Факторное пространство (топология) - Quotient space (topology)

Иллюстрация построения топологическая сфера как факторпространство диск, к склейка вместе в одну точку - точки (отмеченные синим цветом) границы диска.

В топология и смежные области математика, то факторное пространство из топологическое пространство под данным отношение эквивалентности - новое топологическое пространство, построенное путем наложения набор частных исходного топологического пространства с факторная топология, то есть с лучшая топология что делает непрерывный в каноническая проекционная карта (функция, которая отображает, указывает на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства есть открыто если и только если это прообраз при канонической проекции карта открывается в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицированный или «склеены» для образования нового топологического пространства. Например, определение точек сфера которые принадлежат тому же диаметр производит проективная плоскость как факторное пространство.

Определение

Позволять $(Икс, τ Икс)$ быть топологическое пространство, и разреши $~$ быть отношение эквивалентности на $Икс$ . В набор частных, $Y = Икс / ~$ это набор классы эквивалентности элементов $Икс$ . Как обычно, класс эквивалентности $Икс \in Икс$ обозначается $[Икс]$ .

В факторное пространство под $~$ фактормножество $Y$ оснащен факторная топология, это топология, открытые наборы являются подмножества $U \subseteq Y$ такой, что ${ Displaystyle {х в X: [х] в U }}$ открыт в $Икс$ . То есть,

{ displaystyle tau _ {Y} = left {U substeq Y: {x in X: [x] in U } in tau _ {X} right }.}

Эквивалентно, открытые множества фактор-топологии являются подмножествами $Y$ у которых есть открытый прообраз под сюръективным отображением $Икс \to [Икс]$ .

Фактор-топология - это окончательная топология на фактормножестве по отношению к отображению $Икс \to [Икс]$ .

Факторная карта

Карта ${ displaystyle f: от X до Y}$ это факторная карта (иногда называемый идентификационная карта) если это сюръективный, и подмножество U из Y открыто тогда и только тогда, когда ${ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ открыт. Эквивалентно, ${ displaystyle f}$ является факторной картой, если она находится на и ${ displaystyle Y}$ оснащен окончательная топология относительно ${ displaystyle f}$ .

Учитывая отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ на ${ displaystyle X}$ , каноническое отображение ${ displaystyle q: X to X / { sim}}$ - факторное отображение.

Примеры

Склейка. Топологи говорят о склейке точек. Если Икс является топологическим пространством, склеивающим точки Икс и у в Икс означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности а ~ б если и только если а = б или же а = Икс, б = у (или же а = у, б = Икс).
Рассмотрим единичный квадрат $я 2 = [0,1] \times [0,1]$ и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, таким образом отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. потом $я 2 /~$ является гомеоморфный к сфера $S 2$ .

Например,

{ Displaystyle [0,1] / {0,1 }}

гомеоморфен кругу

{ Displaystyle S ^ {1}}

.

Прилегающее пространство. В более общем плане предположим Икс это пространство и А это подпространство из Икс. Можно выделить все точки в А к одному классу эквивалентности и оставьте точки вне А эквивалентны только самим себе. Полученное фактор-пространство обозначается Икс/А. Тогда 2-сфера гомеоморфна закрытый диск с его границей, отождествляемой с единственной точкой: ${ Displaystyle D ^ {2} / partial {D ^ {2}}}$ .
Рассмотрим множество р из действительные числа с обычной топологией и напишите Икс ~ у если и только если Икс − у является целое число. Тогда фактор-пространство Икс/ ~ есть гомеоморфный к единичный круг S¹ через гомеоморфизм, который посылает класс эквивалентности Икс к exp (2πix).
Обобщение предыдущего примера следующее: предположим, что топологическая группа грамм действует непрерывно в пространстве Икс. Можно сформировать отношение эквивалентности на Икс говоря, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном орбита. Факторпространство при этом соотношении называется орбитальное пространство, обозначенный Икс/грамм. В предыдущем примере грамм = Z действует на р переводом. Пространство орбиты р/Z гомеоморфен S¹.

Примечание: Обозначение р/Z несколько неоднозначно. Если Z понимается как группа, действующая на р через сложение, затем частное это круг. Однако если Z рассматривается как подпространство р, то частное - счетно бесконечное букет кругов соединились в одной точке.

Характеристики

Факторные карты q : Икс → Y среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если Z любое топологическое пространство и ж : Y → Z - любая функция, то ж непрерывно тогда и только тогда, когда ж ∘ q непрерывно.

Характеристическое свойство фактор-топологии

Факторное пространство Икс/ ~ вместе с факторным отображением q : Икс → Икс/~ характеризуется следующими универсальная собственность: если грамм : Икс → Z - непрерывное отображение такое, что а ~ б подразумевает грамм(а) = грамм(б) для всех а и б в Икс, то существует единственное непрерывное отображение ж : Икс/~ → Z такой, что грамм = ж ∘ q. Мы говорим что грамм спускается к частному.

Непрерывные отображения, определенные на Икс/ ~ поэтому в точности те отображения, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на Икс которые уважают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий обильно используется при изучении факторпространств.

Учитывая непрерывную сюръекцию q : Икс → Y полезно иметь критерии, по которым можно определить, q - факторное отображение. Двумя достаточными критериями являются то, что q быть открыто или же закрыто. Обратите внимание, что эти условия только достаточный, нет необходимо. Легко построить примеры факторных отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп фактор-карта открыта.

Совместимость с другими топологическими понятиями

Разделение
- В общем, фактор-пространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Разделительные свойства Икс не обязательно наследовать Икс/ ~, и Икс/ ~ может иметь свойства разделения, не общие для Икс.
- Икс/ ~ - это Пространство T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности ~ замкнут в Икс.
- Если фактор-карта открыто, тогда Икс/ ~ - это Пространство Хаусдорфа тогда и только тогда, когда ~ - замкнутое подмножество пространство продукта Икс×Икс.
Связность
- Если пространство связано или путь подключен, то и все его факторпространства.
- Фактор-пространство односвязный или же стягиваемый пространство не обязательно должно разделять эти свойства.
Компактность
- Если пространство компактно, то все его фактор-пространства тоже.
- Фактор-пространство локально компактный пространство не обязательно должно быть локально компактным.
Измерение
- В топологическая размерность факторного пространства может быть больше (а также меньше) размерности исходного пространства; кривые, заполняющие пространство приведите такие примеры.

Смотрите также

Топология

Несвязное объединение (топология)
Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
Конус отображения (топология)
Пространство продукта
Подпространство (топология)
Топологическое пространство - Математическая структура с понятием близости
Покрытие пространства

Алгебра

Отображающий конус (гомологическая алгебра) - Инструмент по гомологической алгебре
Факторная категория
Факторная группа
Факторное пространство (линейная алгебра)