Конформная геометрия - Conformal geometry

В математика, конформная геометрия является изучением множества сохраняющих угол (конформный ) преобразования на пространстве.

В реальном двумерном пространстве конформная геометрия - это в точности геометрия Римановы поверхности. В пространстве выше двух измерений конформная геометрия может относиться либо к изучению конформные преобразования так называемых "плоских пространств" (например, Евклидовы пространства или же сферы ), или к изучению конформные многообразия которые Риманов или же псевдоримановы многообразия с классом метрики которые определены в полном масштабе. Изучение плоских конструкций иногда называют Геометрия Мёбиуса, и является разновидностью Геометрия Клейна.

Конформные многообразия

А конформное многообразие это псевдориманово многообразие с классом эквивалентности метрические тензоры, в котором две метрики грамм и час эквивалентны тогда и только тогда, когда

${ displaystyle h = lambda ^ {2} g,}$

куда λ ценный гладкая функция определены на многообразии. Класс эквивалентности таких показателей известен как конформная метрика или же конформный класс. Таким образом, конформная метрика может рассматриваться как метрика, которая определяется только «с точностью до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики в конформном классе и применения к выбранной метрике только «конформно инвариантных» конструкций.

Конформная метрика - это конформно плоский если есть метрика, представляющая ее, которая плоская, в обычном смысле Тензор кривизны Римана исчезает. В конформном классе можно найти только такую ​​метрику, которая плоская в открытой окрестности каждой точки. Когда необходимо различать эти случаи, последний называется локально конформно плоский, хотя часто в литературе не проводится никаких различий. В п-сфера является локально конформно плоским многообразием, которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, которое покрывается открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. Локально конформно плоское многообразие локально конформно Геометрия Мёбиуса, что означает, что существует угол, сохраняющий локальный диффеоморфизм из многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В измерении п > 3 конформная метрика является локально конформно плоской тогда и только тогда, когда ее Тензор Вейля исчезает; в измерении п = 3, тогда и только тогда, когда Тензор хлопка исчезает.

Конформная геометрия имеет ряд особенностей, которые отличают ее от (псевдо) римановой геометрии. Во-первых, хотя в (псевдо) римановой геометрии у каждого есть четко определенная метрика в каждой точке, в конформной геометрии есть только класс метрик. Таким образом, длина касательный вектор не может быть определен, но угол между двумя векторами все еще может быть. Еще одна особенность в том, что нет Леви-Чивита связь потому что, если грамм и λ²грамм два представителя конформной структуры, то Символы Кристоффеля из грамм и λ²грамм не согласен. Те, кто связан с λ²грамм будет включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с грамм не стал бы.

Несмотря на эти различия, конформная геометрия по-прежнему поддается обработке. Связь Леви-Чивита и тензор кривизны, хотя и определяются только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, они удовлетворяют определенным законам преобразования, включающим λ и его производные при выборе другого представителя. В частности (в размерности больше 3) Тензор Вейля оказывается не зависеть от λ, так что это конформный инвариант. Более того, даже если на конформном многообразии нет связности Леви-Чивиты, вместо этого можно работать с конформная связь, который может рассматриваться как тип Картановое соединение смоделирована на соответствующей геометрии Мёбиуса, или как Связь Вейля. Это позволяет определить конформная кривизна и другие инварианты конформной структуры.

Геометрия Мёбиуса

Геометрия Мёбиуса - это исследование "Евклидово пространство с добавленной точкой на бесконечности "или"Пространство Минковского (или псевдоевклидово) с нулевой конус добавлено на бесконечности ". То есть настройка компактификация знакомого места; в геометрия обеспокоен последствиями сохранения углов.

На абстрактном уровне с евклидовым и псевдоевклидовым пространствами можно обращаться примерно одинаково, за исключением случая измерения два. Компактифицированный двумерный Самолет Минковского демонстрирует обширные конформные симметрия. Формально его группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости всего лишь 6-мерная.

Два измерения

Самолет Минковского

В конформная группа для квадратичной формы Минковского q(Икс, у) = 2ху в самолете абелевский Группа Ли

${ displaystyle operatorname {CSO} (1,1) = left { left. { begin {pmatrix} e ^ {a} & 0 0 & e ^ {b} end {pmatrix}} right | a , b in mathbb {R} right },}$

с Алгебра Ли cso(1, 1) состоящий из всех действительных диагоналей 2 × 2 матрицы.

