Презентация группы - Presentation of a group

В математика, а презентация это один из способов определения группа. Презентация группы г состоит из набора S из генераторы- чтобы каждый элемент группы мог быть записан как произведение мощностей некоторых из этих образующих - и множества р из связи среди тех генераторов. Затем мы говорим г есть презентация

{ displaystyle langle S mid R rangle.}

Неофициально г имеет указанное выше представление, если это "самая свободная группа", созданная S при условии только отношений р. Формально группа г считается, что имеет указанную выше презентацию, если это изоморфный к частное из свободная группа на S посредством нормальная подгруппа, порожденная отношения р.

В качестве простого примера циклическая группа порядка п есть презентация

{ displaystyle langle a mid a ^ {n} = 1 rangle,}

где 1 - групповая идентичность. Это может быть записано эквивалентно как

{ displaystyle langle a mid a ^ {n} rangle,}

благодаря соглашению, согласно которому термины, не содержащие знака равенства, считаются равными идентичности группы. Такие термины называются родственники, отличая их от отношений, в которых есть знак равенства.

У каждой группы есть презентация, и на самом деле много разных презентаций; презентация часто является наиболее компактным способом описания структуры группы.

Тесно связанная, но другая концепция - это концепция абсолютное представление группы.

Задний план

А свободная группа на съемочной площадке S это группа, в которой каждый элемент может быть однозначно описывается как произведение конечной длины в форме:

{ displaystyle s_ {1} ^ {a_ {1}} s_ {2} ^ {a_ {2}} cdots s_ {n} ^ {a_ {n}}}

где s_я элементы S, смежные s_я различны, и а_я ненулевые целые числа (но п может быть нулевым). Говоря менее формально, группа состоит из слов в образующих и их обратные, при условии только отмены генератора с соседним вхождением его инверсии.

Если г любая группа, и S является порождающим подмножеством г, то каждый элемент г также имеет указанную выше форму; но в целом эти продукты не будут однозначно описать элемент г.

Например, группа диэдра D₈ шестнадцатого порядка могут быть созданы вращением, р, порядка 8; и флип, ж, порядка 2; и, конечно, любой элемент из D₈ продукт р's и ж'с.

Однако у нас есть, например, $rfr = ж$ , $р 7 = р -1$ и т. д., поэтому такие продукты не уникальный в D₈. Каждая такая эквивалентность продукта может быть выражена как равенство идентичности, например

RFRF = 1

,

р 8 = 1

, или

ж ‍ 2 = 1

.

Неформально мы можем рассматривать эти продукты в левой части как элементы свободной группы $F = < р, ж >$ , и можно рассматривать подгруппу р из F который генерируется этими строками; каждый из которых также будет эквивалентен 1, если рассматривать его как продукты в D₈.

Если мы тогда позволим N быть подгруппой F генерируется всеми конъюгатами Икс⁻¹Rx из р, то по определению следует, что каждый элемент N конечный продукт Икс₁⁻¹р₁Икс₁ ... Икс_м⁻¹р_м Икс_м членов таких конъюгатов. Отсюда следует, что каждый элемент N, когда рассматривается как продукт в D₈, также будет оцениваться в 1; и таким образом N нормальная подгруппа F. Таким образом, D₈ изоморфен факторгруппа $F / N$ . Затем мы говорим, что D₈ есть презентация

{ displaystyle langle r, f mid r ^ {8} = 1, f ^ {2} = 1, (rf) ^ {2} = 1 rangle.}

Здесь набор генераторов $S = {р, ж$ }, а набор отношений равен $р = {р 8 = 1, ж 2 = 1, (рф) 2 = 1}$ . Мы часто видим р сокращенно, давая представление

{ displaystyle langle r, f mid r ^ {8} = f ^ {2} = (rf) ^ {2} = 1 rangle.}

Еще более короткая форма отбрасывает знаки равенства и идентичности, чтобы перечислить только набор отношений, который ${р 8, ж 2, (рф) 2}$ . Это дает презентацию

{ displaystyle langle r, f mid r ^ {8}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} rangle.}

Все три презентации эквивалентны.

