Схема (математика) - Scheme (mathematics)

В математика, а схема это математическая структура что расширяет понятие алгебраическое многообразие несколькими способами, например, принимая во внимание множественности (уравнения Икс = 0 и Икс² = 0 определяют одно и то же алгебраическое многообразие и разные схемы) и допускают определение "многообразий" над любым коммутативное кольцо (Например, Кривые Ферма определены над целые числа ).

Схемы были введены Александр Гротендик в 1960 г. в своем трактате "Éléments de géométrie algébrique "; одной из его целей было развитие формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраическая геометрия, такой как Гипотезы Вейля (последнее из которых было доказано Пьер Делинь ).^[1] Сильно основанный на коммутативная алгебра, теория схем позволяет систематически использовать методы топология и гомологическая алгебра. Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теория чисел, что в конечном итоге привело к Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма.

Формально схема - это топологическое пространство вместе с коммутативными кольцами для всех его открытых множеств, который возникает в результате склейки спектров (пространств главные идеалы ) коммутативных колец вдоль их открытых подмножеств. Другими словами, это окольцованное пространство которое является локально спектром коммутативного кольца.

В относительная точка зрения заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма Икс → Y схем (называемых схемой Икс над Y), а не для индивидуальной схемы. Например, при изучении алгебраические поверхности, может быть полезно рассматривать семейства алгебраических поверхностей над любой схемой Y. Во многих случаях семейство всех разновидностей данного типа может само по себе рассматриваться как разновидность или схема, известная как пространство модулей.

Некоторые подробные определения в теории схем см. В глоссарий теории схем.

Развитие

Истоки алгебраической геометрии в основном лежат в изучении многочлен уравнения над действительные числа. К 19 веку это стало ясно (особенно в работе Жан-Виктор Понселе и Бернхард Риманн ), что алгебраическая геометрия была упрощена за счет работы над поле из сложные числа, который имеет то преимущество, что алгебраически замкнутый.^[2] В начале 20 века постепенно привлекли внимание два вопроса, мотивированные проблемами теории чисел: как можно развить алгебраическую геометрию над любым алгебраически замкнутым полем, особенно в положительном характеристика ? (Инструменты топологии и комплексный анализ Используемые для изучения сложных многообразий здесь, кажется, не применимы.) А как насчет алгебраической геометрии над произвольным полем?

Nullstellensatz Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k: the максимальные идеалы в кольцо многочленов k[Икс₁,...,Икс_п] находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством k^п из п-наборы элементов k, а главные идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множествам в k^п, известные как аффинные разновидности. Мотивированные этими идеями, Эмми Нётер и Вольфганг Круль разработал тему коммутативная алгебра в 1920-1930-е гг.^[3] Их работа обобщает алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении: вместо изучения первичных идеалов в кольце многочленов можно изучать первичные идеалы в любом коммутативном кольце. Например, Крулл определил измерение любого коммутативного кольца в терминах простых идеалов. По крайней мере, когда кольцо Нётерян, он доказал многие свойства, которые хотелось бы получить от геометрического понятия размерности.

Коммутативную алгебру Нётер и Крулля можно рассматривать как алгебраический подход к аффинный алгебраические многообразия. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии лучше подходят для проективные многообразия, по существу потому, что проективные многообразия компактный. С 1920-х по 1940-е годы Б. Л. ван дер Варден, Андре Вайль и Оскар Зариски прикладная коммутативная алгебра как новая основа алгебраической геометрии в более богатой обстановке проективных (или квазипроективный ) разновидностей.^[4] В частности, Топология Зарисского является полезной топологией на многообразии над любым алгебраически замкнутым полем, в некоторой степени заменяющей классическую топологию на комплексном многообразии (основанной на топологии комплексных чисел).

Для приложений к теории чисел ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль был первым, кто определил абстрактное разнообразие (не встроено в проективное пространство ), склеивая аффинные многообразия по открытым подмножествам, на модели коллекторы в топологии. Эта общность нужна ему для построения Якобиева многообразие кривой над любым полем. (Позднее Вейль показал, что якобианы являются проективными многообразиями, Чау и Мацусака.)

