисел, а карта перехода -

{ displaystyle x mapsto { frac {1} {x}}}

в обоих направлениях. Изображение представляет проективную прямую в виде круга, в котором определены противоположные точки, и показывает два гомеоморфизма действительной прямой к проективной прямой; по мере того, как идентифицируются противоположные точки, изображение каждой линии представляется в виде открытого полукруга, который может быть идентифицирован с проективной линией с удаленной единственной точкой.

CW сложная структура

Реальные проективные пространства имеют простой CW комплекс структура, как $п п (р)$ можно получить из $п п - 1 (р)$ прикрепив $п$ -ячейка с частной проекцией $S п -1 \to п п -1 (р)$ как прилагаемую карту.

Алгебраическая геометрия

Первоначально алгебраическая геометрия было изучение общих нулей наборов многомерные полиномы. Эти общие нули, называемые алгебраические многообразия принадлежат к аффинное пространство. Вскоре выяснилось, что в случае действительных коэффициентов необходимо учитывать все комплексные нули для получения точных результатов. Например, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен без квадратов степени $п$ точно $п$ сложные корни. В многомерном случае учет комплексных нулей также необходим, но недостаточен: необходимо также учитывать нули на бесконечности. Например, Теорема Безу утверждает, что пересечение двух плоскостей алгебраические кривые соответствующих степеней $d$ и $е$ состоит ровно из $де$ точек, если рассматривать комплексные точки на проективной плоскости и считать точки с их кратностью.^[3] Другой пример - формула род – степень что позволяет вычислить род самолета алгебраическая кривая сформировать его особенности в комплексная проективная плоскость.

Так что проективное разнообразие - множество точек проективного пространства, однородные координаты общие нули набора однородные многочлены.^[4]

Любое аффинное разнообразие может быть завершенныйуникальным образом в проективное многообразие, добавляя его указывает на бесконечность, который состоит из гомогенизация определяющие полиномы и удаляя компоненты, которые содержатся в гиперплоскости на бесконечности, путем насыщающий относительно гомогенизирующей переменной.

Важным свойством проективных пространств и проективных многообразий является то, что образ проективного многообразия при морфизм алгебраических многообразий закрыт для Топология Зарисского (то есть это алгебраический набор ). Это обобщение на каждое основное поле компактности действительного и комплексного проективного пространства.

Проективное пространство само есть проективное многообразие, будучи множеством нулей нулевого многочлена.

Теория схем

Теория схем, представлен Александр Гротендик во второй половине 20-го века, позволяет определить обобщение алгебраических многообразий, называемое схемы, путем склеивания более мелких частей, называемых аффинные схемы, аналогично коллекторы могут быть построены путем склеивания открытых наборов ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ В Строительство проекта есть построение схемы проективного пространства и, в более общем смысле, любого проективного многообразия путем склеивания аффинных схем. В случае проективных пространств в качестве этих аффинных схем можно взять аффинные схемы, ассоциированные с картами (аффинными пространствами) вышеупомянутого описания проективного пространства как многообразия.

Синтетическая геометрия

В синтетическая геометрия, а проективное пространство S аксиоматически можно определить как множество п (набор точек) вместе с набором L подмножеств п (набор линий), удовлетворяющих этим аксиомам:^[5]

Каждые две разные точки п и q находятся ровно в одной строке.
Веблен аксиома:^[6] Если а, б, c, d - разные точки, а линии, проходящие через ab и CD встретиться, а затем и линии ac и bd.
На любой линии должно быть не менее 3 точек.

Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые можно записать как несвязное объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно его можно определить как структура заболеваемости (п, L, я) состоящий из набора п точек, набор L линий и отношение инцидентности я это указывает, какие точки лежат на каких линиях.

Структуры, определяемые этими аксиомами, являются более общими, чем структуры, полученные из конструкции векторного пространства, приведенной выше. Если (проективная) размерность не меньше трех, то по Теорема Веблена – Юнга., нет никакой разницы. Однако для размерности два есть примеры, которые удовлетворяют этим аксиомам, которые не могут быть построены из векторных пространств (или даже модулей над телами). Эти примеры не удовлетворяют Теорема Дезарга и известны как Недезарговские самолеты. В размерности один любой набор по крайней мере из трех элементов удовлетворяет аксиомам, поэтому обычно предполагается дополнительная структура для проективных линий, определенных аксиоматически.^[7]

Можно избежать проблемных случаев в малых измерениях, добавив или изменив аксиомы, которые определяют проективное пространство. Кокстер (1969), п. 231) дает такое расширение благодаря Бахману.^[8] Чтобы гарантировать, что размерность не меньше двух, замените аксиому «три точки на линию» выше на;

Всего существует четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Чтобы избежать недезарговских планов, включите Теорема Паппа как аксиома;^[9]

Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон коллинеарны.