Рассмотрим теперь плоскость Минковского ℝ² оснащен метрической

${ Displaystyle г = 2 , dx , dy ~.}$

Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле Икс со свойством, что производная Ли от грамм вдоль Икс пропорционально грамм. Символично,

L_Икс грамм = λg для некоторых λ.

В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso(1, 1), это означает, что

1. L_Икс  dx = а(Икс) dx
2. L_Икс  dy = б(у) dy

для некоторых действительных функций а и б в зависимости, соответственно, от Икс и у.

И наоборот, для любой такой пары действительных функций существует векторное поле Икс удовлетворяющие 1. и 2. Следовательно, Алгебра Ли бесконечно малых симметрий конформной структуры Алгебра Витта, является бесконечномерный.

Конформная компактификация плоскости Минковского представляет собой декартово произведение двух окружностей S¹ × S¹. На универсальный чехол, нет никаких препятствий для интегрирования бесконечно малых симметрий, поэтому группа конформных преобразований - это бесконечномерная группа Ли

${ displaystyle ( mathbb {Z} rtimes mathrm {Diff} (S ^ {1})) times ( mathbb {Z} rtimes mathrm {Diff} (S ^ {1})),}$

где Diff (S¹) это группа диффеоморфизмов круга.^[1]

Конформная группа CSO (1, 1) и его алгебра Ли актуальны в двумерная конформная теория поля.

Евклидово пространство

Координатная сетка до преобразования Мёбиуса

Та же сетка после преобразования Мёбиуса

Группа конформных симметрий квадратичной формы

${ displaystyle q (z, { bar {z}}) = z { bar {z}}}$

это группа GL₁(C) = C^×, то мультипликативная группа комплексных чисел. Его алгебра Ли gl₁(C) = C.

Рассмотрим (евклидову) комплексная плоскость оснащен метрической

${ displaystyle g = dz , d { bar {z}}.}$

Бесконечно малые конформные симметрии удовлетворяют

1. ${ Displaystyle mathbf {L} _ {X} , dz = f (z) , dz}$
2. ${ displaystyle mathbf {L} _ {X} , d { bar {z}} = f ({ bar {z}}) , d { bar {z}},}$

куда ж удовлетворяет Уравнение Коши – Римана, и так голоморфный над его доменом. (Видеть Алгебра Витта.)

Следовательно, конформные изометрии области состоят из голоморфных отображений в себя. В частности, о конформной компактификации - Сфера Римана - конформные преобразования задаются Преобразования Мебиуса

${ displaystyle z mapsto { frac {az + b} {cz + d}}}$

куда объявление − до н.э отличен от нуля.

Высшие измерения

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть довольно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Относительное отсутствие жесткости двумерного случая с случаем более высоких размерностей связано с аналитическим фактом, что асимптотическое развитие бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно неограниченно. В лоренцевой сигнатуре свобода заключается в паре вещественнозначных функций. В евклидовом языке свобода заключается в единственной голоморфной функции.

В случае более высоких размерностей асимптотическое развитие бесконечно малых симметрий является не более чем квадратичными многочленами.^[2] В частности, они образуют конечномерную Алгебра Ли. Точечно инфинитезимальные конформные симметрии многообразия можно проинтегрировать именно тогда, когда многообразие является определенной моделью конформно плоский Космос (вплоть до взяв универсальные накрытия и дискретные групповые факторы).^[3]

Общая теория конформной геометрии похожа, хотя и с некоторыми отличиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатуры.^[4] В любом случае есть несколько способов представить модельное пространство конформно плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, эта статья рассматривает случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что она также применима, mutatis mutandis, к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсивная модель

Инверсивная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований на Евклидово пространство E^п порожденные инверсией в сферах. К Теорема Лиувилля, любое сохраняющее угол локальное (конформное) преобразование имеет такой вид.^[5] С этой точки зрения трансформационные свойства плоского конформного пространства - это свойства инверсивная геометрия.

Проективная модель

Проективная модель отождествляет конформную сферу с определенным квадрика в проективное пространство. Позволять q обозначим лоренциан квадратичная форма на р^п+2 определяется

${ displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}) = - 2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2 } ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}.}$

В проективном пространстве п(р^п+2), позволять S быть местом q = 0. потом S - проективная (или мебиусовская) модель конформной геометрии. Конформное преобразование на S это проективное линейное преобразование из п(р^п+2), оставляющий квадрику инвариантной.