Обозначение

Хотя обозначение $⟨ S | р ⟩$ Используемый в этой статье для презентации сейчас является наиболее распространенным, более ранние авторы использовали разные варианты одного и того же формата. К таким обозначениям относятся следующие:^{[нужна цитата ]}

$⟨ S | р ⟩$
$(S | р)$
${S; р$ }
$⟨ S; р ⟩$

Определение

Позволять S быть набором и пусть F_S быть свободная группа на S. Позволять р быть набором слова на S, так р естественно дает подмножество ${ displaystyle F_ {S}}$ . Сформировать группу с презентацией ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ , возьмите частное ${ displaystyle F_ {S}}$ наименьшей нормальной подгруппой, содержащей каждый элемент р. (Эта подгруппа называется нормальное закрытие N из р в ${ displaystyle F_ {S}}$ .) Группа ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ тогда определяется как факторгруппа

{ displaystyle langle S mid R rangle = F_ {S} / N.}

Элементы S называются генераторы из ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ и элементы р называются родственники. Группа г как говорят, есть презентация ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ если г изоморфен ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ .^[1]

Реляторы обычно пишут в форме ${ displaystyle x = y}$ где Икс и у слова на S. Это означает, что ${ displaystyle y ^ {- 1} x in R}$ . Это интуитивно означает, что изображения Икс и у должны быть равны в фактор-группе. Так, например, р^п в списке отношений эквивалентен ${ Displaystyle г ^ {п} = 1}$ .^[1]

Для конечной группы г, можно построить презентацию г от таблица умножения группы, следующим образом. Взять S быть установленными элементами ${ displaystyle g_ {i}}$ из г и р быть всеми словами формы ${ displaystyle g_ {i} g_ {j} g_ {k} ^ {- 1}}$ , где ${ displaystyle g_ {i} g_ {j} = g_ {k}}$ это запись в таблице умножения.

Альтернативное определение

В качестве альтернативы определение группового представления может быть переработано с точки зрения классы эквивалентности слов по алфавиту ${ Displaystyle S чашка S ^ {- 1}}$ . С этой точки зрения мы объявляем два слова эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью последовательности ходов, где каждый ход состоит из добавления или удаления следующей пары. ${ displaystyle xx ^ {- 1}}$ или ${ displaystyle x ^ {- 1} x}$ для некоторых $Икс$ в $S$ , или путем добавления или удаления последовательной копии отношения. Элементы группы - это классы эквивалентности, а групповая операция - это конкатенация.^[1]

Эта точка зрения особенно распространена в области комбинаторная теория групп.

Конечно представленные группы

Презентация называется конечно порожденный если S конечно и конечно связанный если р конечно. Если оба конечны, это называется конечное представление. Группа это конечно порожденный (соответственно конечно связанный, конечно представленный), если у него есть конечно порожденное представление (соответственно конечно связанное, конечное представление). Группа, имеющая конечное представление с одним отношением, называется группа с одним отношением.

Рекурсивно представленные группы

Если S индексируется набором я состоящий из всех натуральных чисел N или их конечное подмножество, то легко настроить простое кодирование один к одному (или Гёделевская нумерация ) ж : F_S → N из бесплатной группы на S к натуральным числам, так что мы можем найти алгоритмы, которые, учитывая ж(ш), вычислить ш, и наоборот. Затем мы можем назвать подмножество U из F_S рекурсивный (соответственно рекурсивно перечислимый ) если ж(U) рекурсивно (соответственно рекурсивно перечислимо). Если S индексируется, как указано выше, и р рекурсивно перечислимым, то представление является рекурсивное представление и соответствующая группа рекурсивно представленный. Такое использование может показаться странным, но это можно доказать, если у группы есть презентация с р рекурсивно перечислимый, тогда у него есть еще один с р рекурсивный.

Каждая конечно представленная группа представлена рекурсивно, но есть рекурсивно представленные группы, которые не могут быть конечно представлены. Однако теорема Грэм Хигман утверждает, что конечно порожденная группа имеет рекурсивное представление тогда и только тогда, когда она может быть вложена в конечно определенную группу. Отсюда можно сделать вывод, что существуют (с точностью до изоморфизма) только счетно множество конечно порожденных рекурсивно представленных групп. Бернхард Нойманн показал, что есть бесчисленно много неизоморфных двух образующих групп. Следовательно, существуют конечно порожденные группы, которые не могут быть представлены рекурсивно.

История

Одно из первых представлений группы генераторов и отношений было сделано ирландским математиком. Уильям Роуэн Гамильтон в 1856 г. икозианское исчисление - презентация группа икосаэдров.^[2]Первое систематическое исследование было проведено Вальтер фон Дейк, студент Феликс Кляйн, в начале 1880-х гг., заложив основы комбинаторная теория групп.^[3]

Примеры

В следующей таблице приведены некоторые примеры презентаций для часто изучаемых групп. Обратите внимание, что в каждом случае возможно множество других презентаций. Перечисленная презентация не обязательно является наиболее эффективной из возможных.

