Рациональная точка - Rational point - Wikipedia

В теория чисел и алгебраическая геометрия, а рациональная точка из алгебраическое многообразие это точка, координаты которой принадлежат заданному поле. Если поле не упомянуто, поле рациональное число в целом понятно. Если поле является полем действительные числа, рациональную точку чаще называют реальная точка.

Понимание рациональных точек - центральная цель теории чисел и Диофантова геометрия. Например, Последняя теорема Ферма можно переформулировать как: для $п > 2$ , то Кривая Ферма уравнения ${ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = 1}$ не имеет другой рациональной точки, кроме $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , и если $п$ даже, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$ .

Определение

Учитывая поле k, и алгебраически замкнутое расширение K из k, аффинное разнообразие Икс над k это набор общих нули в ${ displaystyle K ^ {n}}$ набора многочленов с коэффициентами в k:

{ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0, ldots, f_ {r} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = 0.}

Эти общие нули называются точки из Икс.

А k-рациональная точка (или же k-точка) из Икс это точка Икс это принадлежит k^п, то есть последовательность (а₁,...,а_п) из п элементы k такой, что ж_j (а₁,...,а_п) = 0 для всех j. Набор k-рациональные точки Икс часто обозначается Икс(k).

Иногда, когда поле k понимается, или когда k это поле Q из рациональное число, говорят "рациональная точка" вместо "k-рациональная точка ».

Например, рациональные точки единичный круг уравнения

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

пары рациональных чисел

{ displaystyle left ({ frac {a} {c}}, { frac {b} {c}} right),}

куда ${ Displaystyle (а, б, в)}$ это Пифагорейская тройка.

Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. А проективное разнообразие Икс в проективное пространство п^п над полем k может быть определен набором однородный многочлен уравнения в переменных Икс₀,...,Икс_п. А k-точка п^п, написано [а₀,...,а_п], задается последовательностью п+1 элементы k, не все равны нулю, при том понимании, что умножение всех а₀,...а_п тем же ненулевым элементом k дает ту же точку в проективном пространстве. Затем k-точка Икс означает k-точка п^п при котором данные многочлены обращаются в нуль.

В общем, пусть Икс быть схема над полем k. Это означает, что морфизм схем ж: Икс → Спецификация (k) дано. Затем k-точка Икс означает раздел этого морфизма, то есть морфизма а: Spec (k) → Икс так что композиция фа тождество на Spec (k). Это согласуется с предыдущими определениями, когда Икс является аффинным или проективным многообразием (рассматривается как схема над k).

Когда Икс это разнообразие алгебраически замкнутое поле k, большая часть структуры Икс определяется своим набором Икс(k) из k-рациональные точки. Для общего поля k, тем не мение, Икс(k) дает лишь частичную информацию о Икс. В частности, для различных Икс над полем k и любой расширение поля E из k, Икс также определяет набор Икс(E) из E-рациональные точки из Икс, имея в виду множество решений уравнений, определяющих Икс со значениями в E.

Пример: пусть Икс быть конический изгиб Икс² + у² = −1 в аффинной плоскости А² над действительные числа р. Тогда набор реальных точек Икс(р) пусто, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие Икс над р не пусто, потому что набор сложный точки Икс(C) не пусто.

В более общем плане для схемы Икс через коммутативное кольцо р и любые коммутативные р-алгебра S, набор Икс(S) из S-точки Икс означает набор морфизмов Spec (S) → Икс над Spec (р). Схема Икс определяется с точностью до изоморфизма функтор S ↦ Икс(S); это философия отождествления схемы с ее функтор точек. Другая формулировка состоит в том, что схема Икс над р определяет схему Икс_S над S к изменение базы, а S-точки Икс (над р) можно отождествить с S-точки Икс_S (над S).

Теория Диофантовы уравнения традиционно означало изучение интегральные точки, имея в виду решения полиномиальных уравнений в целые числа Z а не рациональные Q. Для однородных полиномиальных уравнений, таких как Икс³ + у³ = z³, эти две проблемы по существу эквивалентны, поскольку каждая рациональная точка может быть масштабирована, чтобы стать целой точкой.

Рациональные точки на кривых

Теорию чисел по большей части можно рассматривать как изучение рациональных точек алгебраических многообразий. гладкий проективные многообразия. Для гладкого проективного кривые, поведение рациональных точек сильно зависит от род кривой.

Род 0

Каждая гладкая проективная кривая Икс нулевого рода над полем k изоморфна конической (степени 2) кривой в п². Если Икс имеет k-рациональная точка, то она изоморфна п¹ над k, и поэтому его k-рациональные моменты полностью поняты.^[1] Если k это поле Q рациональных чисел (или, в более общем смысле, числовое поле ), существует алгоритм чтобы определить, есть ли у данной коники рациональная точка, на основе Принцип Хассе: конус над Q имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда она имеет точку над всеми пополнениями Q, то есть более р и все п-адические поля Q_п.

