Касательная связка - Tangent bundle

Неформально касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается путем рассмотрения всех касательных пространств (вверху) и их соединения гладким и неперекрывающимся образом (внизу).^{[примечание 1]}

В дифференциальная геометрия, то касательный пучок из дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ это многообразие ${ displaystyle TM}$ который собирает все касательные векторы в ${ displaystyle M}$ . Как набор, это дается несвязный союз^{[примечание 1]} из касательные пространства из ${ displaystyle M}$ . Это,

{ displaystyle { begin {align} TM & = bigsqcup _ {x in M} T_ {x} M & = bigcup _ {x in M} left {x right } times T_ {x} M & = bigcup _ {x in M} left {(x, y) mid y in T_ {x} M right } & = left {(x , y) mid x in M, , y in T_ {x} M right } end {align}}}

куда ${ displaystyle T_ {x} M}$ обозначает касательное пространство к ${ displaystyle M}$ в момент ${ displaystyle x}$ . Итак, элемент ${ displaystyle TM}$ можно рассматривать как пара ${ Displaystyle (х, v)}$ , куда ${ displaystyle x}$ это точка в ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle v}$ является касательным вектором к ${ displaystyle M}$ в ${ displaystyle x}$ . Есть естественный проекция

{ displaystyle pi: TM twoheadrightarrow M}

определяется ${ Displaystyle пи (х, v) = х}$ . Эта проекция отображает каждое касательное пространство ${ displaystyle T_ {x} M}$ в единую точку ${ displaystyle x}$ .

Касательный пучок оснащен естественная топология (описано в разделе ниже ). С этой топологией касательное расслоение к многообразию является прототипом векторный набор (а пучок волокон чьи волокна векторные пространства ). А раздел из ${ displaystyle TM}$ это векторное поле на ${ displaystyle M}$ , а двойной комплект к ${ displaystyle TM}$ это котангенсный пучок, которое представляет собой несвязное объединение котангенсные пространства из ${ displaystyle M}$ . По определению многообразие ${ displaystyle M}$ является распараллеливаемый тогда и только тогда, когда касательное расслоение банальный. По определению многообразие M является обрамленный тогда и только тогда, когда касательное расслоение TM стабильно тривиально, что означает, что для некоторого тривиального расслоения E то Сумма Уитни ${ displaystyle TM oplus E}$ тривиально. Например, п-мерная сфера S^п создан для всех п, но распараллеливается только для п = 1, 3, 7 (по результатам Ботт-Милнора и Кервера).

Роль

Одна из основных ролей касательного расслоения - предоставить область определения и диапазон для производной гладкой функции. А именно, если ${ displaystyle f: M rightarrow N}$ - гладкая функция с ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ гладкие многообразия, его производная является гладкой функцией ${ displaystyle Df: TM rightarrow TN}$ .

Топология и гладкая структура

Касательный пучок имеет естественную топологию (нет то дизъюнктная топология объединения ) и гладкая структура чтобы превратить его в отдельный коллектор. Размер ${ displaystyle TM}$ вдвое больше ${ displaystyle M}$ .

Каждое касательное пространство п-мерное многообразие является п-мерное векторное пространство. Если ${ displaystyle U}$ это открытый стягиваемый подмножество ${ displaystyle M}$ , то есть диффеоморфизм ${ displaystyle TU rightarrow U times mathbb {R} ^ {n}}$ который ограничивается линейным изоморфизмом из каждого касательного пространства ${ displaystyle T_ {x} U}$ к ${ Displaystyle {х } раз mathbb {R} ^ {п}}$ . Однако как многообразие ${ displaystyle TM}$ не всегда диффеоморфно многообразию-произведению ${ Displaystyle М раз mathbb {R} ^ {п}}$ . Когда он имеет форму ${ Displaystyle М раз mathbb {R} ^ {п}}$ , то касательное расслоение называется банальный. Тривиальные касательные расслоения обычно возникают для многообразий, снабженных «согласованной групповой структурой»; например, в случае, когда многообразие является Группа Ли. Касательное расслоение к единичной окружности тривиально, потому что это группа Ли (относительно умножения и его естественной дифференциальной структуры). Однако неверно, что все пространства с тривиальными касательными расслоениями являются группами Ли; многообразия, имеющие тривиальное касательное расслоение, называются распараллеливаемый. Подобно тому, как локально моделируются коллекторы Евклидово пространство, касательные пучки локально моделируются на ${ Displaystyle U раз mathbb {R} ^ {п}}$ , куда ${ displaystyle U}$ открытое подмножество евклидова пространства.