Алгебраические геометры Итальянская школа часто использовал несколько туманную концепцию общая точка алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно для «большинства» точек этого разнообразия. В Вейле Основы алгебраической геометрии (1946) общие точки строятся путем взятия точек в очень большом алгебраически замкнутом поле, называемом универсальный домен.^[4] Хотя это работало в качестве основы, это было неудобно: для одного и того же сорта было много разных общих точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.)

В 1950-х годах Клод Шевалле, Масаёши Нагата и Жан-Пьер Серр, частично мотивированные Гипотезы Вейля связывая теорию чисел и алгебраическую геометрию, дальнейшее расширение объектов алгебраической геометрии, например, путем обобщения разрешенных базовых колец. Слово схема впервые был использован на семинаре Шевалле в 1956 году, на котором Шевалле продолжал развивать идеи Зариски.^[5] Согласно с Пьер Картье, это было Андре Мартино который предложил Серру использовать спектр произвольного коммутативного кольца в качестве основы алгебраической геометрии.^[6]

Происхождение схем

Затем Гротендик дал решающее определение схемы, завершив серию экспериментальных предложений и частичных разработок.^[7] Он определил спектр Икс из коммутативное кольцо р как пространство главные идеалы из р с естественной топологией (известной как топология Зарисского), но дополнила ее пучок колец: на каждое открытое подмножество U он назначил коммутативное кольцо О_Икс(U). Эти объекты Spec (р) - аффинные схемы; тогда общая схема получается путем «склейки» аффинных схем.

Большая часть алгебраической геометрии сосредоточена на проективных или квазипроективных многообразиях над полем. k; по факту, k часто принимают за комплексные числа. Схемы такого рода очень особенные по сравнению с произвольными схемами; сравните приведенные ниже примеры. Тем не менее удобно, что Гротендик разработал обширную теорию для произвольных схем. Например, обычно пространство модулей сначала строят как схему, а только потом изучают, является ли это более конкретным объектом, таким как проективное многообразие. Кроме того, приложения к теории чисел быстро приводят к схемам над целыми числами, которые не определены ни над каким полем.

Определение

An аффинная схема это локально окольцованное пространство изоморфен спектр Спецификация (р) коммутативного кольца р. А схема является локально окольцованным пространством Икс допускающие покрытие открытыми множествами U_я, так что каждый U_я (как локально окольцованное пространство) - аффинная схема.^[8] Особенно, Икс идет со связкой О_Икс, который присваивается каждому открытому подмножеству U коммутативное кольцо О_Икс(U) называется кольцо регулярных функций на U. Можно представить себе схему как покрытую «координатными картами», которые являются аффинными схемами. Определение в точности означает, что схемы получаются склейкой аффинных схем с использованием топологии Зарисского.

Раньше это называлось предварительная схема, а схема была определена как отделенный пресхема. Термин «precheme» вышел из употребления, но его все еще можно найти в более старых книгах, таких как «Éléments de géométrie algébrique» Гротендика и Мамфорд «Красная книга».^[9]

Базовый пример аффинной схемы: аффинный п-Космос над полем k, для натуральное число п. По определению A^п
_k - спектр кольца многочленов k[Икс₁,...,Икс_п]. В духе теории схем аффинные п-пространство может быть определено над любым коммутативным кольцом р, что означает Spec (р[Икс₁,...,Икс_п]).

Категория схем

Схемы образуют категория, с морфизмами, определяемыми как морфизмы локально окольцованных пространств. (Смотрите также: морфизм схем.) Для схемы Y, схема Икс над Y означает морфизм Икс → Y схем. Схема Икс над коммутативное кольцо р означает морфизм Икс → Спец (р).

Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с определенными свойствами. Существуют разные соглашения о том, какие именно схемы следует называть разновидностями. Один из стандартных вариантов: разнообразие над k означает интегрально разделенный схема конечный тип над k.^[10]

Морфизм ж: Икс → Y схем определяет обратный гомоморфизм на кольцах регулярных функций, ж*: О(Y) → О(Икс). В случае аффинных схем эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между морфизмами Spec (А) → Спец (B) схем и гомоморфизмов колец B → А.^[11] В этом смысле теория схем полностью включает теорию коммутативных колец.