В родственной конструкции квадрика S считается небесная сфера в бесконечности нулевой конус в пространстве Минковского р^п+1,1, которая снабжена квадратичной формой q как указано выше. Нулевой конус определяется как

${ Displaystyle N = left {(x_ {0}, ldots, x_ {n + 1}) mid -2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = 0 right }.}$

Это аффинный конус над проективной квадрикой S. Позволять N⁺ быть будущей частью нулевого конуса (с удаленным источником). Тогда тавтологическая проекция р^п+1,1 ∖ {0} → п(р^п+2) ограничивается проекцией N⁺ → S. Это дает N⁺ структура линейный пакет над S. Конформные преобразования на S индуцируются ортохронные преобразования Лоренца из р^п+1,1, поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий нулевой конус.

Евклидова сфера

Интуитивно конформно плоская геометрия сферы менее жесткая, чем Риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы порождаются инверсией во всех ее гиперсферы. С другой стороны, римановы изометрии сферы порождаются инверсиями в геодезический гиперсферы (см. Теорема Картана – Дьедонне.) Евклидова сфера может быть отображена на конформную сферу каноническим способом, но не наоборот.

Евклидова единичная сфера - это геометрическое место в р^п+1

${ displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

Это может быть отображено в пространство Минковского р^п+1,1 позволяя

${ displaystyle x_ {0} = { frac {z + 1} { sqrt {2}}}, , x_ {1} = x_ {1}, , ldots, , x_ {n} = x_ {n}, , x_ {n + 1} = { frac {z-1} { sqrt {2}}}.}$

Легко видеть, что изображение сферы при этом преобразовании равно нулю в пространстве Минковского, поэтому оно лежит на конусе N⁺. Следовательно, он определяет сечение линейного пучка N⁺ → S.

Тем не менее, выбор был произвольный. Если κ(Икс) - любая положительная функция от Икс = (z, Икс₀, ..., Икс_п), то присвоение

${ displaystyle x_ {0} = { frac {z + 1} { kappa (x) { sqrt {2}}}}, , x_ {1} = x_ {1}, , ldots, , x_ {n} = x_ {n}, , x_ {n + 1} = { frac {(z-1) kappa (x)} { sqrt {2}}}}$

также дает отображение в N⁺. Функция κ произвольный выбор конформная шкала.

Репрезентативные показатели

Представитель Риманова метрика на сфере - это метрика, пропорциональная стандартной метрике сферы. Это дает реализацию сферы как конформное многообразие. Стандартная метрика сферы - это ограничение евклидовой метрики на р^п+1

${ displaystyle g = dz ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + cdots + dx_ {n} ^ {2}}$

в сферу

${ displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

Конформный представитель грамм является метрикой вида λ²грамм, куда λ положительная функция на сфере. Конформный класс грамм, обозначается [грамм], представляет собой совокупность всех таких представителей:

${ displaystyle [g] = left { lambda ^ {2} g mid lambda> 0 right }.}$

Вложение евклидовой сферы в N⁺, как и в предыдущем разделе, определяет конформную шкалу на S. И наоборот, любая конформная шкала на S дается таким вложением. Таким образом, линейный пучок N⁺ → S отождествляется с пучком конформных шкал на S: предоставить раздел этого пакета равносильно определению метрики в конформном классе [грамм].

Модель окружающей метрики

Другой способ реализовать репрезентативные показатели - использовать специальные система координат на р^{п+1, 1}. Предположим, что евклидово п-сфера S несет стереографическая система координат. Он состоит из следующей карты р^п → S ⊂ р^п+1:

${ displaystyle mathbf {y} in mathbf {R} ^ {n} mapsto left ({ frac {2 mathbf {y}} { left | mathbf {y} right | ^ {2) } +1}}, { frac { left | mathbf {y} right | ^ {2} -1} { left | mathbf {y} right | ^ {2} +1}} right ) in S subset mathbf {R} ^ {n + 1}.}$

В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N⁺ в пространстве Минковского. Используя приведенное выше вложение, репрезентативное метрическое сечение нулевого конуса равно

${ displaystyle x_ {0} = { sqrt {2}} { frac { left | mathbf {y} right | ^ {2}} {1+ left | mathbf {y} right | ^ {2}}}, x_ {i} = { frac {y_ {i}} { left | mathbf {y} right | ^ {2} +1}}, x_ {n + 1} = { sqrt {2}} { frac {1} { left | mathbf {y} right | ^ {2} +1}}.}$

