Прямой продукт - Direct product - Wikipedia

В математика, часто можно определить прямой продукт объектов уже известных, даем новый. Это обобщает Декартово произведение лежащих в основе наборы вместе с соответствующим образом определенной структурой набора продуктов. Более абстрактно говорят о продукт в теории категорий, что формализует эти понятия.

Примеры - продукт наборов, группы (описано ниже), кольца, и другие алгебраические структуры. В товар из топологические пространства еще один пример.^{[сомнительный – обсуждать]}

Также есть прямая сумма - в некоторых областях это используется взаимозаменяемо, а в других это другое понятие.

Примеры

Если мы подумаем о ${ Displaystyle mathbb {R}}$ как набор действительных чисел, то прямое произведение ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ это просто декартово произведение ${ Displaystyle {(х, у) середина х, у в mathbb {R} }}$ .
Если мы подумаем о ${ Displaystyle mathbb {R}}$ как группа действительных чисел при сложении, то прямое произведение ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ все еще есть ${ Displaystyle {(х, у) середина х, у в mathbb {R} }}$ как его базовый набор. Разница между этим и предыдущим примером заключается в том, что ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ теперь группа, и поэтому мы также должны сказать, как добавлять их элементы. Это делается путем определения ${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ .
Если мы подумаем о ${ Displaystyle mathbb {R}}$ как звенеть действительных чисел, то прямое произведение ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ снова имеет ${ Displaystyle {(х, у) середина х, у в mathbb {R} }}$ как его базовый набор. Кольцо кольцевой структуры состоит из сложения, определяемого формулой ${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ и умножение определяется ${ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac, bd)}$ .
Однако если мы подумаем о ${ Displaystyle mathbb {R}}$ как поле действительных чисел, то прямое произведение ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R}}$ не существует - наивное определение сложения и умножения покомпонентно, как в приведенном выше примере, не приведет к появлению поля, поскольку элемент ${ displaystyle (1,0)}$ не имеет мультипликативный обратный.

Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R}}$ . Это основано на том факте, что прямой продукт ассоциативный вплоть до изоморфизм. То есть, ${ Displaystyle (А раз В) раз С конг А раз (В раз С)}$ для любых алгебраических структур ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , и ${ displaystyle C}$ такого же вида. Прямой продукт также коммутативный с точностью до изоморфизма, т.е. ${ Displaystyle А раз В конг В раз А}$ для любых алгебраических структур ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ такого же вида. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетно много копий ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , который мы запишем как ${ Displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times dotsb}$ .

Групповой прямой продукт

В теория групп можно определить прямое произведение двух групп (грамм, ∘) и (ЧАС, ∙), обозначаемый грамм × ЧАС. За абелевы группы которые записываются аддитивно, его также можно назвать прямая сумма двух групп, обозначаемый ${ Displaystyle G oplus H}$ .

Это определяется следующим образом:

то набор элементов новой группы Декартово произведение наборов элементов грамм и ЧАС, то есть {(грамм, час): грамм ∈ грамм, час ∈ ЧАС};
над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно:
(грамм, час) × (грамм', час' ) = (грамм ∘ грамм', час ∙ час')

(Обратите внимание, что (грамм, ∘) может быть таким же, как (ЧАС, ∙))

Эта конструкция дает новую группу. Оно имеет нормальная подгруппа изоморфен грамм (задается элементами формы (грамм, 1)), а один изоморфен ЧАС (состоящий из элементов (1, час)).

Верно и обратное, имеет место следующая теорема распознавания: если группа K содержит две нормальные подгруппы грамм и ЧАС, так что K= GH и пересечение грамм и ЧАС содержит только личность, тогда K изоморфен грамм × ЧАС. Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямой продукт.

В качестве примера возьмем как грамм и ЧАС две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C₂: say {1, а} и {1, б}. потом C₂×C₂ = {(1,1), (1,б), (а,1), (а,б)} с операцией поэлементно. Например, (1,б)*(а,1) = (1*а, б*1) = (а,б) и (1,б)*(1,б) = (1,б²) = (1,1).

С прямым продуктом мы получаем натуральный гомоморфизмы групп бесплатно: карты проекций определяются

{ displaystyle { begin {align} pi _ {1}: G times H to G, pi _ {1} (g, h) & = g pi _ {2}: G times H to H, pi _ {2} (g, h) & = h end {выровнено}}}

называется координатные функции.

Кроме того, каждый гомоморфизм ж к прямому продукту полностью определяется его составными функциями ${ displaystyle f_ {i} = pi _ {i} circ f}$ .

Для любой группы (грамм, ∘) и любое целое число п ≥ 0, повторное применение прямого продукта дает группу всех п-кортежи грамм^п (за п = 0 получаем тривиальная группа ), Например Z^п и р^п.

Прямое произведение модулей

Непосредственный продукт для модули (не путать с тензорное произведение ) очень похож на то, что определено для групп выше, используя декартово произведение с операцией сложения, выполняемой покомпонентно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с р мы получили Евклидово пространство р^п, прототипический пример реального п-мерное векторное пространство. Прямое произведение р^м и р^п является р^м+п.

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса ${ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$ идентичен прямая сумма ${ Displaystyle bigoplus _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$ . Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теория категорий: прямая сумма - это сопродукт, а прямой продукт - это продукт.

