Копродукт - Coproduct

В теория категорий, то сопродукт, или же категоричная сумма, представляет собой конструкцию, которая включает в качестве примеров несвязный союз из наборы и топологических пространств, то бесплатный продукт из группы, а прямая сумма из модули и векторные пространства. Копродукт семейства объектов - это, по сути, «наименее специфический» объект, к которому каждый объект в семействе допускает морфизм. Это теоретико-категориальный двойное понятие к категориальный продукт, что означает, что определение такое же, как и у продукта, но со всеми стрелки наоборот. Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут и обычно сильно отличаются от продуктов.

Определение

Позволять C быть категория и разреши Икс₁ и Икс₂ быть объектами C. Объект называется копродуктом Икс₁ и Икс₂, написано Икс₁ ∐ Икс₂ или же Икс₁ ⊕ Икс₂, а иногда просто Икс₁ + Икс₂, если существуют морфизмы я₁ : Икс₁ → Икс₁ ∐ Икс₂ и я₂ : Икс₂ → Икс₁ ∐ Икс₂ удовлетворяющий следующим универсальная собственность: для любого объекта Y и любые морфизмы ж₁ : Икс₁ → Y и ж₂ : Икс₂ → Y существует единственный морфизм ж : Икс₁ ∐ Икс₂ → Y такой, что ж₁ = ж ∘ я₁ и ж₂ = ж ∘ я₂. То есть следующая диаграмма ездит на работу:

Уникальная стрела ж коммутируя эту диаграмму, можно обозначить ж₁ ∐ ж₂, ж₁ ⊕ ж₂, ж₁ + ж₂ или же [ж₁, ж₂]. Морфизмы я₁ и я₂ называются канонические инъекции, хотя они не должны быть инъекции или даже моник.

Определение копроизведения можно распространить на произвольное семья объектов, проиндексированных набором J. Копродукт семьи {Икс_j : j ∈ J} является объектом Икс вместе с коллекцией морфизмы я_j : Икс_j → Икс так что для любого объекта Y и любой набор морфизмов ж_j : Икс_j → Y, существует единственный морфизм ж из Икс к Y такой, что ж_j = ж ∘ я_j. То есть следующая диаграмма ездит на работу для каждого j в J:

Побочный продукт Икс семьи {Икс_j} часто обозначают ${ displaystyle coprod _ {j in J} X_ {j}}$ или же ${ displaystyle bigoplus _ {j in J} X_ {j}.}$

Иногда морфизм е: X → Y может быть обозначено ${ displaystyle coprod _ {j in J} f_ {j}}$ чтобы указать на его зависимость от человека ж_j с.

Примеры

Побочный продукт в категория наборов это просто несвязный союз с картами я_j будучи карты включения. В отличие от прямые продукты, не все копроизведения в других категориях, очевидно, основаны на понятии множеств, потому что союзы плохо себя ведут в отношении операций сохранения (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому копроизведения в разных категориях могут быть кардинально отличаются друг от друга. Например, побочный продукт в категория групп, называется бесплатный продукт, довольно сложно. С другой стороны, в категория абелевых групп (и в равной степени для векторные пространства ), копроизведение, называемое прямая сумма, состоит из элементов прямого продукта, которые имеют только конечно много ненулевых членов. (Следовательно, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)

Учитывая коммутативное кольцо р, попутный продукт в категория коммутативных р-алгебры это тензорное произведение. в категория (некоммутативная) р-алгебры, копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологические пространства копродукты - это непересекающиеся союзы со своими дизъюнктные объединенные топологии. То есть это несвязное объединение базовых множеств, и открытые наборы наборы открыть в каждом из пространств, в довольно очевидном смысле. В категории заостренные места, фундаментальный в теория гомотопии, побочным продуктом является сумма клина (что равносильно объединению набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

Несмотря на все это несходство, в основе всего этого есть несвязное объединение: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная "почти" несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим ноль), аналогично для векторных пространств: пространство охватывал «почти» несвязным союзом; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из подобного «почти непересекающегося» объединения, в котором никакие два элемента из разных наборов не могут коммутировать.

Копроизведение категории poset - это операция соединения.

Обсуждение

Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредел в теории категорий. Копродукт в категории ${ displaystyle C}$ можно определить как копредел любого функтор из дискретная категория ${ displaystyle J}$ в ${ displaystyle C}$ . Не в каждой семье ${ Displaystyle lbrace X_ {j} rbrace}$ будет иметь копроизведение в целом, но если это так, то копроизведение уникально в сильном смысле: если ${ displaystyle i_ {j}: X_ {j} rightarrow X}$ и ${ displaystyle k_ {j}: X_ {j} rightarrow Y}$ являются двумя продуктами семьи ${ Displaystyle lbrace X_ {j} rbrace}$ , то (по определению копроизведений) существует единственное изоморфизм ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ такой, что ${ displaystyle f circ i_ {j} = k_ {j}}$ для каждого ${ displaystyle j in J}$ .

