Универсальная собственность - Universal property

Типовая схема определения универсального морфизма.

В теория категорий, филиал математика, а универсальная собственность - важное свойство, которому удовлетворяет универсальный морфизм (см. Формальное определение). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно как начальные или конечные объекты из категория запятой (см. Связь с категориями запятых). Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и поэтому точная теоретико-категориальная концепция помогает указать на сходство между различными разделами математики, некоторые из которых могут даже показаться не связанными друг с другом.

Универсальные свойства могут неявно использоваться в других областях математики, но абстрактное и более точное определение их можно изучить в теории категорий.

В этой статье дается общее описание универсальных свойств. Чтобы понять концепцию, полезно сначала изучить несколько примеров, которых много: все бесплатные объекты, прямой продукт и прямая сумма, свободная группа, свободная решетка, Группа Гротендик, Завершение Дедекинда – МакНила, топология продукта, Каменно-чешская компактификация, тензорное произведение, обратный предел и прямой предел, ядро и коядро, откат, выталкивание и эквалайзер.

Мотивация

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предлагаем некоторые мотивы для изучения таких конструкций.

Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорная алгебра из векторное пространство на самом деле немного болезненно создавать, но использование его универсального свойства значительно упрощает работу.
Универсальные свойства определяют объекты однозначно, вплоть до уникального. изоморфизм.^[1] Следовательно, один из способов доказать, что два объекта изоморфны, - это показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
Универсальные конструкции имеют функториальный характер: если можно выполнить построение для каждого объекта категории C тогда получается функтор на C. Кроме того, этот функтор является правый или левый смежный к функтору U используется в определении универсального свойства.^[2]
Универсальные свойства встречаются в математике везде. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.

Формальное определение

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно посмотреть на примеры. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были определены после того, как математики начали замечать закономерность во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала не иметь смысла для человека, но станет ясным, когда его свяжут с конкретными примерами.

Позволять ${displaystyle F: C o D}$ быть функтором между категориями ${displaystyle C}$ и ${displaystyle D}$ . Далее пусть ${displaystyle X}$ быть объектом ${displaystyle D}$ , пока ${displaystyle A}$ и ${displaystyle A '}$ являются объектами ${displaystyle C}$ .

Таким образом, функтор ${displaystyle F}$ карты ${displaystyle A}$ , ${displaystyle A '}$ и ${displaystyle h}$ в ${displaystyle C}$ к ${displaystyle F (A)}$ , ${displaystyle F (A ')}$ и ${displaystyle F (h)}$ в ${displaystyle D}$ .

А универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle F}$ уникальная пара ${displaystyle (A, u: X o F (A))}$ в ${displaystyle D}$ который имеет следующее свойство, обычно называемое универсальная собственность. Для любого морфизма вида ${displaystyle f: X o F (A ')}$ в ${displaystyle D}$ , существует уникальный морфизм ${displaystyle h: A o A '}$ такая, что следующая диаграмма ездит на работу:

Мы можем дуализировать это категориальное понятие. А универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle X}$ уникальная пара ${displaystyle (A, u: F (A) o X)}$ который удовлетворяет следующему универсальному свойству. Для любого морфизма вида ${displaystyle f: F (A ') o X}$ в ${displaystyle D}$ , существует уникальный морфизм ${displaystyle h: A 'o A}$ такая, что коммутирует следующая диаграмма:

Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара ${displaystyle (A, u)}$ который ведет себя, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству.

В качестве примечания некоторые авторы представляют вторую диаграмму следующим образом.

Конечно, схемы такие же; Выбор способа написания - дело вкуса. Они просто отличаются поворотом на 180 градусов против часовой стрелки. Однако исходная диаграмма предпочтительнее, поскольку она иллюстрирует двойственность между двумя определениями, поскольку ясно, что стрелки в каждом случае меняются местами.

Связь с категориями запятых

Универсальные морфизмы можно описать более кратко как начальные и конечные объекты в категории запятых.