Ввести новую переменную т соответствует расширению вверх N⁺, так что нулевой конус координируется

${ displaystyle x_ {0} = t { sqrt {2}} { frac { left | mathbf {y} right | ^ {2}} {1+ left | mathbf {y} right | ^ {2}}}, x_ {i} = t { frac {y_ {i}} { left | mathbf {y} right | ^ {2} +1}}, x_ {n + 1} = t { sqrt {2}} { frac {1} { left | mathbf {y} right | ^ {2} +1}}.}$

Наконец, пусть ρ быть следующей определяющей функцией N⁺:

${ displaystyle rho = { frac {-2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2) }} {t ^ {2}}}.}$

в т, ρ, у координаты на р^п+1,1, метрика Минковского принимает вид:

${ Displaystyle т ^ {2} g_ {ij} (y) , dy ^ {i} , dy ^ {j} +2 rho , dt ^ {2} + 2t , dt , d rho ,}$

куда грамм_ij - метрика на сфере.

В этих условиях раздел пакета N⁺ состоит из спецификации значения переменной т = т(у^я) как функция у^я вдоль нулевого конуса ρ = 0. Это дает следующего представителя конформной метрики на S:

${ displaystyle t (y) ^ {2} g_ {ij} , dy ^ {i} , dy ^ {j}.}$

Кляйнианская модель

Сначала рассмотрим случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. В п-мерная модель - это небесная сфера из (п + 2)-мерное лоренцево пространство р^п+1,1. Здесь модель Геометрия Клейна: а однородное пространство грамм/ЧАС куда грамм = SO (п + 1, 1) действуя на (п + 2)-мерное лоренцево пространство р^п+1,1 и ЧАС это группа изотропии фиксированного нулевого луча в световой конус. Таким образом, конформно плоские модели - это пространства инверсивная геометрия. Для псевдоевклидова метрическая подпись (п, q), плоская геометрия модели определяется аналогично как однородное пространство O (п + 1, q + 1)/ЧАС, куда ЧАС снова берется как стабилизатор нулевой линии. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельное пространство компактный.

Конформные алгебры Ли

Чтобы описать группы и алгебры, входящие в пространство плоской модели, зафиксируйте следующую форму на р^п+1,q+1:

${ displaystyle Q = { begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 0 & J & 0 - 1 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$

куда J является квадратичной формой подписи (п, q). потом грамм = O (п + 1, q + 1) состоит из (п + 2) × (п + 2) матрицы стабилизирующие Q : ^тMQM = Q. Алгебра Ли допускает Картановское разложение

${ displaystyle mathbf {g} = mathbf {g} _ {- 1} oplus mathbf {g} _ {0} oplus mathbf {g} _ {1}}$

куда

${ displaystyle mathbf {g} _ {- 1} = left { left. { begin {pmatrix} 0 & ^ {t} p & 0 0 & 0 & J ^ {- 1} p 0 & 0 & 0 end {pmatrix} } right | p in mathbb {R} ^ {n} right }, quad mathbf {g} _ {- 1} = left { left. { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 ^ {t} q & 0 & 0 0 & qJ ^ {- 1} & 0 end {pmatrix}} right | q in ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {*} right }}$

${ displaystyle mathbf {g} _ {0} = left { left. { begin {pmatrix} -a & 0 & 0 0 & A & 0 0 & 0 & a end {pmatrix}} right | A in { mathfrak { so}} (p, q), a in mathbb {R} right }.}$

С другой стороны, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на р^п ⊕ cso(п, q) ⊕ (р^п)^∗.

Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх на последний вектор координат, задается Подалгебра Бореля

час = грамм₀ ⊕ грамм₁.

Смотрите также

• Конформная эквивалентность
• Конформная геометрическая алгебра
• Конформная гравитация
• Конформное уравнение Киллинга
• Программа Эрланген
• Самолет Мебиуса

Примечания

Рекомендации

• Кобаяси, Шошичи (1970). Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Первое изд.). Springer. ISBN  3-540-05848-6.
• Slovák, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях. Записки исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация).
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии. Нью-Йорк: Челси. ISBN  0-8284-0316-3.

внешняя ссылка

• Г.В. Бушманова (2001) [1994], «Конформная геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm