Подгруппа серии - Subgroup series

В математика, конкретно теория групп, а подгруппа серии из группа ${ displaystyle G}$ это цепь из подгруппы:

{ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq A_ {n} = G}

куда ${ displaystyle 1}$ это тривиальная подгруппа. Ряды подгрупп могут упростить изучение группы до изучения более простых подгрупп и их отношений, а также несколько серий подгрупп могут быть инвариантно определены и являются важными инвариантами групп. Ряд подгрупп используется в метод подгруппы.

Серии подгрупп являются частным примером использования фильтрации в абстрактная алгебра.

Определение

Нормальный ряд, субнормальный ряд

А субнормальный ряд (также нормальная серия, нормальная башня, субинвариантный ряд, или просто серии) из группа грамм это последовательность подгруппы, каждый нормальная подгруппа следующего. В стандартных обозначениях

{ displaystyle 1 = A_ {0} треугольникleft A_ {1} треугольникleft cdots треугольникleft A_ {n} = G.}

Нет требования, чтобы А_я нормальная подгруппа грамм, только нормальная подгруппа А_я +1. В факторгруппы А_я +1/А_я называются факторные группы серии.

Если вдобавок каждый А_я нормально в грамм, то серия называется нормальная серия, когда этот термин не используется в более слабом смысле, или инвариантный ряд.

Длина

Серия с дополнительным свойством, которое А_я ≠ А_я +1 для всех я называется серией без повторения; эквивалентно, каждый А_я собственная подгруппа в А_я +1. В длина серии - количество строгих включений А_я < А_я +1. Если в серии нет повторов, длина равна п.

Для субнормального ряда длина равна количеству нетривиальный факторные группы. Каждая (нетривиальная) группа имеет нормальный ряд длины 1, а именно ${ Displaystyle 1 треугольникleft G}$ , а любая собственная нормальная подгруппа дает нормальный ряд длины 2. Для простые группы, тривиальный ряд длины 1 является самым длинным возможным субнормальным рядом.

Восходящая серия, убывающая серия

Серии могут быть обозначены в любом порядке возрастания:

{ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq A_ {n} = G}

или по убыванию:

{ Displaystyle G = B_ {0} geq B_ {1} geq cdots geq B_ {n} = 1.}

Для данной конечной серии нет никакого различия между «восходящей серией» или «убывающей серией» за пределами обозначений. За бесконечный серии, однако, есть различие: восходящая серия

{ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq G}

имеет наименьший член, второй наименьший член и т. д., но не имеет наибольшего собственного члена, второго наибольшего члена и т. д., в то время как, наоборот, убывающий ряд

{ Displaystyle G = B_ {0} geq B_ {1} geq cdots geq 1}

имеет самый большой член, но не самый маленький собственный термин.

Кроме того, учитывая рекурсивную формулу для создания ряда, получаемые термины либо восходящие, либо нисходящие, и каждый называет результирующий ряд восходящим или нисходящим рядом соответственно. Например, производный ряд и нижний центральный ряд - нисходящие серии, а верхний центральный ряд это восходящий ряд.

Нётерские группы, Артинианские группы

Группа, удовлетворяющая условие возрастающей цепи (ACC) на подгруппах называется Группа Нётер, и группа, удовлетворяющая состояние нисходящей цепочки (DCC) называется Артинианская группа (не путать с Группы Артина ), по аналогии с Нётерские кольца и Артинианские кольца. ACC эквивалентен максимальное состояние: каждый непустой набор подгрупп имеет максимальный член, и DCC эквивалентен аналогичному минимальное условие.

Группа может быть нётерской, но не артинианской, например бесконечная циклическая группа, и в отличие от кольца, группа может быть артинианской, но не нётерской, например Prüfer group. Каждая конечная группа явно нётерова и артинова.

Гомоморфный изображений и подгруппы нётеровых групп нётеровы, а расширение из нётерской группы нётерской группой является нётерской. Аналогичные результаты справедливы для артиновых групп.