Группа	Презентация	Комментарии
то свободная группа на S	${ displaystyle langle S mid varnothing rangle}$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что не подчиняется никаким отношениям.
C_п, то циклическая группа порядка п	${ displaystyle langle a mid a ^ {n} rangle}$
D_п, то группа диэдра порядка 2п	${ displaystyle langle r, f mid r ^ {n}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} rangle}$	Вот р представляет собой вращение и ж отражение
D_∞, то бесконечная диэдральная группа	${ displaystyle langle r, f mid f ^ {2}, (rf) ^ {2} rangle}$
Dic_п, то дициклическая группа	${ displaystyle langle r, f mid r ^ {2n}, r ^ {n} = f ^ {2}, frf ^ {- 1} = r ^ {- 1} rangle}$	В группа кватернионов это особый случай, когда п = 2
Z × Z	${ displaystyle langle x, y mid xy = yx rangle}$
Z/мZ × Z/пZ	${ displaystyle langle x, y mid x ^ {m}, y ^ {n}, xy = yx rangle}$
то свободная абелева группа на S	${ displaystyle langle S mid R rangle}$ где р это набор всех коммутаторы элементов S
S_п, то симметричная группа на п символы	генераторы: ${ displaystyle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1}}$ связи: ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {2} = 1}$ , ${ displaystyle sigma _ {i} sigma _ {j} = sigma _ {j} sigma _ {i} { mbox {if}} j neq i pm 1}$ , ${ Displaystyle sigma _ {я} sigma _ {я + 1} sigma _ {я} = sigma _ {я + 1} sigma _ {я} sigma _ {я + 1} }$ Последний набор отношений можно преобразовать в ${ Displaystyle {( sigma _ {я} sigma _ {я + 1}}) ^ {3} = 1 }$ с помощью ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {2} = 1}$ .	Вот σ_я это перестановка, которая меняет местами яth элемент с я+1 один. Продукт σ_яσ_я+1 является 3-циклом на множестве {я, я+1, я+2}.
B_п, то группы кос	генераторы: ${ displaystyle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1}}$ связи: ${ displaystyle sigma _ {i} sigma _ {j} = sigma _ {j} sigma _ {i} { mbox {if}} j neq i pm 1}$ , ${ Displaystyle sigma _ {я} sigma _ {я + 1} sigma _ {я} = sigma _ {я + 1} sigma _ {я} sigma _ {я + 1} }$	Обратите внимание на сходство с симметричной группой; единственное отличие состоит в удалении отношения ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {2} = 1}$ .
Т ≅ А₄, то тетраэдрическая группа	${ displaystyle langle s, t mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {3} rangle}$
O ≅ S₄, то октаэдрическая группа	${ displaystyle langle s, t mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {4} rangle}$
I ≅ A₅, то группа икосаэдров	${ displaystyle langle s, t mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {5} rangle}$
Q₈, то группа кватернионов	${ Displaystyle langle i, j mid jij = i, iji = j rangle ,}$	Для альтернативной презентации см. Dic_п над.
SL (2, Z)	${ displaystyle langle a, b mid aba = bab, (aba) ^ {4} rangle}$	топологически а и б можно представить как Ден скручивает на тор
GL (2, Z)	${ displaystyle langle a, b, j mid aba = bab, (aba) ^ {4}, j ^ {2}, (ja) ^ {2}, (jb) ^ {2} rangle}$	нетривиальный Z/2Z – расширение группы SL (2, Z)
PSL (2, Z), модульная группа	${ displaystyle langle a, b mid a ^ {2}, b ^ {3} rangle}$	PSL (2, Z) это бесплатный продукт циклических групп Z/2Z и Z/3Z
Группа Гейзенберга	${ displaystyle langle x, y, z mid z = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}, xz = zx, yz = zy rangle}$
BS (м, п), Группы Баумслага – Солитера	${ displaystyle langle a, b mid a ^ {n} = ba ^ {m} b ^ {- 1} rangle}$
Группа синицы	${ displaystyle langle a, b mid a ^ {2}, b ^ {3}, (ab) ^ {13}, [a, b] ^ {5}, [a, bab] ^ {4}, ((ab) ^ {4} ab ^ {- 1}) ^ {6} rangle}$	[а, б] это коммутатор

Пример конечно порожденная группа который не имеет окончательного представления, является венок ${ Displaystyle mathbf {Z} wr mathbf {Z}}$ группы целые числа с собой.

Некоторые теоремы

Теорема. У каждой группы есть презентация.

Чтобы увидеть это, учитывая группу г, рассмотрим свободную группу F_г на г. Посредством универсальная собственность свободных групп существует единственная групповой гомоморфизм $φ: F г \to г$ чье ограничение на г это тождественная карта. Позволять K быть ядро этого гомоморфизма. потом K нормально в F_г, поэтому равно его нормальному закрытию, поэтому $⟨ г | K ⟩ = F г / K$ . Поскольку тождественное отображение сюръективно, φ также сюръективен, поэтому Первая теорема об изоморфизме, $⟨ г | K ⟩ ≅ им (φ) = г$ . Эта презентация может быть крайне неэффективной, если оба г и K намного больше, чем необходимо.

