Групповой изоморфизм - Group isomorphism

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Групповой изоморфизм»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В абстрактная алгебра, а групповой изоморфизм это функция между двумя группы который устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами групп таким образом, чтобы уважать заданные групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, то группы называются изоморфный. С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении.

Определение и обозначения

Учитывая две группы (грамм, ∗) и (ЧАС, ${displaystyle odot}$), а групповой изоморфизм из (грамм, ∗) на (ЧАС, ${displaystyle odot}$) это биективный групповой гомоморфизм из грамм к ЧАС. Прояснено, это означает, что изоморфизм групп является биективной функцией ${displaystyle f: Gightarrow H}$ такой, что для всех ты и v в грамм он считает, что

${displaystyle f (u * v) = f (u) odot f (v)}$.

Две группы (грамм, ∗) и (ЧАС, ${displaystyle odot}$) изоморфны, если существует изоморфизм от одного к другому. Это написано:

${displaystyle (G, *) cong (H, odot)}$

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции недвусмысленны, они опускаются и пишется:

${displaystyle Gcong H}$

Иногда можно даже просто написать грамм = ЧАС. Возможна ли такая запись без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, если обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. Также примеры.

И наоборот, учитывая группу (грамм, ∗), множество ЧАС, а биекция ${displaystyle f: Gightarrow H}$, мы можем сделать ЧАС группа (ЧАС, ${displaystyle odot}$) путем определения

${displaystyle f (u) odot f (v) = f (u * v)}$.

Если ЧАС = грамм и ${displaystyle odot}$ = ∗, то биекция является автоморфизмом (q.v.).

Интуитивно теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента грамм группы грамм, существует элемент час из ЧАС такой, что час "ведет себя так же" как грамм (работает с другими элементами группы так же, как грамм). Например, если грамм генерирует грамм, то так же час. Это, в частности, означает, что грамм и ЧАС находятся в биективном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп эквивалентно определяется как обратимый морфизм в категория групп, где обратимый здесь означает двусторонний обратный.

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительные числа с добавлением (${displaystyle mathbb {R}}$, +), изоморфна группе положительные действительные числа с умножением (${displaystyle mathbb {R}}$⁺,×):

${displaystyle (mathbb {R}, +) cong (mathbb {R} ^ {+}, imes)}$ через изоморфизм

${displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ (видеть экспоненциальная функция ).

• Группа ${displaystyle mathbb {Z}}$ из целые числа (с добавлением) является подгруппа из ${displaystyle mathbb {R}}$, а факторная группа ${displaystyle mathbb {R} / mathbb {Z}}$ изоморфна группе ${displaystyle S ^ {1}}$ из сложные числа из абсолютная величина 1 (с умножением):

${displaystyle mathbb {R} / mathbb {Z} cong S ^ {1}}$

• В Кляйн четыре группы изоморфен прямой продукт двух экземпляров ${displaystyle mathbb {Z} _ {2} = mathbb {Z} / 2mathbb {Z}}$ (видеть модульная арифметика ), и поэтому можно записать ${displaystyle mathbb {Z} _ {2} imes mathbb {Z} _ {2}}$. Другое обозначение - Dih₂, потому что это группа диэдра.
• Обобщая это, для всех странностей п, Ди_2п изоморфен прямой продукт Дих_п и Z₂.
• Если (грамм, ∗) является бесконечная циклическая группа, тогда (грамм, ∗) изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что набор всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.

Некоторые группы можно доказать изоморфностью, полагаясь на аксиома выбора, но в доказательстве не указывается, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа (${displaystyle mathbb {R}}$, +) изоморфна группе (${displaystyle mathbb {C}}$, +) всех сложные числа с добавлением.^[1]
• Группа (${displaystyle mathbb {C}}$^*, ·) Ненулевых комплексных чисел с умножением в качестве операции изоморфна группе S¹ упомянутый выше.

Характеристики

В ядро изоморфизма из (грамм, ∗) на (ЧАС, ${displaystyle odot}$), всегда {e_грамм} где e_грамм тождество группы (грамм, ∗)

Если (грамм, ∗) и (ЧАС, ${displaystyle odot}$) изоморфны, то грамм является абелевский если и только если ЧАС абелева.

Если ж является изоморфизмом из (грамм, ∗) на (ЧАС, ${displaystyle odot}$), то для любого а в грамм, то порядок из а равен порядку ж(а).