Род 1

Труднее определить, есть ли у кривой рода 1 рациональная точка. В этом случае принцип Хассе не работает: например, по Эрнст Зельмер, кубическая кривая 3Икс³ + 4у³ + 5z³ = 0 дюйм п² имеет точку над всеми завершениями Q, но рационального смысла нет.^[2] Несостоятельность принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется Группа Тейт-Шафаревич.

Если Икс кривая рода 1 с k-рациональная точка п₀, тогда Икс называется эллиптическая кривая над k. В этом случае, Икс имеет структуру коммутативной алгебраическая группа (с п₀ как нулевой элемент), поэтому множество Икс(k) из k-рациональные точки - это абелева группа. В Теорема Морделла – Вейля. говорит, что для эллиптической кривой (или, в более общем смысле, абелева разновидность ) Икс над числовым полем k, абелева группа Икс(k) является конечно порожденный. Программы компьютерной алгебры могут определять группу Морделла – Вейля. Икс(k) во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следовало бы из гипотезы о конечности группы Тейта – Шафаревича или из связанной Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера.^[3]

Род минимум 2

Теорема Фальтингса (бывшая гипотеза Морделла) говорит, что для любой кривой Икс рода не менее 2 над числовым полем k, набор Икс(k) конечно.^[4]

Некоторые из великих достижений теории чисел сводятся к определению рациональных точек на определенных кривых. Например, Последняя теорема Ферма (доказано Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс ) эквивалентно утверждению, что для целого числа п не менее 3, единственные рациональные точки кривой Икс^п + у^п = z^п в п² над Q являются очевидными: [0,1,1] и [1,0,1]; [0,1, −1] и [1,0, −1] для п четное; и [1, −1,0] для п странный. Кривая Икс (как любая плавная кривая степени п в п²) имеет род (п − 1)(п − 2)/2.

Неизвестно, существует ли алгоритм, позволяющий найти все рациональные точки на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. В некоторых случаях работает алгоритм. Его прекращение в общем случае следует из гипотез о том, что группа Тейта – Шафаревича абелевого многообразия над числовым полем конечна и что группа Обструкция Брауэра – Манина является единственным препятствием для принципа Хассе в случае кривых.^[5]

Высшие измерения

Разновидности с несколькими рациональными точками

В высших измерениях одна объединяющая цель - это Bombieri –Lang догадка что для любого разнообразия Икс из общий тип над числовым полем k, набор k-рациональные точки Икс не является Зариски плотный в Икс. (Это k-рациональные точки содержатся в конечном объединении подмногообразий меньшей размерности Икс.) В размерности 1 это в точности теорема Фальтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда она имеет род не меньше 2. Ланг также высказал более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с Кобаяши гиперболичность.^[6]

Например, гипотеза Бомбьери – Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени d в проективном пространстве п^п над числовым полем не имеет плотных по Зарискому рациональных точек, если d ≥ п + 2. Об этом деле мало что известно. Наиболее сильным известным результатом по гипотезе Бомбьери – Ланга является теорема Фальтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если Икс является подмногообразием абелевого многообразия А над числовым полем k, то все k-рациональные точки Икс содержатся в конечном объединении транслятов абелевых подмногообразий, содержащихся в Икс.^[7] (Так что если Икс не содержит транслированных абелевых подмногообразий положительной размерности, то Икс(k) конечно.)

Разновидности с множеством рациональных точек

В обратном направлении множество Икс над числовым полем k говорят, что имеет потенциально плотный рациональные точки, если существует конечное поле расширения E из k так что E-рациональные точки Икс Зарисский плотен в Икс. Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над пространством положительной размерности. орбифолд общего типа.^[8] Известен случай, когда каждый кубическая поверхность в п³ над числовым полем k имеет потенциально плотные рациональные точки, потому что (более сильно) он становится рациональный над некоторым конечным расширением k (если это не конус над плоской кубической кривой). Гипотеза Кампаны также означала бы, что K3 поверхность Икс (например, гладкая поверхность четвертой степени в п³) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если Икс имеет эллиптическое расслоение.^[9]

Можно спросить, когда у разнообразия есть рациональная точка без расширения базового поля. В случае гиперповерхности Икс степени d в п^п над числовым полем есть хорошие результаты, когда d намного меньше, чем п, часто на основе Метод круга Харди – Литтлвуда. Например, Теорема Хассе – Минковского говорит, что принцип Хассе справедлив для квадрических гиперповерхностей над числовым полем (случай d = 2). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в п^п над Q когда п ≥ 8.^[10] В более высоких измерениях верно даже больше: каждый гладкий кубик в п^п над Q имеет рациональный смысл, когда п ≥ 9, по Роджер Хит-Браун.^[11] В более общем смысле, Теорема Берча говорит, что для любого нечетного положительного целого числа d, есть целое число N такой, что для всех п ≥ N, каждая гиперповерхность степени d в п^п над Q имеет рациональную точку зрения.