Нётеровы группы эквивалентно таковы, что каждая подгруппа конечно порожденный, что сильнее конечно порожденной группы: свободная группа на 2 или конечном количестве образующих конечно порожден, но содержит свободные группы бесконечного ранга.

Нетеровы группы не обязательно должны быть конечными расширениями полициклические группы.^[1]

Бесконечные и трансфинитные серии

Бесконечные ряды подгрупп также могут быть определены и возникают естественным образом, и в этом случае конкретные (полностью заказанный ) становится важным набор индексации, и существует различие между восходящими и нисходящими рядами. Восходящая серия ${ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq G}$ где ${ displaystyle A_ {i}}$ индексируются натуральные числа можно просто назвать бесконечный восходящий ряд, и наоборот для бесконечный убывающий ряд. Если подгруппы в более общем смысле индексируется порядковыми номерами, получаем трансфинитный ряд,^[2] например, этот восходящий ряд:

{ displaystyle 1 = A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq A _ { omega} leq A _ { omega +1} = G}

Учитывая рекурсивную формулу для создания ряда, можно определить трансфинитный ряд следующим образом: трансфинитная рекурсия определив серию в предельные порядковые номера к ${ displaystyle A _ { lambda}: = bigcup _ { alpha < lambda} A _ { alpha}}$ (для возрастающей серии) или ${ displaystyle A _ { lambda}: = bigcap _ { alpha < lambda} A _ { alpha}}$ (для убывающего ряда). Основными примерами этой конструкции являются трансфинитные нижний центральный ряд и верхний центральный ряд.

Другие полностью упорядоченные множества возникают редко, если вообще возникают, как индексирующие множества серий подгрупп.^{[нужна цитата ]} Например, можно определить, но редко можно увидеть встречающиеся в природе бибесконечные серии подгрупп (серии, индексированные целые числа ):

{ displaystyle 1 leq cdots leq A _ {- 1} leq A_ {0} leq A_ {1} leq cdots leq G}

Сравнение серий

А уточнение of a series - это другая серия, содержащая каждый из членов исходной серии. Две субнормальные серии называются эквивалент или же изоморфный если есть биекция между наборами их фактор-групп, так что соответствующие фактор-группы изоморфный. Уточнение дает частичный заказ на сериях с точностью до эквивалентности, и они образуют решетка, а субнормальные ряды и нормальные ряды образуют подрешетки. Существование супремума двух субнормальных серий - это Уточняющая теорема Шрайера. Особый интерес представляют максимальный серия без повтора.

Примеры

Максимальная серия

А серия композиций это максимальный субнормальный серии.

Эквивалентно субнормальный ряд, для которого каждый из А_я это максимальный нормальная подгруппа А_я +1. Эквивалентно, композиционный ряд - это нормальный ряд, для которого каждая из групп факторов просто.

А главный сериал это максимальный нормальный серии.

Решаемый и нильпотентный

А разрешимая группа, или разрешимая группа, это группа с субнормальным рядом, все фактор-группы которой абелевский.
А нильпотентный ряд субнормальный ряд такой, что последовательные частные нильпотентный.

Нильпотентный ряд существует тогда и только тогда, когда группа разрешимый.

А центральная серия субнормальный ряд такой, что последовательные частные центральный, т.е. с учетом вышеуказанного ряда, ${ Displaystyle А_ {я + 1} / А_ {я} substeq Z (G / A_ {я})}$ за ${ Displaystyle я = 0,1, ldots, п-2}$ .

Центральный ряд существует тогда и только тогда, когда группа нильпотентный.

Функциональная серия

Определены некоторые подгрупповые серии функционально, в терминах подгрупп, таких как центр, и операций, таких как коммутатор. К ним относятся:

п-серии

Есть ряды, происходящие из подгрупп первичного порядка степени или индекса первичной степени, связанные с такими идеями, как Силовские подгруппы.