Если M гладкий п-мерное многообразие, то оно оснащено атлас графиков ${ displaystyle (U _ { alpha}, phi _ { alpha})}$ , куда ${ displaystyle U _ { alpha}}$ это открытый набор в ${ displaystyle M}$ и

{ displaystyle phi _ { alpha} двоеточие U _ { alpha} to mathbb {R} ^ {n}}

это диффеоморфизм. Эти локальные координаты на ${ displaystyle U _ { alpha}}$ порождают изоморфизм ${ displaystyle T_ {x} M rightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ для всех ${ Displaystyle х в U _ { alpha}}$ . Затем мы можем определить карту

{ displaystyle { widetilde { phi}} _ { alpha} двоеточие pi ^ {- 1} left (U _ { alpha} right) to mathbb {R} ^ {2n}}

к

{ displaystyle { widetilde { phi}} _ { alpha} left (x, v ^ {i} partial _ {i} right) = left ( phi _ { alpha} (x), v ^ {1}, cdots, v ^ {n} right)}

Мы используем эти карты для определения топологии и гладкой структуры на ${ displaystyle TM}$ . Подмножество ${ displaystyle A}$ из ${ displaystyle TM}$ открыто тогда и только тогда, когда

{ displaystyle { widetilde { phi}} _ { alpha} left (A cap pi ^ {- 1} left (U _ { alpha} right) right)}

открыт в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ для каждого ${ displaystyle alpha.}$ Эти отображения являются гомеоморфизмами между открытыми подмножествами ${ displaystyle TM}$ и ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ и поэтому служат диаграммами для гладкой структуры на ${ displaystyle TM}$ . Функции перехода на диаграммах перекрываются ${ displaystyle pi ^ {- 1} left (U _ { alpha} cap U _ { beta} right)}$ индуцируются Матрицы Якоби связанного преобразования координат и, следовательно, являются гладкими отображениями между открытыми подмножествами ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ .

Касательное расслоение является примером более общей конструкции, называемой векторный набор (который сам по себе является особым видом пучок волокон ). Явно касательное расслоение к ${ displaystyle n}$ -мерное многообразие ${ displaystyle M}$ можно определить как ранг ${ displaystyle n}$ вектор расслоение над ${ displaystyle M}$ функции перехода которых задаются Якобиан связанных преобразований координат.

Примеры

Самый простой пример - это ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . В этом случае касательное расслоение тривиально: каждое ${ Displaystyle Т_ {х} mathbf { mathbb {R}} ^ {п}}$ канонически изоморфна ${ displaystyle T_ {0} mathbb {R} ^ {n}}$ через карту ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ который вычитает ${ displaystyle x}$ , задающий диффеоморфизм ${ displaystyle T mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}}$ .

Другой простой пример - единичный круг, ${ Displaystyle S ^ {1}}$ (см. рисунок выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно ${ Displaystyle S ^ {1} times mathbb {R}}$ . Геометрически это цилиндр бесконечной высоты.

Единственные касательные пучки, которые можно легко визуализировать, - это пучки реальной прямой. ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и единичный круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$ , оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение является четырехмерным и поэтому трудно визуализировать.

Простым примером нетривиального касательного расслоения является единичная сфера ${ Displaystyle S ^ {2}}$ : это касательное расслоение нетривиально вследствие теорема о волосатом шарике. Следовательно, сфера не может быть распараллелена.

Векторные поля

Гладкое сопоставление касательного вектора каждой точке многообразия называется векторное поле. В частности, векторное поле на многообразии ${ displaystyle M}$ это гладкая карта

{ Displaystyle V двоеточие M to TM}

такое, что изображение ${ displaystyle x}$ , обозначенный ${ displaystyle V_ {x}}$ , лежит в ${ displaystyle T_ {x} M}$ , касательное пространство в точке ${ displaystyle x}$ . На языке расслоений такое отображение называется раздел. Векторное поле на ${ displaystyle M}$ поэтому является сечением касательного пучка ${ displaystyle M}$ .