Позволять ${displaystyle F: C o D}$ быть функтором и ${displaystyle X}$ объект ${displaystyle D}$ . Затем напомним, что категория запятой ${displaystyle (Xdownarrow F)}$ это категория, в которой

Объекты - это пары формы ${displaystyle (B, f: X o F (B))}$ , куда ${displaystyle B}$ это объект в ${displaystyle C}$
Морфизм из ${displaystyle (B, f: X o F (B))}$ к ${displaystyle (B ', f': X o F (B '))}$ дается морфизмом ${displaystyle h: B o B '}$ в ${displaystyle C}$ такая, что диаграмма коммутирует:

Теперь предположим, что объект ${displaystyle (A, u: X o F (A))}$ в ${displaystyle (Xdownarrow F)}$ начальный. Тогда для каждого объекта ${displaystyle (A ', f: X o F (A'))}$ , существует единственный морфизм ${displaystyle h: A o A '}$ такая, что коммутирует следующая диаграмма.

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы одинаковы. Также обратите внимание, что диаграмма в правой части равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная при определении универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle F}$ . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle F}$ эквивалентно начальному объекту в категории запятой ${displaystyle Xdownarrow F}$ .

Напротив, напомним, что категория запятой ${displaystyle (Fdownarrow X)}$ это категория, в которой

Объекты - это пары формы ${displaystyle (B, f: F (B) o X)}$ куда ${displaystyle B}$ это объект в ${displaystyle C}$
Морфизм из ${displaystyle (B, f: F (B) o X)}$ к ${displaystyle (B ', f': F (B ') o X)}$ дается морфизмом ${displaystyle h: B o B '}$ в ${displaystyle C}$ такая, что диаграмма коммутирует:

Предполагать ${displaystyle (A, u: F (A) o X)}$ является конечным объектом в ${displaystyle (Fdownarrow X)}$ . Тогда для каждого объекта ${displaystyle (A ', f: F (A') o X)}$ , существует единственный морфизм ${displaystyle h: A 'o A}$ такие, что коммутируют следующие диаграммы.

Диаграмма справа от равенства - это та же диаграмма, что и при определении универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle X}$ . Следовательно, универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle X}$ соответствует конечному объекту в категории запятой ${displaystyle Fdownarrow X}$ .

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, чтобы осветить общую идею. Читатель может построить множество других примеров, ознакомившись со статьями, упомянутыми во введении.

Тензорные алгебры

Позволять ${displaystyle C}$ быть категория векторных пространств ${displaystyle K}$ -Вект через поле ${displaystyle K}$ и разреши ${displaystyle D}$ быть категорией алгебры ${displaystyle K}$ -Alg над ${displaystyle K}$ (предполагается, что единый и ассоциативный ). Позволять

{displaystyle U}

: ${displaystyle K}$ -Alg → ${displaystyle K}$ -Вект

быть забывчивый функтор который присваивает каждой алгебре соответствующее ей векторное пространство.

Учитывая любые векторное пространство ${displaystyle V}$ над ${displaystyle K}$ мы можем построить тензорная алгебра ${displaystyle T (V)}$ . Тензорная алгебра характеризуется тем, что:

«Любая линейная карта из

{displaystyle V}

к алгебре

{displaystyle A}

можно однозначно расширить до гомоморфизм алгебр из

{displaystyle T (V)}

к

{displaystyle A}

.”

Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку выражает тот факт, что пара ${displaystyle (T (V), i)}$ , куда ${displaystyle i: V o U (T (V))}$ отображение включения, универсальный морфизм из векторного пространства ${displaystyle V}$ к функтору ${displaystyle U}$ .

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства ${displaystyle V}$ , заключаем, что ${displaystyle T}$ является функтором от ${displaystyle K}$ -Вект к ${displaystyle K}$ -Alg. Это означает, что ${displaystyle T}$ является левый смежный забывчивому функтору ${displaystyle U}$ (см. раздел ниже о отношение к присоединенным функторам ).

Товары

А категориальный продукт можно охарактеризовать универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассмотреть Декартово произведение в Набор, то прямой продукт в Grp, или топология продукта в Вершина, где есть товары.

Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ быть объектами категории ${displaystyle D}$ с конечными продуктами. Продукт ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ это объект ${displaystyle X}$ × ${displaystyle Y}$ вместе с двумя морфизмами

{displaystyle pi _ {1}}

:

{displaystyle X imes Y o X}

{displaystyle pi _ {2}}

:

{displaystyle X imes Y o Y}

так что для любого другого объекта ${displaystyle Z}$ из ${displaystyle D}$ и морфизмы ${displaystyle f: Z o X}$ и ${displaystyle g: Z o Y}$ существует уникальный морфизм ${displaystyle h: Z o X imes Y}$ такой, что ${displaystyle f = pi _ {1} circ h}$ и ${displaystyle g = pi _ {2} circ h}$ .

