Заппа – Сеп продукт - Zappa–Szép product

В математика, особенно теория групп, то Заппа – Сеп продукт (также известный как Произведение Заппа – Редеи – Сепа, общий продукт, вязать изделие или же точная факторизация) описывает способ, которым группа можно построить из двух подгруппы. Это обобщение непосредственный и полупрямые продукты. Он назван в честь Гвидо Заппа (1940) и Йено Сеп (1950), хотя он был независимо изучен другими, в том числе Б. Нейман (1935), Г.А. Миллер (1935) и Дж. де Сегье (1904).[1]

Внутренние продукты Zappa – Szép

Позволять грамм быть группой с элемент идентичности е, и разреши ЧАС и K быть подгруппами грамм. Следующие утверждения эквивалентны:

  • грамм = HK и ЧАС ∩ K = {е}
  • Для каждого грамм в грамм, существует единственный час в ЧАС и уникальный k в K такой, что g = hk.

Если выполняется одно из этих утверждений (а значит, и оба), то грамм считается внутренним Заппа – Сеп продукт из ЧАС и K.

Примеры

Позволять грамм = GL(п,C), общая линейная группа из обратимый п × п матрицы над сложные числа. Для каждой матрицы А в грамм, то QR-разложение утверждает, что существует уникальный унитарная матрица Q и уникальный верхнетреугольная матрица р с положительный настоящий записи на главном диагональ такой, что А = QR. Таким образом грамм является произведением Заппы – Сепа унитарная группа U(п) и группа (скажем) K верхнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами.

Одним из наиболее важных примеров этого является Филип Холл теорема 1937 г. о существовании Силовские системы за разрешимые группы. Это показывает, что каждая разрешимая группа является произведением Заппы – Сепа холлова п'-подгруппа и силовский п-подгруппа, и на самом деле группа является (многокомпонентным) произведением Заппы – Сепа некоторого множества представителей своих силовских подгрупп.

В 1935 г. Джордж Миллер показал, что любая нерегулярная транзитивная группа подстановок с регулярной подгруппой является произведением Заппы – Сепа регулярной подгруппы и стабилизатора точки. Он приводит PSL (2,11) и переменную группу степени 5 в качестве примеров, и, конечно, каждая переменная группа простой степени является примером. В этой же статье приводится ряд примеров групп, которые не могут быть реализованы как произведения Заппы – Сепа собственных подгрупп, таких как группа кватернионов и знакопеременная группа степени 6.

Внешние продукты Zappa – Szép

Как и в случае с прямым и полупрямым произведением, существует внешняя версия продукта Заппа – Сепа для неизвестных групп. априори быть подгруппами данной группы. Чтобы мотивировать это, позвольте грамм = HK - внутреннее произведение Заппы – Сепа подгрупп ЧАС и K группы грамм. Для каждого k в K и каждый час в ЧАС, существуют α (k,час) в ЧАС и β (k,час) в K такой, что кх = α (k,час) β (k,час). Это определяет сопоставления α: K × ЧАС → ЧАС и β: K × ЧАС → K которые, как оказалось, обладают следующими свойствами:

  • α (е,час) = час и β (k,е) = k для всех час в ЧАС и k в K.
  • α (k1 k2, h) = α (k1, α (k2, з))
  • β (k, час1 час2) = β (β (k, час1), час2)
  • α (k, час1 час2) = α (k, час1) α (β (k,час1),час2)
  • β (k1 k2, h) = β (k1, α (k2, з)) β (k2,час)

для всех час1, час2 в ЧАС, k1, k2 в K. Из них следует, что

  • Для каждого k в Kотображение час ↦ α (k,час) это биекция из ЧАС.
  • Для каждого час в ЧАСотображение k ↦ β (k,час) является биекцией K.

(Действительно, предположим, что α (k,час1) = α (k,час2). потом час1= α (k−1k,час1) = α (k−1, α (k,час1)) = α (k−1, α (k,час2))=час2. Это устанавливает инъективность, а для сюръективности используйте час= α (k, α (k−1,час)).)

Более кратко, первые три свойства выше утверждают отображение α: K × ЧАС → ЧАС это левое действие из K на ЧАС и что β: K × ЧАС → K это правильное действие из ЧАС на K. Если обозначить левое действие через час → kчас и правильное действие k → kчас, то последние два свойства составляют k(час1час2) = kчас1 kчас1час2 и (k1k2)час = k1k2часk2час.

Обернув это, предположим ЧАС и K группы (и пусть е обозначим единичный элемент каждой группы) и предположим, что существуют отображения α: K × ЧАС → ЧАС и β: K × ЧАС → K удовлетворяющие указанным выше свойствам. На декартово произведение ЧАС × K, определим умножение и отображение инверсии соответственно на

  • (час1, k1) (ч2, k2) = (h1 α (k1,час2), β (k1,час2) k2)
  • (ч, к)− 1 = (α (k− 1,час− 1), β (k− 1,час− 1))

потом ЧАС × K группа называется внешней Заппа – Сеп продукт групп ЧАС и K. В подмножества ЧАС × {е} и {е} × K подгруппы изоморфный к ЧАС и Kсоответственно и ЧАС × K фактически является внутренним произведением Заппы – Сепа ЧАС × {е} и {е} × K.

Отношение к полупрямым и прямым продуктам

Позволять грамм = HK - внутреннее произведение Заппы – Сепа подгрупп ЧАС и K. Если ЧАС является нормальный в грамм, то отображения α и β задаются формулами α (k,час) = k h k− 1 и β (k, час) = k. Это легко увидеть, потому что и поскольку по нормальности , . В этом случае, грамм является внутренним полупрямым продуктом ЧАС и K.

Если, кроме того, K нормально в грамм, то α (k,час) = час. В этом случае, грамм является внутренним прямым продуктом ЧАС и K.

Рекомендации

  1. ^ Мартин В. Либек; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок. American Mathematical Soc. С. 1–2. ISBN  978-0-8218-4654-4.