Набор всех векторных полей на ${ displaystyle M}$ обозначается ${ displaystyle Gamma (TM)}$ . Векторные поля можно складывать точечно

{ Displaystyle (V + W) _ {x} = V_ {x} + W_ {x} ,}

и умножается на гладкие функции на M

{ Displaystyle (fV) _ {x} = f (x) V_ {x} ,}

чтобы получить другие векторные поля. Набор всех векторных полей ${ displaystyle Gamma (TM)}$ затем принимает структуру модуль над коммутативная алгебра гладких функций на M, обозначенный ${ Displaystyle С ^ { infty} (М)}$ .

Локальное векторное поле на ${ displaystyle M}$ это местная секция касательного пучка. То есть локальное векторное поле определено только на некотором открытом множестве ${ Displaystyle U подмножество M}$ и присваивает каждой точке ${ displaystyle U}$ вектор в соответствующем касательном пространстве. Множество локальных векторных полей на ${ displaystyle M}$ образует структуру, известную как пучок вещественных векторных пространств на ${ displaystyle M}$ .

Приведенная выше конструкция в равной степени применима к кокасательному расслоению - дифференциальным 1-формам на ${ displaystyle M}$ являются в точности сечениями котангенсного расслоения ${ Displaystyle omega in Gamma (T ^ {*} M)}$ , ${ displaystyle omega: M to T ^ {*} M}$ которые связаны с каждой точкой ${ displaystyle x in M}$ 1-ковектор ${ displaystyle omega _ {x} in T_ {x} ^ {*} M}$ , которые сопоставляют касательные векторы с действительными числами: ${ displaystyle omega _ {x}: T_ {x} M to mathbb {R}}$ . Эквивалентно дифференциальная 1-форма ${ Displaystyle omega in Gamma (T ^ {*} M)}$ отображает гладкое векторное поле ${ Displaystyle X in Gamma (TM)}$ к гладкой функции ${ Displaystyle омега (X) в C ^ { infty} (M)}$ .

Касательные пучки высших порядков

Поскольку касательное расслоение ${ displaystyle TM}$ само является гладким многообразием, касательное расслоение второго порядка может быть определен путем многократного применения конструкции касательного пучка:

{ Displaystyle Т ^ {2} М = Т (ТМ). ,}

В целом ${ Displaystyle к ^ { текст {th}}}$ касательный пучок порядка ${ displaystyle T ^ {k} M}$ можно определить рекурсивно как ${ Displaystyle Т влево (Т ^ {к-1} М вправо)}$ .

Гладкая карта ${ displaystyle f: M rightarrow N}$ имеет индуцированную производную, для которой касательное расслоение является подходящей областью и областью значений ${ displaystyle Df: TM rightarrow TN}$ . Точно так же касательные пучки более высокого порядка обеспечивают область определения и диапазон для производных более высокого порядка. ${ displaystyle D ^ {k} f: T ^ {k} M to T ^ {k} N}$ .

Отдельной, но родственной конструкцией являются жгуты на многообразии, которые представляют собой расслоения, состоящие из струи.

Каноническое векторное поле на касательном расслоении

На каждом касательном пучке ${ displaystyle TM}$ , рассматриваемое как само многообразие, можно определить каноническое векторное поле ${ displaystyle V: TM rightarrow T ^ {2} M}$ как диагональная карта на касательном пространстве в каждой точке. Это возможно, потому что касательное пространство векторного пространства W естественно продукт, ${ Displaystyle TW cong W times W,}$ поскольку само векторное пространство плоское и, следовательно, имеет естественное диагональное отображение ${ displaystyle W to TW}$ данный ${ Displaystyle ш mapsto (ш, ш)}$ под этой структурой продукта. Применение этой структуры продукта к касательному пространству в каждой точке и глобализация дает каноническое векторное поле. Неформально, хотя многообразие ${ displaystyle M}$ искривлен, каждое касательное пространство в точке ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle T_ {x} M приблизительно mathbb {R} ^ {n}}$ , является плоским, поэтому многообразие касательного расслоения ${ displaystyle TM}$ является локально продуктом изогнутого ${ displaystyle M}$ и квартира ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Таким образом, касательное расслоение касательного расслоения является локальным (используя ${ Displaystyle приблизительно}$ для «выбора координат» и ${ displaystyle cong}$ для «естественной идентификации»):