поскольку Z является исходный объект в категория коммутативных колец, категория схем имеет Spec (Z) как конечный объект.

Для схемы Икс над коммутативным кольцом р, р-точка из Икс означает раздел морфизма Икс → Спец (р). Один пишет Икс(р) для набора р-точки Икс. На примерах это определение восстанавливает старое понятие множества решений определяющих уравнений Икс со значениями в р. Когда р это поле k, Икс(k) также называется множеством k-рациональные точки из Икс.

В более общем плане для схемы Икс над коммутативным кольцом р и любые коммутативные р-алгебра S, S-точка из Икс означает морфизм Spec (S) → Икс над р. Один пишет Икс(S) для набора S-точки Икс. (Это обобщает старое наблюдение, согласно которому некоторые уравнения над полем k, можно рассматривать множество решений уравнений в любом расширение поля E из k.) Для схемы Икс над р, назначение S ↦ Икс(S) это функтор от коммутативного р-алгебры множествам. Важно отметить, что схема Икс над р определяется этим функтор точек.^[12]

В волокнистое изделие схем всегда существует. То есть для любых схем Икс и Z с морфизмами к схеме Y, волокнистый продукт Икс×_YZ (в том смысле теория категорий ) существует в категории схем. Если Икс и Z схемы над полем k, их волокнистый продукт по Spec (k) можно назвать товар Икс × Z в категории k-схемы. Например, произведение аффинных пространств A^м и А^п над k является аффинным пространством A^м+п над k.

Поскольку в категории схем есть изделия из волокна, а также конечный объект Spec (Z), в нем все конечные пределы.

Примеры

• Каждая аффинная схема Spec (р) - это схема. (Здесь и далее все рассматриваемые кольца коммутативны.)
• Полином ж над полем k, ж ∈ k[Икс₁,...,Икс_п], определяет замкнутую подсхему ж = 0 в аффинном пространстве A^п над k, называется аффинным гиперповерхность. Формально его можно определить как

${ displaystyle operatorname {Spec} k [x_ {1}, ldots, x_ {n}] / (f).}$

Например, взяв k чтобы быть комплексными числами, уравнение Икс² = у²(у+1) определяет особую кривую на аффинной плоскости A²
_C, называется узловая кубическая кривая.

• Для любого коммутативного кольца р и натуральное число п, проективное пространство п^п
  _р можно построить в виде схемы, склеивая п + 1 копия аффинного п-пространство над р по открытым подмножествам. Это фундаментальный пример, который побуждает выйти за рамки аффинных схем. Ключевое преимущество проективного пространства перед аффинным в том, что п^п
  _р является правильный над р; это алгебро-геометрическая версия компактности. Связанное наблюдение заключается в том, что сложное проективное пространство CP^п компактное пространство в классической топологии (основанной на топологии C), в то время как C^п нет (для п > 0).
• А однородный многочлен ж положительной степени в кольце многочленов р[Икс₀,...,Икс_п] определяет замкнутую подсхему ж = 0 в проективном пространстве п^п над р, называется проективная гиперповерхность. Что касается Строительство проекта, эту подсхему можно записать как

${ displaystyle operatorname {Proj} R [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / (f).}$

Например, закрытая подсхема Икс³ + у³ = z³ из п²
_Q является эллиптическая кривая над рациональное число.