Если (грамм, ∗) и (ЧАС, ${displaystyle odot}$) изоморфны, то (грамм, ∗) есть локально конечная группа если и только если (ЧАС, ${displaystyle odot}$) локально конечна.

Количество различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка п дается последовательностью A000001 в OEIS. Первые несколько чисел - 0, 1, 1, 1 и 2, означающие, что 4 - это самый низкий порядок с более чем одной группой.

Циклические группы

Все циклические группы данного порядка изоморфны ${displaystyle (mathbb {Z} _ {n}, + _ {n})}$.

Позволять грамм циклическая группа и п быть порядком грамм. грамм тогда группа, порожденная ${displaystyle langle xangle = {e, x, ..., x ^ {n-1}}}$. Мы покажем, что

${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _ {n}, + _ {n})}$

Определять

${displaystyle varphi: Gightarrow mathbb {Z} _ {n} = {0,1, ..., n-1}}$, так что ${displaystyle varphi (x ^ {a}) = a}$. Четко, ${displaystyle varphi}$ биективен.

потом

${displaystyle varphi (x ^ {a} cdot x ^ {b}) = varphi (x ^ {a + b}) = a + b = varphi (x ^ {a}) + _ {n} varphi (x ^ { б})}$, что доказывает, что ${displaystyle Gcong (mathbb {Z} _ {n}, + _ {n})}$.

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм ${displaystyle f: Gightarrow H}$ отобразит элемент идентичности грамм к элементу идентичности ЧАС,

${displaystyle f (e_ {G}) = e_ {H}}$

что он будет отображать обратное на обратное,

${displaystyle f (u ^ {- 1}) = left [f (u) ight] ^ {- 1}}$

и в более общем плане пth полномочия пth полномочия,

${displaystyle f (u ^ {n}) = left [f (u) ight] ^ {n}}$

для всех ты в грамм, и обратное отображение ${displaystyle f ^ {- 1}: Hightarrow G}$ также является изоморфизмом групп.

Отношение «быть изоморфным» удовлетворяет всем аксиомам отношение эквивалентности. Если ж является изоморфизмом двух групп грамм и ЧАС, то все, что правда о грамм это относится только к структуре группы, может быть переведено через ж в истинное то же самое утверждение о ЧАС, наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм группы (грамм, ∗) к себе называется автоморфизм этой группы. Таким образом, это биекция ${displaystyle f: Gightarrow G}$ такой, что

${displaystyle f (u) * f (v) = f (u * v)}$.

Автоморфизм всегда отображает тождество на себя. Образ при автоморфизме класс сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же или другим). Изображение элемента имеет тот же порядок, что и этот элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и с помощью этой операции множество всех автоморфизмов группы грамм, обозначаемый Aut (грамм), образует группу, группа автоморфизмов из грамм.

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм, например в Кляйн четыре группы. Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна S₃ и Ди₃.

В Z_п для простого числа п, один неидентификационный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z_{п − 1}. Например, для п = 7, умножая все элементы Z₇ по 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку 3⁶ ≡ 1 (по модулю 7), а младшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z₆. Есть еще один автоморфизм с этим свойством: умножение всех элементов Z₇ на 5 по модулю 7. Значит, эти два соответствуют элементам 1 и 5 Z₆, в том же порядке или наоборот.

Группа автоморфизмов Z₆ изоморфна Z₂, потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает Z₆, поэтому помимо идентичности мы можем только поменять их местами.

Группа автоморфизмов Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ = Dih₂ ⊕ Z₂ имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все 7 неединичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся 6 может быть выбран, чтобы играть роль (0,1,0). Это определяет, что соответствует (1,1,0). Для (0,0,1) мы можем выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, мы имеем 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмы. Они соответствуют таковым из Самолет Фано, из которых 7 точек соответствуют 7 неединичным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: а, б, и c на одной строке означает а + б = c, а + c = б, и б + c = а. Смотрите также общая линейная группа над конечными полями.

Для абелевых групп все автоморфизмы, кроме тривиального, называются внешние автоморфизмы.

Неабелевы группы обладают нетривиальным внутренний автоморфизм группа, а также, возможно, внешние автоморфизмы.

Смотрите также

• Биекция

Рекомендации

• Герштейн, И. Н., Темы по алгебре, Wiley; 2-е издание (20 июня 1975 г.), ISBN  0-471-01090-1.