{ Displaystyle T (TM) приблизительно T (M times mathbb {R} ^ {n}) cong TM times T ( mathbb {R} ^ {n}) cong TM times ( mathbb { R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n})}

и карта ${ displaystyle TTM to TM}$ проекция на первые координаты:

{ displaystyle (TM to M) times ( mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}).}

Разделение первой карты по нулевому сечению и второй карты по диагонали дает каноническое векторное поле.

Если ${ Displaystyle (х, v)}$ местные координаты для ${ displaystyle TM}$ , векторное поле имеет выражение

{ displaystyle V = sum _ {i} left.v ^ {i} { frac { partial} { partial v ^ {i}}} right | _ {(x, v)}.}

Короче, ${ Displaystyle (х, v) mapsto (х, v, 0, v)}$ - первая пара координат не изменяется, потому что это секция связки, и это просто точка в базовом пространстве: последняя пара координат - это сама секция. Это выражение для векторного поля зависит только от ${ displaystyle v}$ , не на ${ displaystyle x}$ , поскольку естественным образом можно идентифицировать только касательные направления.

В качестве альтернативы рассмотрим скалярную функцию умножения:

{ displaystyle { begin {cases} mathbb {R} times TM to TM (t, v) longmapsto tv end {cases}}}

Производная этой функции по переменной ${ Displaystyle mathbb {R}}$ вовремя ${ displaystyle t = 1}$ это функция ${ displaystyle V: TM rightarrow T ^ {2} M}$ , которое является альтернативным описанием канонического векторного поля.

Существование такого векторного поля на ${ displaystyle TM}$ аналогичен каноническая одноформа на котангенсный пучок. Иногда ${ displaystyle V}$ также называется Векторное поле Лиувилля, или же радиальное векторное поле. С помощью ${ displaystyle V}$ можно охарактеризовать касательное расслоение. По сути, ${ displaystyle V}$ может быть охарактеризовано с помощью 4 аксиом, и если у многообразия есть векторное поле, удовлетворяющее этим аксиомам, то многообразие является касательным расслоением, а векторное поле - каноническим векторным полем на нем. См., Например, De León et al.

Лифты

Есть разные способы поднимать объекты на ${ displaystyle M}$ в объекты на ${ displaystyle TM}$ . Например, если ${ displaystyle gamma}$ кривая в ${ displaystyle M}$ , тогда ${ displaystyle gamma '}$ (в касательная из ${ displaystyle gamma}$ ) - кривая в ${ displaystyle TM}$ . Напротив, без дальнейших предположений о ${ displaystyle M}$ (скажем, Риманова метрика ) аналогичного подъема в котангенсный пучок.

В вертикальный подъемник функции ${ displaystyle f: M rightarrow mathbb {R}}$ это функция ${ displaystyle f ^ { vee}: TM rightarrow mathbb {R}}$ определяется ${ displaystyle f ^ { vee} = f circ pi}$ , куда ${ displaystyle pi: TM rightarrow M}$ - каноническая проекция.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Непересекающееся объединение гарантирует, что для любых двух точек Икс₁ и Икс₂ коллектора ${ displaystyle M}$ касательные пространства Т₁ и Т₂ не имеют общего вектора. Это графически показано на прилагаемом рисунке для касательного пучка окружностей. S¹, видеть Примеры сечение: все касательные к окружности лежат в плоскости окружности. Чтобы они не пересекались, необходимо выровнять их в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности.

внешняя ссылка

[disjoint-1] а ^б Непересекающееся объединение гарантирует, что для любых двух точек Икс₁ и Икс₂ коллектора ${ displaystyle M}$ касательные пространства Т₁ и Т₂ не имеют общего вектора. Это графически показано на прилагаемом рисунке для касательного пучка окружностей. S¹, видеть Примеры сечение: все касательные к окружности лежат в плоскости окружности. Чтобы они не пересекались, необходимо выровнять их в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности.

[примечание 1]