• В линия с двумя истоками (над полем k) - схема, определяемая началом с двух копий аффинной прямой над k, и склеивая два открытых подмножества A¹ - 0 по карте идентичности. Это простой пример неразделенной схемы. В частности, это не аффинно.^[13]
• Простая причина выйти за рамки аффинных схем состоит в том, что открытое подмножество аффинной схемы не обязательно должно быть аффинным. Например, пусть Икс = А^п - 0, скажем над комплексными числами C; тогда Икс не аффинно для п ≥ 2. (Ограничение на п необходимо: аффинная прямая без начала координат изоморфна аффинной схеме Spec (C[Икс,Икс⁻¹].) Чтобы показать, что Икс не аффинно, вычисляется, что каждая регулярная функция на Икс продолжается до регулярной функции на A^п, когда п ≥ 2. (Аналогично Лемма Хартогса в комплексном анализе, хотя доказать легче.) То есть включение ж: Икс → А^п индуцирует изоморфизм из О(А^п) = C[Икс₁,....,Икс_п] к О(Икс). Если Икс были аффинными, из этого следовало бы, что ж был изоморфизмом. Но ж не сюръективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Следовательно, схема Икс не аффинно.^[14]
• Позволять k быть полем. Тогда схема ${ displaystyle textstyle operatorname {Spec} left ( prod _ {n = 1} ^ { infty} k right)}$ является аффинной схемой, основным топологическим пространством которой является Каменно-чешская компактификация натуральных чисел (с дискретной топологией). Фактически, первичные идеалы этого кольца находятся во взаимно однозначном соответствии с ультрафильтры на натуральных числах, с идеалом ${ Displaystyle textstyle prod _ {м neq n} к}$ соответствующий главному ультрафильтру, связанному с положительным целым числом п.^[15] Это топологическое пространство нульмерный, и, в частности, каждая точка является неприводимая составляющая. Поскольку аффинные схемы квазикомпактный, это пример квазикомпактной схемы с бесконечным числом неприводимых компонент. (Напротив, Схема Нётера имеет лишь конечное число неприводимых компонент.)

Примеры морфизмов

Также полезно рассматривать примеры морфизмов в качестве примеров схем, поскольку они демонстрируют свою техническую эффективность для инкапсуляции многих объектов исследования в алгебраической и арифметической геометрии.

Арифметические поверхности

Если рассматривать многочлен ${ Displaystyle е ин mathbb {Z} [х, у]}$ тогда аффинная схема ${ Displaystyle X = OperatorName {Spec} ( mathbb {Z} [x, y] / (f))}$ имеет канонический морфизм ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {Z}}$ и называется Арифметическая поверхность. Волокна ${ displaystyle X_ {p} = X times _ { operatorname {Spec} ( mathbb {Z})} operatorname {Spec} ( mathbb {F} _ {p})}$ тогда являются алгебраическими кривыми над конечными полями ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$. Если ${ displaystyle f (x, y) = y ^ {2} -x ^ {3} + ax ^ {2} + bx + c}$ является Эллиптическая кривая то слои над дискриминантным множеством, порожденные ${ displaystyle Delta _ {f}}$ где

${ displaystyle Delta _ {f} = - 4a ^ {3} c + a ^ {2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -27c ^ {2}}$^[16]

- все особые схемы. Например, если ${ displaystyle p}$ простое число и

${ displaystyle X = operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {Z} [x, y]} {(y ^ {2} -x ^ {3} -p)}} right)}$

то его дискриминант ${ displaystyle -27p ^ {2}}$. В частности, эта кривая сингулярна над простыми числами ${ displaystyle 3, p}$.

Мотивация для схем

Вот несколько способов, которыми схемы выходят за рамки старых понятий алгебраических многообразий, и их значение.

• Расширения полей. Учитывая некоторые полиномиальные уравнения в п переменные над полем k, можно изучить множество Икс(k) решений уравнений в множестве произведений k^п. Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то можно основывать алгебраическую геометрию на таких множествах, как Икс(k): задаем топологию Зарисского на Икс(k), рассмотрим полиномиальные отображения между различными наборами этого типа и т. д. Но если k не алгебраически замкнуто, то множество Икс(k) недостаточно богат. Действительно, можно изучить решения Икс(E) данных уравнений в любом расширении поля E из k, но эти множества не определяются Икс(k) в любом разумном смысле. Например, плоская кривая Икс над действительными числами, определенными Икс² + у² = −1 имеет Икс(р) пусто, но Икс(C) не пусто. (По факту, Икс(C) можно отождествить с C - 0.) Напротив, схема Икс над полем k имеет достаточно информации, чтобы определить набор Икс(E) из E-рациональные точки для каждого поля расширения E из k. (В частности, замкнутая подсхема A²
  _р определяется Икс² + у² = −1 - непустое топологическое пространство.)