Для гиперповерхностей меньшей размерности (с точки зрения их степени) все может быть сложнее. Например, принцип Хассе не работает для гладкой кубической поверхности 5Икс³ + 9у³ + 10z³ + 12ш³ = 0 дюйм п³ над Q, к Ян Касселс и Ричард Гай.^[12] Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра – Манина - единственное препятствие к принципу Хассе для кубических поверхностей. В общем, это должно выполняться для каждого рационально связанное разнообразие над числовым полем.^[13]

В некоторых случаях известно, что Икс имеет "много" рациональных точек всякий раз, когда она есть. Например, продление работы Бениамино Сегре и Юрий Манин, Янош Коллар показано: для кубической гиперповерхности Икс размерности не менее 2 над идеальное поле k с Икс не конус, Икс является унирациональный над k если у него есть k-рациональная точка.^[14] (В частности, для k бесконечна, унирациональность подразумевает, что множество k-рациональные точки плотны по Зарискому в Икс.) Гипотеза Манина - более точное утверждение, описывающее асимптотику числа рациональных точек ограниченного высота на Сорт Фано.

Подсчет точек над конечными полями

Разнообразие Икс через конечное поле k имеет только конечное количество k-рациональные точки. В Гипотезы Вейля, доказано Андре Вайль в измерении 1 и на Пьер Делинь в любом измерении, дайте строгие оценки количества k-баллы с точки зрения Бетти числа из Икс. Например, если Икс гладкая проективная кривая рода грамм над полем k порядка q (простая степень), тогда

{ displaystyle { big |} | X (k) | - (q + 1) { big |} leq 2g { sqrt {q}}.}

Для гладкой гиперповерхности Икс степени d в п^п над полем k порядка q, Теорема Делиня дает оценку:^[15]

{ Displaystyle { big |} | Икс (к) | - (q ^ {n-1} + cdots + q + 1) { big |} leq { bigg (} { frac {(d- 1) ^ {n + 1} + (- 1) ^ {n + 1} (d-1)} {d}} { bigg)} q ^ {(n-1) / 2}.}.}

Есть также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем k имеет по крайней мере один k-рациональная точка. Например, Теорема Шевалле – Предупреждение означает, что любая гиперповерхность Икс степени d в п^п над конечным полем k имеет k-рациональная точка, если d ≤ п. Для гладкости Икс, это также следует из Элен Эсно Теорема о том, что каждая гладкая проективная рационально связаны цепью многообразие, например любое многообразие Фано, над конечным полем k имеет k-рациональная точка.^[16]

Смотрите также

Примечания

^ Хиндри и Сильверман (2000), теорема A.4.3.1.
^ Сильверман (2009), замечание X.4.11.
^ Сильверман (2009), гипотеза X.4.13.
^ Хиндри и Сильверман (2000), теорема E.0.1.
^ Скоробогатова (2001), раздел 6,3.
^ Hindry & Silverman (2000), раздел F.5.2.
^ Хиндри и Сильверман (2000), теорема F.1.1.1.
^ Кампана (2004), гипотеза 9.20.
^ Hassett (2003), теорема 6.4.
^ Хули (1988), теорема.
^ Хит-Браун (1983), Теорема.
^ Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.
^ Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.
^ Коллар (2002), теорема 1.1.
^ Кац (1980), раздел II.
^ Эно (2003), следствие 1.3.

внешняя ссылка

Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)

[1] Хиндри и Сильверман (2000), теорема A.4.3.1.

[2] Сильверман (2009), замечание X.4.11.

[3] Сильверман (2009), гипотеза X.4.13.

[4] Хиндри и Сильверман (2000), теорема E.0.1.

[5] Скоробогатова (2001), раздел 6,3.

[6] Hindry & Silverman (2000), раздел F.5.2.

[7] Хиндри и Сильверман (2000), теорема F.1.1.1.

[8] Кампана (2004), гипотеза 9.20.

[9] Hassett (2003), теорема 6.4.

[10] Хули (1988), теорема.

[11] Хит-Браун (1983), Теорема.

[12] Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.

[13] Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.

[14] Коллар (2002), теорема 1.1.

[15] Кац (1980), раздел II.

[16] Эно (2003), следствие 1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]