Равномерный звездный многогранник - Uniform star polyhedron - Wikipedia
В геометрия, а однородный звездный многогранник самопересекающийся равномерный многогранник. Их также иногда называют невыпуклые многогранники подразумевать самопересечение. Каждый многогранник может содержать либо звездный многоугольник лица звездный многоугольник фигуры вершин или оба.
Полный набор из 57 непризматических однородных звездных многогранников включает 4 правильных, называемых Многогранники Кеплера – Пуансо, 5 квазирегулярный единиц и 48 полурегулярных.
Также есть два бесконечных набора однородные звездные призмы и однородные звездные антипризмы.
Так же, как (невырожденный) звездные многоугольники (который имеет Плотность полигонов больше 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися плитками, звездные многогранники, не проходящие через центр, имеют плотность многогранника больше 1, и соответствуют сферические многогранники с плиткой внахлест; таких однородных звездных многогранников 47 непризматических. Остальные 10 непризматических однородных звездных многогранников, проходящих через центр, являются гемиполиэдры а также Чудовище миллера, и не имеют четко определенной плотности.
Невыпуклые формы строятся из Треугольники Шварца.
Все равномерные многогранники перечислены ниже по их группы симметрии и подгруппированы по расположению вершин.
Правильные многогранники помечаются своими Символ Шлефли. Другие неоднородные однородные многогранники перечислены с указанием их конфигурация вершины.
Дополнительная цифра псевдо большой ромбокубооктаэдр, обычно не входит в состав действительно однородного звездного многогранника, несмотря на то, что он состоит из правильных граней и имеет одинаковые вершины.
Примечание. Для невыпуклых форм под дополнительным дескриптором Неоднородный используется, когда выпуклый корпус расположение вершин имеет ту же топологию, что и один из них, но имеет нерегулярные грани. Например, неоднородный косоугольный форма может иметь прямоугольники создается вместо краев, а не квадраты.
Двугранная симметрия
Видеть Призматический однородный многогранник.
Тетраэдрическая симметрия
Есть одна невыпуклая форма, тетрагемигексаэдр у которого есть тетраэдрическая симметрия (с основным доменом Треугольник Мебиуса (3 3 2)).
Есть два Треугольники Шварца образующие единственные невыпуклые равномерные многогранники: один прямоугольный треугольник (3⁄2 3 2) и один общий треугольник (3⁄2 3 3). Общий треугольник (3⁄2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр который дается далее с полным октаэдрическая симметрия.
| Расположение вершин (Выпуклый корпус ) | Невыпуклые формы | |
|---|---|---|
 Тетраэдр | ||
 Выпрямленный тетраэдр Октаэдр |  4.3⁄2.4.3 3⁄2 3 | 2 | |
 Усеченный тетраэдр | ||
 Кантеллированный тетраэдр (Кубооктаэдр ) | ||
 Омнитусеченный тетраэдр (Усеченный октаэдр ) | ||
 Курносый тетраэдр (Икосаэдр ) | ||
Октаэдрическая симметрия
Есть 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых форм с октаэдрическая симметрия (с основным доменом Треугольник Мебиуса (4 3 2)).
Есть четыре Треугольники Шварца образующие невыпуклые формы, два прямоугольных треугольника (3⁄2 4 2) и (4⁄3 3 2) и два общих треугольника: (4⁄3 4 3), (3⁄2 4 4).
| Расположение вершин (Выпуклый корпус ) | Невыпуклые формы | ||
|---|---|---|---|
 Куб | |||
 Октаэдр | |||
 Кубооктаэдр |  6.4⁄3.6.4 4⁄3 4 | 3 |  6.3⁄2.6.3 3⁄2 3 | 3 | |
 Усеченный куб |  4.8⁄3.4⁄3.8⁄5 2 4⁄3 (3⁄2 4⁄2) | |  8⁄3.3.8⁄3.4 3 4 | 4⁄3 |  4.3⁄2.4.4 3⁄2 4 | 2 |
 Усеченный октаэдр | |||
 Ромбокубооктаэдр |  4.8.4⁄3.8 2 4 (3⁄2 4⁄2) | |  8.3⁄2.8.4 3⁄2 4 | 4 |  8⁄3.8⁄3.3 2 3 | 4⁄3 |
 Неоднородный усеченный кубооктаэдр |  4.6.8⁄3 2 3 4⁄3 | | ||
 Неоднородный усеченный кубооктаэдр |  8⁄3.6.8 3 4 4⁄3 | | ||
 Курносый куб | |||
Икосаэдрическая симметрия
Существует 8 выпуклых форм и 46 невыпуклых форм с икосаэдрическая симметрия (с основным доменом Треугольник Мебиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включить фигуру Скиллинга). Некоторые из невыпуклых курносых форм обладают отражающей вершинной симметрией.
Вырожденные случаи
Coxeter с помощью метода построения Wythoff идентифицировали ряд вырожденных звездных многогранников, которые содержат перекрывающиеся ребра или вершины. Эти вырожденные формы включают:
- Малый сложный икосододекаэдр
- Большой сложный икосододекаэдр
- Малый сложный ромбикосододекаэдр
- Большой сложный ромбикосододекаэдр
- Сложный ромбидодекадодекаэдр
Фигура Скиллинга
Еще один невыпуклый вырожденный многогранник - это большой дизнуб диргомбидодекаэдр, также известный как Фигура Скиллинга, который однороден по вершинам, но имеет пары ребер, совпадающих в пространстве, так что четыре грани пересекаются на некоторых ребрах. Он считается вырожденным однородным многогранником, а не однородным многогранником из-за его двойных ребер. Это ячас симметрия.
Смотрите также
- Звездный многоугольник
- Список равномерных многогранников
- Список равномерных многогранников треугольником Шварца
Рекомендации
- Кокстер, Х. С. М. (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 246 (916): 401–450. Дои:10.1098 / рста.1954.0003.
- Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.
- Брюкнер, М. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Лейпциг, Германия: Teubner, 1900. [1]
- Сопов, С. П. (1970), "Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников", Украинский Геометрический Сборник (8): 139–156, МИСТЕР 0326550
- Скиллинг, Дж. (1975), "Полный набор однородных многогранников", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки., 278: 111–135, Дои:10.1098 / рста.1975.0022, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, МИСТЕР 0365333
- Хар'Эль, З. Равномерное решение для равномерных многогранников., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Цви Хар'Эль, Программное обеспечение Kaleido, Изображений, двойные изображения
- Мэдер, Р. Э. Однородные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
- Мессер, Питер В. Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и двойников к ним., Дискретная и вычислительная геометрия, 27: 353-375 (2002).
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные однородные многогранники".