И, чтобы гарантировать, что векторное пространство определено над полем, которое не имеет даже характеристика включают Аксиома Фано;^[10]

Три диагональные точки полный четырехугольник никогда не коллинеарны.

А подпространство проективного пространства является подмножеством Икс, такая, что любая линия, содержащая две точки Икс это подмножество Икс (то есть полностью содержится в Икс). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

Говорят, что геометрическая размерность пространства равна п если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств этой формы:

{ displaystyle varnothing = X _ {- 1} subset X_ {0} subset cdots X_ {n} = P.}

Подпространство ${ displaystyle X_ {i}}$ в такой цепи называется имеющей (геометрическую) размерность ${ displaystyle i}$ . Подпространства размерности 0 называются точки, размерности 1 называются линии и так далее. Если все пространство имеет размер ${ displaystyle n}$ то любое подпространство размерности ${ displaystyle n-1}$ называется гиперплоскость.

Классификация

Размер 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку.
Размер 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной линии.
Размер 2: есть как минимум 2 линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство для п = 2 эквивалентно проективная плоскость. Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все они изоморфны PG (d, K). В Дезарговские самолеты (те, которые изоморфны PG (2, K)) удовлетворить Теорема дезарга и являются проективными плоскостями над телом, но их много недезарговские планы.
Размер не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Веблен и Янг (1965) доказал Теорема Веблена – Юнга. что каждое проективное пространство размерности п ≥ 3 изоморфен PG (п, K), то п-мерное проективное пространство над некоторым делительное кольцо K.

Конечные проективные пространства и плоскости

В Самолет Фано

А конечное проективное пространство - проективное пространство, где п - конечный набор точек. В любом конечном проективном пространстве каждая линия содержит одинаковое количество точек и порядок пространства определяется как на единицу меньше этого общего числа. Для конечных проективных пространств размерности не менее трех Теорема Веддерберна следует, что тело, над которым определено проективное пространство, должно быть конечное поле, GF (q), чей порядок (то есть количество элементов) равен q (основная сила). Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точки на линии, поэтому два понятия порядка совпадают. Условно, PG (п, GF (q)) обычно пишется как PG (п, q).

Все конечные поля одного порядка изоморфны, поэтому, с точностью до изоморфизма, существует только одно конечное проективное пространство для каждого измерения, большего или равного трем, над данным конечным полем. Однако во втором измерении есть недезарговские плоскости. С точностью до изоморфизма есть

1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0,… (последовательность A001231 в OEIS )

конечные проективные плоскости порядков 2, 3, 4, ..., 10 соответственно. Числа сверх этого очень трудно вычислить и не определяются, за исключением некоторых нулевых значений из-за Теорема Брука – Райзера..

Наименьшая проективная плоскость - это Самолет Фано, PG (2, 2) с 7 точками и 7 линиями. Наименьшее 3-мерное проективное пространство - это PG (3,2), с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями.

Морфизмы

Инъекционный линейные карты Т ∈ L(V, W) между двумя векторными пространствами V и W над тем же полем k индуцируют отображения соответствующих проективных пространств п(V) → п(W) через:

[v] → [Т(v)],

куда v является ненулевым элементом V и [...] обозначает классы эквивалентности вектора при определяющей идентификации соответствующих проективных пространств. Поскольку члены класса эквивалентности отличаются скалярным множителем, а линейные отображения сохраняют скалярные множители, это индуцированное отображение четко определенный. (Если Т не является инъективным, он имеет пустое пространство больше {0}; в этом случае значение класса Т(v) проблематично, если v не равно нулю и находится в нулевом пространстве. В этом случае получается так называемый рациональная карта, смотрите также бирациональная геометрия ).

Две линейные карты S и Т в L(V, W) вызвать ту же карту между п(V) и п(W) если и только если они отличаются скалярным кратным, то есть если Т = λS для некоторых λ ≠ 0. Таким образом, если определить скалярные кратные карта идентичности с нижележащим полем K, набор K-линейный морфизмы из п(V) к п(W) просто п(L(V, W)).

В автоморфизмы п(V) → п(V) можно описать более конкретно. (Мы имеем дело только с автоморфизмами, сохраняющими базовое поле K). Используя понятие пучки, порожденные глобальными секциями, можно показать, что любой алгебраический (не обязательно линейный) автоморфизм должен быть линейным, т.е. происходящим из (линейного) автоморфизма векторного пространства V. Последние образуют группа GL (V). Выявив карты, которые отличаются скаляром, можно сделать вывод, что

Aut (п(V)) = Aut (V)/K^× = GL (V)/K^× =: PGL (V),

в факторгруппа GL (V) по модулю матриц, скалярных кратных единице. (Эти матрицы образуют центр Aut (V). Группы PGL называются проективные линейные группы. Автоморфизмы комплексной проективной прямой п¹(C) называются Преобразования Мебиуса.