Как и любой универсальная собственность, копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Позволять ${ displaystyle Delta: C rightarrow C times C}$ быть диагональный функтор который присваивает каждому объекту ${ displaystyle X}$ в упорядоченная пара ${ Displaystyle влево (Х, Х вправо)}$ и каждому морфизму ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ пара ${ Displaystyle влево (е, е вправо)}$ . Тогда побочный продукт ${ displaystyle X + Y}$ в ${ displaystyle C}$ задается универсальным морфизмом функтору ${ displaystyle Delta}$ от объекта ${ Displaystyle влево (X, Y вправо)}$ в ${ Displaystyle C раз C}$ .

Копродукт, индексируемый пустой набор (то есть пустой побочный продукт) то же самое, что и исходный объект в ${ displaystyle C}$ .

Если ${ displaystyle J}$ - это такой набор, что все копроизведения для семейств, индексированных ${ displaystyle J}$ существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом так, чтобы копроизведение превратилось в функтор ${ displaystyle C ^ {J} rightarrow C}$ . Побочный продукт семьи ${ Displaystyle lbrace X_ {j} rbrace}$ тогда часто обозначают

{ displaystyle coprod _ {j in J} X_ {j}}

и карты ${ displaystyle i_ {j}}$ известны как естественные инъекции.

Сдача ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} left (U, V right)}$ обозначим множество всех морфизмов из ${ displaystyle U}$ к ${ displaystyle V}$ в ${ displaystyle C}$ (это домашний набор в ${ displaystyle C}$ ), у нас есть естественный изоморфизм

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} left ( coprod _ {j in J} X_ {j}, Y right) cong prod _ {j in J} operatorname {Hom} _ {C} (X_ {j}, Y)}

предоставленный биекция который отображает каждый кортеж морфизмов

{ displaystyle (f_ {j}) _ {j in J} in prod _ {j in J} operatorname {Hom} (X_ {j}, Y)}

(продукт в Набор, то категория наборов, какой Декартово произведение, значит, это набор морфизмов) к морфизму

{ displaystyle coprod _ {j in J} f_ {j} in operatorname {Hom} left ( coprod _ {j in J} X_ {j}, Y right).}

Что эта карта сюрприз следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм ${ displaystyle f}$ является копроизведением кортежа

{ displaystyle (f circ i_ {j}) _ {j in J}.}

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, определяющей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный hom-функтор превращает побочные продукты в продукты. Другими словами, гом-функтор, рассматриваемый как функтор от противоположная категория ${ displaystyle C ^ { operatorname {op}}}$ к Набор непрерывно; он сохраняет пределы (попутный продукт в ${ displaystyle C}$ продукт в ${ displaystyle C ^ { operatorname {op}}}$ ).

Если ${ displaystyle J}$ это конечный набор, сказать ${ Displaystyle J = lbrace 1, ldots, п rbrace}$ , то копроизведение объектов ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ часто обозначается как ${ Displaystyle X_ {1} oplus ldots oplus X_ {n}}$ . Предположим, что все конечные копроизведения существуют в C, функторы копроизведения были выбраны, как указано выше, а 0 обозначает исходный объект из C соответствующий пустому копродукту. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы

{ Displaystyle X oplus (Y oplus Z) cong (X oplus Y) oplus Z cong X oplus Y oplus Z}

{ Displaystyle X oplus 0 cong 0 oplus X cong X}

{ Displaystyle X oplus Y cong Y oplus X.}

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноид; категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальная категория.

Если в категории есть нулевой объект ${ displaystyle Z}$ , то мы имеем уникальный морфизм ${ Displaystyle X rightarrow Z}$ (поскольку ${ displaystyle Z}$ является Терминал ) и, следовательно, морфизм ${ displaystyle X oplus Y rightarrow Z oplus Y}$ . С ${ displaystyle Z}$ также начальный, имеем канонический изоморфизм ${ Displaystyle Z oplus Y cong Y}$ как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы ${ Displaystyle X oplus Y rightarrow X}$ и ${ displaystyle X oplus Y rightarrow Y}$ , по которому мы выводим канонический морфизм ${ displaystyle X oplus Y rightarrow X times Y}$ . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма от любого конечного копроизведения к соответствующему произведению. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это правильный эпиморфизм пока в Набор_* (категория заостренные наборы ) это правильный мономорфизм. В любом предаддитивная категория, этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как побочный продукт. Категория со всеми конечными бипроизведениями называется полуаддитивная категория.

Если все семейства объектов индексируются ${ displaystyle J}$ иметь побочные продукты в ${ displaystyle C}$ , то копроизведение содержит функтор ${ displaystyle C ^ {J} rightarrow C}$ . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор ковариантный.

Смотрите также

внешняя ссылка

Интерактивная веб-страница который порождает примеры копроизведений в категории конечных множеств. Написано Джоселин Пейн.