Например, рассмотрим ${ Displaystyle X = prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle Y = bigoplus _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {R}}$ , бесконечное прямое произведение и прямая сумма действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов находятся в Y. Например, (1,0,0,0, ...) находится в Y но (1,1,1,1, ...) нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении Икс; по факту, Y является собственным подмножеством Икс (то есть, Y ⊂ Икс).^[1]^[2]

Прямое произведение топологического пространства

Непосредственный продукт для сбора топологические пространства Икс_я за я в я, некоторый набор индексов, снова использует декартово произведение

{ displaystyle prod _ {i in I} X_ {i}.}

Определение топология немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто принять как основа открытых множеств как совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

{ displaystyle { mathcal {B}} = {U_ {1} times cdots times U_ {n} | U_ {i} mathrm {open in} X_ {i} }. }

Эта топология называется топология продукта. Например, прямое определение топологии продукта на р² открытыми наборами р (непересекающиеся объединения открытых интервалов), основу этой топологии составили бы все непересекающиеся объединения открытых прямоугольников на плоскости (как оказывается, она совпадает с обычным метрика топология).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными (т. Е. Удовлетворяют категориальному критерию определение продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем в качестве основы открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечного числа открытых подмножеств весь фактор:

{ Displaystyle { mathcal {B}} = left { prod _ {я in I} U_ {i} { Big |} ( существует j_ {1}, ldots, j_ {n} ) (U_ {j_ {i}} mathrm {open in} X_ {j_ {i}}) mathrm {и} ( forall i neq j_ {1}, ldots, j_ {n }) (U_ {i} = X_ {i}) right }.}

В этом случае более естественной топологией было бы взятие произведений бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересную топологию: коробчатая топология. Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с товарной топологией) хороши с точки зрения сохранения свойств своих факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Тот последний, названный Теорема Тихонова, является еще одним эквивалентом аксиома выбора.

Дополнительные свойства и эквивалентные составы см. В отдельной записи. топология продукта.

Прямое произведение бинарных отношений

О декартовом произведении двух множеств с бинарные отношения R и S определим (а, б) Т (c, d) в качестве арc и бSd. Если R и S оба рефлексивный, иррефлексивный, переходный, симметричный, или же антисимметричный, то T будет также.^[3] Комбинируя свойства, следует, что это также относится к тому, чтобы быть Предварительный заказ и будучи отношение эквивалентности. Однако если R и S полные отношения, T не является общей суммой.

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если Σ - фиксированная подпись, я - произвольное (возможно, бесконечное) множество индексов, а (А_я)_я∈я является индексированная семья алгебр Σ, прямой продукт А = ∏_я∈я А_я является Σ-алгеброй, определяемой следующим образом:

Набор вселенной А из А - декартово произведение множеств вселенной А_я из А_я, формально: А = ∏_я∈я А_я;
Для каждого п и каждый псимвол операции ж ∈ Σ, его интерпретация ж^А в А определяется покомпонентно, формально: для всех а₁, ..., а_п ∈ А и каждый я ∈ я, то яй компонент ж^А(а₁, ..., а_п) определяется как ж^А_я(а₁(я), ..., а_п(я)).

Для каждого я ∈ я, то я-я проекция π_я : А → А_я определяется π_я(а) = а(я). Это сюръективный гомоморфизм между Σ-алгебрами А и А_я.^[4]

В частном случае, если индекс установлен я = { 1, 2 }, прямое произведение двух Σ алгебр А₁ и А₂ получается, записывается как А = А₁ × А₂. Если Σ содержит только одну бинарную операцию ж, то над определение прямого произведения групп получено с использованием обозначений А₁ = грамм, А₂ = ЧАС, ж^А₁ = ∘, ж^А₂ = ∙, и ж^А = ×. Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт

Непосредственный продукт можно абстрагировать до произвольного категория. В общей категории, учитывая набор объектов А_я и коллекция морфизмы п_я из А к А_я^{[требуется разъяснение ]} с я ранжирование в некотором наборе индексов я, объект А считается категориальный продукт в категории if для любого объекта B и любой набор морфизмов ж_я из B к А_я, существует единственный морфизм ж из B к А такой, что ж_я = p_я ж и этот объект А уникален. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольно (даже бесконечно) многих.

Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего произвольного набора групп грамм_я за я в я, я индексный набор. Обозначая декартово произведение групп через грамм мы определяем умножение на грамм с операцией покомпонентного умножения; и соответствующий п_я в приведенном выше определении - это карты проекции

{ displaystyle pi _ {i} двоеточие G to G_ {i} quad mathrm {by} quad pi _ {i} (g) = g_ {i}}

,

функции, которые принимают ${ displaystyle (g_ {j}) _ {j in I}}$ к его яй компонент грамм_я.

Внутренний и внешний прямой продукт

Некоторые авторы проводят различие между внутренний прямой продукт и внешний прямой продукт. Если ${ displaystyle A, B subset X}$ и ${ Displaystyle A раз B cong X}$ , то мы говорим, что Икс является внутренний прямой продукт А и B, а если А и B не подобъекты, то мы говорим, что это внешний прямой продукт.

Метрика и норма

Метрика на декартовом произведении метрических пространств и норма на прямом произведении нормированных векторных пространств может быть определена различными способами, см., Например, p-норма.

Смотрите также

Примечания

^ В., Вайсштейн, Эрик. «Прямой продукт». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-02-10.
^ В., Вайсштейн, Эрик. «Групповой Директ Продукт». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-02-10.
^ Эквивалентность и порядок
^ Стэнли Н. Беррис и Х.П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Здесь: Def.7.8, стр.53 (= стр.67 в файле pdf)