Групповая схема действия - Group-scheme action

В алгебраическая геометрия, действие групповой схемы является обобщением групповое действие к групповая схема. Точно, учитывая группу S-схема грамм, а левое действие грамм на S-схема Икс является S-морфизм

{ displaystyle sigma: G times _ {S} от X до X}

такой, что

(ассоциативность) ${ Displaystyle sigma circ (1_ {G} times sigma) = sigma circ (m times 1_ {X})}$ , куда ${ displaystyle m: G times _ {S} G to G}$ это групповой закон,
(единство) ${ Displaystyle sigma circ (е раз 1_ {X}) = 1_ {X}}$ , куда ${ displaystyle e: S to G}$ это раздел идентичности грамм.

А правильное действие грамм на Икс определяется аналогично. Схема, оснащенная левым или правым действием групповой схемы грамм называется грамм-схема. An эквивариантный морфизм между грамм-schemes - это морфизм схем который переплетается с соответствующими грамм-действия.

В более общем смысле, можно также рассматривать (по крайней мере, некоторый частный случай) действие групповой функтор: просмотр грамм как функтор действие задается как естественное преобразование, удовлетворяющее условиям, аналогичным приведенным выше.^[1] В качестве альтернативы некоторые авторы изучают групповые действия на языке группоид; тогда действие групповой схемы является примером группоидная схема.

Конструкции

Обычные конструкции для групповое действие такие как орбиты, обобщаются на действие групповой схемы. Позволять ${ displaystyle sigma}$ - действие данной схемы группы, как указано выше.

Для T-значной точки ${ displaystyle x: T to X}$ , то карта орбиты ${ displaystyle sigma _ {x}: G times _ {S} T to X times _ {S} T}$ дается как ${ displaystyle ( sigma circ (1_ {G} times x), p_ {2})}$ .
В орбита из Икс это изображение карты орбиты ${ displaystyle sigma _ {x}}$ .
В стабилизатор из Икс это волокно над ${ displaystyle sigma _ {x}}$ карты ${ displaystyle (x, 1_ {T}): T to X times _ {S} T.}$

Проблема построения частного

В отличие от теоретико-множественного действия группы, не существует прямого способа построить фактор для действия групповой схемы. Одно исключение - случай, когда действие бесплатное, случай основной пучок волокон.

Есть несколько подходов к преодолению этой трудности:

Структура уровней - Возможно, самый старый, подход заменяет объект для классификации на объект вместе со структурой уровней
Геометрическая теория инвариантов - отбросьте плохие орбиты, а затем возьмите частное. Недостатком является то, что не существует канонического способа введения понятия «плохие орбиты»; понятие зависит от выбора линеаризация. Смотрите также: категориальный фактор, Фактор GIT.
Строительство Бореля - это подход, по сути, из алгебраической топологии; этот подход требует работы с бесконечномерное пространство.
Аналитический подход, теория Пространство Тейхмюллера
Факторный стек - в каком-то смысле это окончательный ответ на проблему. Грубо говоря, "предварительный фактор" - это категория орбит и одна складывать (то есть введение понятия торсора), чтобы получить частный стек.

В зависимости от приложений другим подходом было бы смещение фокуса с пространства, а затем на вещи в пространстве; например., топос. Таким образом, проблема переходит от классификации орбит к классификации орбит. эквивариантные объекты.

Смотрите также

Рекомендации

^ Подробно с учетом групповой схемы действия ${ displaystyle sigma}$ , для каждого морфизма ${ displaystyle T to S}$ , ${ displaystyle sigma}$ определяет групповое действие ${ Displaystyle G (T) раз X (T) к X (T)}$ ; т.е. группа ${ Displaystyle G (T)}$ действует на множестве Т-точки ${ Displaystyle X (T)}$ . И наоборот, если для каждого ${ displaystyle T to S}$ , есть групповое действие ${ Displaystyle sigma _ {T}: G (T) times X (T) to X (T)}$ и если эти действия совместимы; т.е. они образуют естественная трансформация, то по Лемма Йонеды, они определяют действие групповой схемы ${ displaystyle sigma: G times _ {S} от X до X}$ .

Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. МИСТЕР 1304906.

Этот алгебраическая геометрия статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Подробно с учетом групповой схемы действия ${ displaystyle sigma}$ , для каждого морфизма ${ displaystyle T to S}$ , ${ displaystyle sigma}$ определяет групповое действие ${ Displaystyle G (T) раз X (T) к X (T)}$ ; т.е. группа ${ Displaystyle G (T)}$ действует на множестве Т-точки ${ Displaystyle X (T)}$ . И наоборот, если для каждого ${ displaystyle T to S}$ , есть групповое действие ${ Displaystyle sigma _ {T}: G (T) times X (T) to X (T)}$ и если эти действия совместимы; т.е. они образуют естественная трансформация, то по Лемма Йонеды, они определяют действие групповой схемы ${ displaystyle sigma: G times _ {S} от X до X}$ .

[1]