• Общая точка. Точки аффинной прямой A¹
  _C, как схема, являются ее комплексными точками (по одной для каждого комплексного числа) вместе с одной общей точкой (замыкание которой является всей схемой). Общая точка - это образ естественного морфизма Spec (C(Икс)) → A¹
  _C, где C(Икс) - поле рациональные функции в одной переменной. Чтобы понять, почему полезно иметь в схеме фактическую «общую точку», рассмотрим следующий пример.

• Позволять Икс быть плоской кривой у² = Икс(Икс−1)(Икс−5) над комплексными числами. Это замкнутая подсхема A²
  _C. Его можно рассматривать как разветвленный двойное покрытие аффинной прямой A¹
  _C проецируя на Икс-координат. Волокно морфизма Икс → А¹ над общей точкой A¹ в точности общая точка Икс, дающий морфизм

${ displaystyle operatorname {Spec} mathbf {C} (x) left ({ sqrt {x (x-1) (x-5)}} right) to operatorname {Spec} mathbf {C } (Икс).}$

Это, в свою очередь, эквивалентно степень -2 расширения полей

${ displaystyle mathbf {C} (x) subset mathbf {C} (x) left ({ sqrt {x (x-1) (x-5)}} right).}$

Таким образом, наличие реальной общей точки многообразия дает геометрическую связь между морфизмом степени 2 алгебраических многообразий и соответствующим расширением степени 2 многообразия функциональные поля. Это обобщает отношение между фундаментальная группа (который классифицирует покрытия пространства в топологии) и Группа Галуа (который классифицирует определенные расширения полей ). Действительно, теория Гротендика этальная фундаментальная группа рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на одном уровне.

• Нильпотентные элементы. Позволять Икс - замкнутая подсхема аффинной прямой A¹
  _C определяется Икс² = 0, иногда называемый жирная точка. Кольцо регулярных функций на Икс является C[Икс]/(Икс²); в частности, регулярная функция Икс на Икс является нильпотентный но не ноль. Чтобы обозначить смысл этой схемы: две регулярные функции на аффинной прямой имеют одно и то же ограничение на Икс тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и сначала производная в происхождении. Допуская такие не-уменьшенный схемы приносит идеи исчисление и бесконечно малые в алгебраическую геометрию.

• В качестве более сложного примера можно описать все нульмерные замкнутые подсхемы степени 2 в гладкий; плавный сложное разнообразие Y. Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y, либо подсхема, изоморфная Икс = Спецификация C[Икс]/(Икс²) как в предыдущем абзаце. Подсхемы последнего типа определяются сложной точкой у из Y вместе с линией в касательное пространство Т_уY.^[17] Это снова указывает на то, что неприведенные подсхемы имеют геометрическое значение, связанное с производными и касательными векторами.

Когерентные связки

Центральным элементом теории схем является понятие когерентные пучки, обобщая понятие (алгебраической) векторные пакеты. Для схемы Икс, мы начинаем с рассмотрения абелева категория из О_Икс-модули, которые являются пучками абелевых групп на Икс которые образуют модуль над пучком регулярных функций О_Икс. В частности, модуль M над коммутативным кольцом р определяет связанный О_Икс-модуль ~M на Икс = Спецификация (р). А квазикогерентный пучок по схеме Икс означает О_Икс-модуль, который представляет собой пучок, связанный с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве Икс. Наконец, связный пучок (по нётеровой схеме Икс, скажем) является О_Икс-модуль, являющийся пучком, ассоциированным с конечно порожденный модуль на каждом аффинном открытом подмножестве Икс.