Следствие. Каждая конечная группа имеет конечное представление.

В качестве образующих можно взять элементы группы, а Стол Кэли для отношений.

Теорема Новикова – Буна.

Отрицательное решение проблема слов для групп утверждает, что существует конечное представление $⟨ S | р ⟩$ для которого не существует алгоритма, который при двух словах ты, v, решает, будет ли ты и v описать один и тот же элемент в группе. Это было показано Петр Новиков в 1955 г.^[4] и другое доказательство было получено Уильям Бун в 1958 г.^[5]

Конструкции

Предположим г есть презентация $⟨ S | р ⟩$ и ЧАС есть презентация $⟨ Т | Q ⟩$ с участием S и Т быть несвязным. потом

то бесплатный продукт $г * ЧАС$ есть презентация $⟨ S, Т | р, Q ⟩$ и
то прямой продукт $г \times ЧАС$ есть презентация $⟨ S, Т | р, Q, [S, Т]⟩$ , где [S, Т] означает, что каждый элемент из S коммутирует с каждым элементом из Т (ср. коммутатор ).

Дефицит

В недостаток конечного представления $⟨ S | р ⟩$ просто $| S | - | р |$ и недостаток конечно представленной группы г, обозначается def (г), это максимум дефицита по всем представлениям г. Дефицит конечной группы неположителен. В Мультипликатор Шура конечной группы г может быть сгенерировано −def (г) генераторы, и г является эффективный если этот номер требуется.^[6]

Геометрическая теория групп

Представление группы определяет геометрию в смысле геометрическая теория групп: у одного есть Граф Кэли, который имеет метрика, называется слово метрика. Это также два результирующих приказа: слабый порядок и Заказ Брюа, и соответствующие Диаграммы Хассе. Важный пример находится в Группы Кокстера.

Далее, некоторые свойства этого графа ( грубая геометрия ) являются внутренними, то есть независимыми от выбора генераторов.

Смотрите также

Заметки

^ ^а ^б ^c Пайфер, Дэвид (1997). "Введение в комбинаторную теорию групп и проблему слов". Математический журнал. 70 (1): 3–10. Дои:10.1080 / 0025570X.1997.11996491.
^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF). Философский журнал. 12: 446.
^ Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история. Springer. п.374. ISBN 978-0-387-95336-6.
^ Новиков, Петр С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. В. А. Стеклова. (по-русски), 44: 1–143, Zbl 0068.01301
^ Бун, Уильям У. (1958), "Слово проблема" (PDF), Труды Национальной академии наук, 44 (10): 1061–1065, Дои:10.1073 / pnas.44.10.1061, ЧВК 528693, PMID 16590307, Zbl 0086.24701
^ Johnson, D.L .; Робертсон, Э. (1979). «Конечные группы нулевого дефицита». В Уолл, C.T.C. (ред.). Гомологическая теория групп. Серия лекций Лондонского математического общества. 36. Издательство Кембриджского университета. С. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl 0423.20029.

использованная литература

Кокстер, Х. С. М.; Мозер, В. О. Дж. (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. - В этом полезном справочнике есть таблицы представлений всех малых конечных групп, групп отражений и т. Д.
Джонсон, Д. Л. (1997). Презентации групп (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58542-2. - метод Шрайера, метод Нильсена, бесплатные представления, подгруппы и расширения HNN, Теорема Голода – Шафаревича., так далее.
Симс, Чарльз С. (1994). Вычисление с конечно представленными группами (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13507-8. - фундаментальные алгоритмы из теоретической информатики, вычислительной теории чисел, вычислительной коммутативной алгебры и т. Д.

внешние ссылки

[Peifer-1] а ^б ^c Пайфер, Дэвид (1997). "Введение в комбинаторную теорию групп и проблему слов". Математический журнал. 70 (1): 3–10. Дои:10.1080 / 0025570X.1997.11996491.

[2] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF). Философский журнал. 12: 446.

[stillwell374-3] Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история. Springer. п.374. ISBN 978-0-387-95336-6.

[4] Новиков, Петр С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. В. А. Стеклова. (по-русски), 44: 1–143, Zbl 0068.01301

[5] Бун, Уильям У. (1958), "Слово проблема" (PDF), Труды Национальной академии наук, 44 (10): 1061–1065, Дои:10.1073 / pnas.44.10.1061, ЧВК 528693, PMID 16590307, Zbl 0086.24701

[6] Johnson, D.L .; Робертсон, Э. (1979). «Конечные группы нулевого дефицита». В Уолл, C.T.C. (ред.). Гомологическая теория групп. Серия лекций Лондонского математического общества. 36. Издательство Кембриджского университета. С. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl 0423.20029.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]