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмем категорию ${displaystyle C}$ быть Категория продукта ${displaystyle D imes D}$ и определить диагональный функтор

{displaystyle Delta: C o C imes C}

к ${displaystyle Delta (X) = (X, X)}$ и ${displaystyle Delta (f: X o Y) = (f, f)}$ . потом ${displaystyle (X imes Y, (pi _ {1}, pi _ {2}))}$ универсальный морфизм из ${displaystyle Delta}$ к объекту ${displaystyle (X, Y)}$ из ${displaystyle D imes D}$ : если ${displaystyle (f, g)}$ есть ли какой-либо морфизм из ${displaystyle (Z, Z)}$ к ${displaystyle (X, Y)}$ , то он должен быть морфизмом ${displaystyle Delta (h: Z o X imes Y) = (h, h)}$ из ${displaystyle Delta (Z) = (Z, Z)}$ к ${displaystyle Delta (X imes Y) = (X imes Y, X imes Y)}$ с последующим ${displaystyle (pi _ {1}, pi _ {2})}$ .

Пределы и коллимиты

Категориальные продукты - это особый вид предел в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.

Позволять ${displaystyle J}$ и ${displaystyle C}$ быть категориями с ${displaystyle J}$ а маленький категория индекса и разреши ${displaystyle C ^ {J}}$ быть соответствующим категория функторов. В диагональный функтор

{displaystyle Delta: C o C ^ {J}}

это функтор, который отображает каждый объект ${displaystyle N}$ в ${displaystyle C}$ к постоянному функтору ${displaystyle Delta (N): J o C}$ к ${displaystyle N}$ (т.е. ${displaystyle Delta (N) (X) = N}$ для каждого ${displaystyle X}$ в ${displaystyle J}$ ).

Учитывая функтор ${displaystyle F: J o C}$ (мыслится как объект в ${displaystyle C ^ {J}}$ ), предел из ${displaystyle F}$ , если он существует, есть не что иное, как универсальный морфизм из ${displaystyle Delta}$ к ${displaystyle F}$ . Вдвойне копредел из ${displaystyle F}$ универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle Delta}$ .

Характеристики

Существование и уникальность

Определение количества не гарантирует его существования. Учитывая функтор ${displaystyle F: C o D}$ и объект ${displaystyle X}$ из ${displaystyle C}$ , может существовать или не существовать универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle F}$ . Если же универсальный морфизм ${displaystyle (A, u)}$ действительно существует, то он по сути уникален. В частности, это уникальный вплоть до а уникальный изоморфизм: если ${displaystyle (A ', u')}$ - другая пара, то существует единственный изоморфизм ${displaystyle k: A o A '}$ такой, что ${displaystyle u '= F (k) circ u}$ Это легко увидеть, подставив ${displaystyle (A, u ')}$ в определении универсального морфизма.

Это пара ${displaystyle (A, u)}$ что по сути уникально в этом смысле. Предмет ${displaystyle A}$ сам по себе только с точностью до изоморфизма. Действительно, если ${displaystyle (A, u)}$ универсальный морфизм и ${displaystyle k: A o A '}$ есть любой изоморфизм, то пара ${displaystyle (A ', u')}$ , куда ${displaystyle u '= F (k) circ u}$ также универсальный морфизм.

Эквивалентные составы

Определение универсального морфизма можно перефразировать по-разному. Позволять ${displaystyle F: C o D}$ быть функтором и пусть ${displaystyle X}$ быть объектом ${displaystyle D}$ . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

${displaystyle (A, u)}$ универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle F}$
${displaystyle (A, u)}$ является исходный объект из категория запятой ${displaystyle (Xdownarrow F)}$
${displaystyle (A, u)}$ это представление из ${displaystyle {ext {Hom}} _ {D} (X, F (-))}$

Двойные утверждения также эквивалентны:

${displaystyle (A, u)}$ универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle X}$
${displaystyle (A, u)}$ это конечный объект категории запятая ${displaystyle (Fdownarrow X)}$
${displaystyle (A, u)}$ представляет собой представление ${displaystyle {ext {Hom}} _ {D} (F (-), X)}$