Когерентные пучки включают важный класс векторные пакеты, которые представляют собой пучки, локально возникающие из конечно порожденных бесплатные модули. Примером может служить касательный пучок гладкой разновидности над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутой подсхеме Y из Икс можно рассматривать как связный пучок на Икс который равен нулю снаружи Y (посредством прямое изображение строительство). Таким образом, когерентные пучки на схеме Икс включать информацию обо всех закрытых подсхемах Икс. Более того, когомологии пучков обладает хорошими свойствами для когерентных (и квазикогерентных) пучков. В результате теория когерентные когомологии пучков это, пожалуй, главный технический инструмент в алгебраической геометрии.^[18]

Обобщения

Схема, рассматриваемая как ее функтор точек, представляет собой функтор, который является пучком множеств для топологии Зарисского на категории коммутативных колец и который локально в топологии Зарисского является аффинной схемой. Это можно обобщить по-разному. Один из них - использовать этальная топология. Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, являющийся пучком в этальной топологии и являющийся локально в этальной топологии аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство является фактором схемы по отношению этальной эквивалентности. Мощный результат, Теорема Артина о представимости, дает простые условия представления функтора алгебраическим пространством.^[19]

Дальнейшее обобщение - идея стек. Грубо говоря, алгебраические стеки обобщить алгебраические пространства, имея алгебраическая группа присоединенный к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любой действие алгебраической группы г на алгебраическом многообразии Икс определяет стек частных [Икс/г], который помнит стабилизирующие подгруппы за действие г. В более общем смысле, пространства модулей в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стеки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов.

Гротендик первоначально представил стеки как инструмент теории спуск. В этой формулировке стеки представляют собой (неформально говоря) пучки категорий.^[20] Исходя из этого общего понятия, Артин определил более узкий класс алгебраических стеков (или «стеков Артина»), которые можно рассматривать как геометрические объекты. Они включают Стеки Делиня-Мамфорда (похожий на орбифолды в топологии), для которых группы стабилизаторов конечны, и алгебраических пространств, для которых группы стабилизаторов тривиальны. В Теорема Киля – Мори говорит, что алгебраический стек с конечными группами стабилизаторов имеет грубое пространство модулей которое является алгебраическим пространством.

Другой тип обобщения - это обогащение структурного пучка, приближающее алгебраическую геометрию к теория гомотопии. В этом параметре, известном как производная алгебраическая геометрия или «спектрально-алгебраическая геометрия», структурный пучок заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком Спектры кольца E-бесконечности ). Эти пучки допускают алгебраические операции, которые ассоциативны и коммутативны только с точностью до отношения эквивалентности. Факторизация по этому отношению эквивалентности дает структурный пучок обычной схемы. Однако отказ от частного приводит к теории, которая может запоминать более высокую информацию так же, как производные функторы в гомологической алгебре дают более подробную информацию об операциях, таких как тензорное произведение и Hom функтор по модулям.

Смотрите также

• Плоский морфизм, Гладкий морфизм, Правильный морфизм, Конечный морфизм, Этальный морфизм
• Стабильная кривая
• Бирациональная геометрия
• Этальные когомологии, Группа чау, Теория Ходжа
• Схема группы, Абелева разновидность, Линейная алгебраическая группа, Редуктивная группа
• Модули алгебраических кривых
• Схемы склеивания

Заметки

использованная литература

• Арапура, Дону (2011), "Амплитуда Фробениуса, ультрапроизведения и исчезновение на особых пространствах", Иллинойсский журнал математики, 55 (4): 1367–1384, Дои:10.1215 / ijm / 1373636688, Г-Н  3082873
• Картье, Пьер (2001), «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция представлений о пространстве и симметрии», Бюллетень Американского математического общества, 38 (4): 389–408, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00913-2, Г-Н  1848254
• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии, Уодсворт, ISBN  978-0-534-03723-9, Г-Н  0780183
• Дэвид Эйзенбуд; Джо Харрис (1998). Геометрия схем. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98637-1. Г-Н  1730819.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. Г-Н  0217083.
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. Г-Н  0463157.
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-850284-5. Г-Н  1917232.
• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах. Конспект лекций по математике. 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b62130. ISBN  978-3-540-63293-1. Г-Н  1748380.
• Вистоли, Анджело (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 1–104, arXiv:математика / 0412512, Bibcode:2004математика ..... 12512В, Г-Н  2223406

внешние ссылки

• Дэвид Мамфорд, Можно ли объяснить схемы биологам?
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - в разделе комментариев есть интересное обсуждение теории схем (включая сообщения из Теренс Тао ).