Двойное проективное пространство

Когда приведенная выше конструкция применяется к двойное пространство V^∗ скорее, чем V, получаем двойственное проективное пространство, которое можно канонически отождествить с пространством гиперплоскостей через начало координат V. То есть, если V является п размерный, то п(V^∗) это Грассманиан из п − 1 самолеты в V.

В алгебраической геометрии эта конструкция допускает большую гибкость построения проективных расслоений. Хотелось бы связать проективное пространство с каждый квазикогерентный пучок E по схеме Yа не только местные бесплатные.^{[требуется разъяснение ]} Видеть EGA_II, Гл. II, п. 4 для более подробной информации.

Обобщения

измерение: Проективное пространство, являющееся «пространством» всех одномерных линейных подпространств данного векторного пространства. V обобщается на Грассманово многообразие, который параметризует многомерные подпространства (некоторой фиксированной размерности) V.
последовательность подпространств: В более общем смысле многообразие флагов - пространство флагов, т. е. цепочки линейных подпространств V.
другие подмножества: Даже в более общем плане пространства модулей параметризовать такие объекты, как эллиптические кривые определенного вида.
другие кольца: Обобщение на ассоциативный кольца (а не только поля) дает, например, проективная прямая над кольцом.
исправление: Соединение проективных пространств вместе дает пучки проективных пространств.

Разновидности Севери – Брауэра находятся алгебраические многообразия над полем k, которые становятся изоморфными проективным пространствам после расширения базового поля k.

Другое обобщение проективных пространств: весовые проективные пространства; это частные случаи торические многообразия.^[11]

Смотрите также

Обобщения

Проективная геометрия

Связанный

Геометрическая алгебра

Примечания

^ Мауро Билиотти, Викрам Джа, Норман Л. Джонсон (2001) Основы плоскостей трансляции, п. 506, г. Марсель Деккер ISBN 0-8247-0609-9
^ Отсутствие пробела после запятой является обычным явлением для этой записи.
^ Правильное определение множественности непростое и датируется только серединой 20 века..
^ Однородность требуется для того, чтобы нуль оставался нулем, когда однородные координаты умножаются на ненулевой скаляр..
^ Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7
^ также называется Аксиома Веблена – Юнга и ошибочно как аксиома Паша (Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7). Паша интересовало реальное проективное пространство и он пытался ввести порядок, который не касается аксиомы Веблена – Юнга.
^ Баер 2005, п. 71
^ Бахманн, Ф. (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaftern, 96, Berlin: Springer, стр. 76–77.
^ Поскольку из теоремы Паппа следует теорема Дезарга, это устраняет недезарговы плоскости, а также означает, что пространство определено над полем (а не телом).
^ Это ограничение позволяет использовать действительные и комплексные поля (нулевая характеристика), но удаляет Самолет Фано и другие самолеты с нетипичным поведением.
^ Мукаи 2003, например 3.72

внешняя ссылка

[1] Мауро Билиотти, Викрам Джа, Норман Л. Джонсон (2001) Основы плоскостей трансляции, п. 506, г. Марсель Деккер ISBN 0-8247-0609-9

[2] Отсутствие пробела после запятой является обычным явлением для этой записи.

[FOOTNOTEThe_correct_definition_of_the_multiplicity_if_not_easy_and_dates_only_from_the_middle_of_20th_century-3] Правильное определение множественности непростое и датируется только серединой 20 века..

[FOOTNOTEHomogeneous_required_in_order_that_a_zero_remains_a_zero_when_the_homogeneous_coordinates_are_multiplied_by_a_nonzero_scalar.-4] Однородность требуется для того, чтобы нуль оставался нулем, когда однородные координаты умножаются на ненулевой скаляр..

[5] Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7

[6] также называется Аксиома Веблена – Юнга и ошибочно как аксиома Паша (Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7). Паша интересовало реальное проективное пространство и он пытался ввести порядок, который не касается аксиомы Веблена – Юнга.

[7] Баер 2005, п. 71

[8] Бахманн, Ф. (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaftern, 96, Berlin: Springer, стр. 76–77.

[9] Поскольку из теоремы Паппа следует теорема Дезарга, это устраняет недезарговы плоскости, а также означает, что пространство определено над полем (а не телом).

[10] Это ограничение позволяет использовать действительные и комплексные поля (нулевая характеристика), но удаляет Самолет Фано и другие самолеты с нетипичным поведением.

[11] Мукаи 2003, например 3.72

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Измерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 п-размеры Отрицательные размеры
Категория

Проективное пространство - Projective space

Содержание

Мотивация

Определение

Связанные понятия

Подпространство

Охватывать

Рамка

Проективное преобразование

Топология

CW сложная структура

Алгебраическая геометрия

Теория схем

Синтетическая геометрия

Классификация

Конечные проективные пространства и плоскости

Морфизмы

Двойное проективное пространство

Обобщения

Смотрите также

Обобщения

Проективная геометрия

Связанный

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка