Диаграмма сатаке - Satake diagram

в математический исследование Алгебры Ли и Группы Ли, а Диаграмма сатаке является обобщением Диаграмма Дынкина представлен Сатаке  (1960, с.109), конфигурации которых классифицируют просто Алгебры Ли над поле из действительные числа. Диаграммы Сатаке, связанные с диаграммой Дынкина, классифицируют реальные формы комплексной алгебры Ли, соответствующей диаграмме Дынкина.

В более общем плане Индекс сисек или же Диаграмма Сатаке – Титса редуктивного алгебраическая группа над полем - это обобщение диаграммы Сатаке на произвольные поля, введенное Сиськи  (1966 ), что сводит классификацию редуктивных алгебраических групп к классификации анизотропный редуктивный алгебраические группы.

Диаграммы сатаке - это не то же самое, что Диаграммы Вогана группы Ли, хотя внешне они похожи.

Определение

Диаграмма Сатаке получается из диаграммы Дынкина путем затемнения некоторых вершин и соединения других вершин попарно стрелками по определенным правилам.

Предположим, что грамм - алгебраическая группа, определенная над полем k, например, реалы. Мы позволяем S - максимальный расщепляемый тор в грамм, и возьми Т быть максимальным тором, содержащим S определенное над сепарабельным алгебраическим замыканием K из k. потом грамм(K) имеет диаграмму Дынкина относительно некоторого выбора положительных корней Т. Эта диаграмма Дынкина имеет естественное действие группы Галуа K/k. Также исчезают некоторые простые корни S. В Диаграмма Сатаке – Титса дается диаграммой Дынкина Dвместе с действием группы Галуа, причем простые корни исчезают на S окрашен в черный цвет. В случае, когда k - поле действительных чисел, абсолютная группа Галуа имеет порядок 2, и ее действие на D представлена ​​проведением сопряженных точек диаграммы Дынкина рядом друг с другом, а диаграмма Сатаке – Титса называется диаграммой Сатаке.

Примеры

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

• Компактные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке со всеми черными вершинами.
• Расщепленные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке только с белыми (т. е. не черными) и непарными вершинами.
• Таблицу можно найти по адресу (Онищик и Винберг 1994, Таблица 4, стр. 229–230 ).

Различия между диаграммами Сатаке и Вогана

И Сатаке, и Диаграммы Вогана используются для классификации полупростых групп или алгебр Ли (или алгебраических групп) над вещественными числами, и обе состоят из диаграмм Дынкина, обогащенных черным подмножеством узлов и соединением некоторых пар вершин стрелками. Диаграммы Сатаке, однако, могут быть обобщены на любую область (см. Выше) и подпадают под общую парадигму Когомологии Галуа, тогда как диаграммы Вогана определяются конкретно над реалами. Вообще говоря, структура реальной полупростой алгебры Ли более прозрачным образом закодирована в ее диаграмме Сатаке, но диаграммы Вогана проще классифицировать.

Существенное отличие состоит в том, что диаграмма Сатаке вещественной полупростой алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ с Инволюция Картана θ и связанная пара Картана ${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {p}}})$ (собственные подпространства +1 и −1 θ) определяется исходя из максимально некомпактной θ-стабильный Подалгебра Картана ${displaystyle {mathfrak {h}}}$, то есть тот, для которого ${displaystyle heta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}$ как можно меньше (в презентации выше ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ появляется как алгебра Ли максимального расщепляемого тора S), тогда как диаграммы Вогана определяются, начиная с максимально компактного θ-стабильная подалгебра Картана, т. е. та, для которой ${displaystyle heta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}$ как можно больше.

Неукрашенная диаграмма Дынкина (то есть, только с белыми узлами и без стрелок), при интерпретации как диаграмма Сатаке, представляет разделенную действительную форму алгебры Ли, тогда как она представляет собой компактную форму, когда интерпретируется как диаграмма Вогана.

Смотрите также

• Относительная корневая система

Рекомендации

• Удар, Дэниел (2004), Группы Ли, Тексты для выпускников по математике, 225, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-4094-3, ISBN  978-0-387-21154-1, МИСТЕР  2062813
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Аспирантура по математике, 34, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 034, ISBN  978-0-8218-2848-9, МИСТЕР  1834454
• Онищик, А.Л .; Винберг, Эрнест Борисович (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: строение групп Ли и алгебр Ли
• Сатаке, Ичиро (1960), "О представлениях и компактификациях симметрических римановых пространств", Анналы математики, Вторая серия, 71: 77–110, Дои:10.2307/1969880, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969880, МИСТЕР  0118775
• Сатаке, Ичиро (1971), Теория классификации полупростых алгебраических групп, Конспект лекций по чистой и прикладной математике, 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  978-0-8247-1607-3, МИСТЕР  0316588
• Шпиндель, Филипп; Перссон, Даниэль; Хенно, Марк (2008), «Космические особенности и скрытые симметрии гравитации», Живые обзоры в теории относительности, 11 (1), arXiv:0710.1818, Дои:10.12942 / lrr-2008-1, ЧВК  5255974, PMID  28179821
• Титс, Жак (1966), "Классификация алгебраических полупростых групп", Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 33–62, МИСТЕР  0224710
• Сиськи, Жак (1971), "Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 247: 196–220, Дои:10.1515 / crll.1971.247.196, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0277536