Основная теорема о гомоморфизмах - Fundamental theorem on homomorphisms
В абстрактная алгебра, то основная теорема на гомоморфизмах, также известный как основная теорема о гомоморфизме, связывает структуру двух объектов, между которыми гомоморфизм дано, и ядро и образ гомоморфизма.
Теорема о гомоморфизме используется для доказательства теоремы об изоморфизме.
Теоретико-групповая версия
Учитывая два группы грамм и ЧАС и групповой гомоморфизм ж : грамм→ЧАС, позволять K быть нормальная подгруппа в грамм и φ естественное сюръективный гомоморфизм грамм→грамм/K (куда грамм/K это факторгруппа ). Если K это подмножество кер (ж), то существует единственный гомоморфизм час:грамм/K→ЧАС такой, что ж = час φ.
Другими словами, естественная проекция φ есть универсальный среди гомоморфизмов на грамм эта карта K к элементу идентичности.
Ситуация описывается следующим коммутативная диаграмма:
Установив K = ker (ж) сразу получаем первая теорема об изоморфизме.
Мы можем записать утверждение основной теоремы о гомоморфизмах групп в следующем виде: «Каждый гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе».
Другие версии
Аналогичные теоремы верны для моноиды, векторные пространства, модули, и кольца.
Смотрите также
Рекомендации
- Бичи, Джон А. (1999), "Теорема 1.2.7 (основная теорема о гомоморфизме)", Вводные лекции по кольцам и модулям, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 47, Cambridge University Press, стр. 27, ISBN 9780521644075.
- Гроув, Ларри К. (2012), "Теорема 1.11 (Теорема о фундаментальном гомоморфизме)", Алгебра, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135.
- Джейкобсон, Натан (2012), "Основная теорема о гомоморфизмах Ω-алгебр", Базовая алгебра II, Dover Books on Mathematics (2-е изд.), Courier Corporation, p. 62, ISBN 9780486135212.
- Роуз, Джон С. (1994), "3.24 Основная теорема о гомоморфизмах", Курс по теории групп [перепечатка оригинала 1978 года], Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, стр. 44–45, ISBN 0-486-68194-7, МИСТЕР 1298629.