Отношение к присоединенным функторам

Предполагать ${displaystyle (A_ {1}, u_ {1})}$ универсальный морфизм из ${displaystyle X_ {1}}$ к ${displaystyle F}$ и ${displaystyle (A_ {2}, u_ {2})}$ универсальный морфизм из ${displaystyle X_ {2}}$ к ${displaystyle F}$ . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма ${displaystyle h: X_ {1} o X_ {2}}$ существует уникальный морфизм ${displaystyle g: A_ {1} o A_ {2}}$ такая, что коммутирует следующая диаграмма:

Если каждый объект ${displaystyle X_ {i}}$ из ${displaystyle D}$ допускает универсальный морфизм ${displaystyle F}$ , то присвоение ${displaystyle X_ {i} mapsto A_ {i}}$ и ${displaystyle hmapsto g}$ определяет функтор ${displaystyle G: D o C}$ . Карты ${displaystyle u_ {i}}$ затем определить естественная трансформация из ${displaystyle 1_ {C}}$ (функтор тождества на ${displaystyle C}$ ) к ${displaystyle Fcirc G}$ . Функторы ${displaystyle (F, G)}$ тогда пара присоединенные функторы, с ${displaystyle G}$ слева примыкает к ${displaystyle F}$ и ${displaystyle F}$ право-прилегающий к ${displaystyle G}$ .

Аналогичные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из ${displaystyle F}$ . Если такие морфизмы существуют для каждого ${displaystyle X}$ в ${displaystyle C}$ получается функтор ${displaystyle G: C o D}$ которая сопряжена справа с ${displaystyle F}$ (так ${displaystyle F}$ слева сопряжена с ${displaystyle G}$ ).

Действительно, таким образом все пары сопряженных функторов возникают из универсальных конструкций. Позволять ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$ - пара сопряженных функторов с единицей ${displaystyle eta}$ и совместное предприятие ${displaystyle epsilon}$ (см. статью о присоединенные функторы для определений). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в ${displaystyle C}$ и ${displaystyle D}$ :

Для каждого объекта ${displaystyle X}$ в ${displaystyle C}$ , ${displaystyle (F (X), eta _ {X})}$ универсальный морфизм из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle G}$ . То есть для всех ${displaystyle f: X o G (Y)}$ существует уникальный ${displaystyle g: F (X) o Y}$ для которых коммутируют следующие диаграммы.
Для каждого объекта ${displaystyle Y}$ в ${displaystyle D}$ , ${displaystyle (G (Y), eta _ {Y})}$ универсальный морфизм из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle Y}$ . То есть для всех ${displaystyle g: F (X) o Y}$ существует уникальный ${displaystyle f: X o G (Y)}$ для которых коммутируют следующие диаграммы.

Универсальные конструкции более общие, чем сопряженные пары функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта ${displaystyle C}$ (эквивалентно, каждый объект ${displaystyle D}$ ).

История

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьер Самуэль в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки. Близкое понятие сопряженных функторов было независимо введено Даниэль Кан в 1958 г.

Смотрите также

Примечания

^ Джейкобсон (2009), предложение 1.6, с. 44.
^ См., Например, Polcino & Sehgal (2002), стр. 133. Упражнение 1 об универсальном свойстве групповые кольца.

внешняя ссылка

nLab, вики-проект по математике, физике и философии с упором на п-категориальная точка зрения
Андре Жоял, CatLab, вики-проект, посвященный изложению категориальной математики
Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264: Цитировать журнал требует | журнал = (помощь) формальное введение в теорию категорий.
Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактная и конкретная категории - радость кошек
Стэнфордская энциклопедия философии: "Категория Теория "- Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
Список научных конференций по теории категорий
Баэз, Джон, 1996 г. "Сказка о п-категории. "Неформальное знакомство с категориями высшего порядка.
WildCats пакет теории категорий для Mathematica. Манипуляция и визуализация объектов, морфизмы, категории, функторы, естественные преобразования, универсальные свойства.
Кошки, YouTube-канал о теории категорий.
«Теория категорий». PlanetMath.
Видео архив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
Интерактивная веб-страница который порождает примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.

[1] Джейкобсон (2009), предложение 1.6, с. 44.

[2] См., Например, Polcino & Sehgal (2002), стр. 133. Упражнение 1 об универсальном свойстве групповые кольца.

[1]

[2]