N = 2 суперконформная алгебра - N = 2 superconformal algebra

В математическая физика, то 2D N = 2 суперконформная алгебра является бесконечномерным Супералгебра Ли, относится к суперсимметрия, что происходит в теория струн и двумерная конформная теория поля. Он имеет важные приложения в зеркальная симметрия. Он был введен М. Адемолло, Л. Бринком и А. Д'Адда и др. (1976 ) как калибровочную алгебру фермионной струны U (1).

Определение

Есть два немного разных способа описать N = 2 суперконформной алгебры, называемой N = 2 алгебры Рамона и N = 2 алгебры Невё – Шварца, которые изоморфны (см. Ниже), но отличаются выбором стандартного базиса. В N = 2 суперконформная алгебра супералгебра Ли с базой из четных элементов c, L_п, J_п, за п целое число и нечетные элементы грамм⁺
_р, грамм⁻
_р, куда ${ displaystyle r in { mathbb {Z}}}$ (для основы Рамона) или ${ displaystyle r in {1 over 2} + { mathbb {Z}}}$ (для базиса Невё – Шварца), определяемого следующими соотношениями:^[1]

c находится в центре

${ displaystyle displaystyle {[L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {c over 12} (m ^ {3} -m) delta _ {m + n , 0}}}$

${ displaystyle displaystyle {[L_ {m}, , J_ {n}] = - nJ_ {m + n}}}$

${ displaystyle displaystyle {[J_ {m}, J_ {n}] = {c over 3} m delta _ {m + n, 0}}}$

${ displaystyle displaystyle { {G_ {r} ^ {+}, G_ {s} ^ {-} } = L_ {r + s} + {1 over 2} (rs) J_ {r + s} + {c over 6} (r ^ {2} - {1 over 4}) delta _ {r + s, 0}}}$

${ Displaystyle Displaystyle { {G_ {r} ^ {+}, G_ {s} ^ {+} } = 0 = {G_ {r} ^ {-}, G_ {s} ^ {-} }}}$

${ displaystyle displaystyle {[L_ {m}, G_ {r} ^ { pm}] = ({m over 2} -r) G_ {r + m} ^ { pm}}}$

${ displaystyle displaystyle {[J_ {m}, G_ {r} ^ { pm}] = pm G_ {m + r} ^ { pm}}}$

Если ${ displaystyle r, s in { mathbb {Z}}}$ в этих соотношениях это даетN = 2 Алгебра Рамона; а если ${ displaystyle r, s in {1 over 2} + { mathbb {Z}}}$ являются полуцелыми числами, это дает N = 2 алгебра Невё – Шварца. Операторы ${ displaystyle L_ {n}}$ порождают подалгебру Ли, изоморфную Алгебра Вирасоро. Вместе с операторами ${ displaystyle G_ {r} = G_ {r} ^ {+} + G_ {r} ^ {-}}$, они порождают супералгебру Ли, изоморфную супер алгебра Вирасоро, дающую алгебру Рамона, если ${ displaystyle r, s}$ являются целыми числами и алгеброй Невё – Шварца в противном случае. Когда они представлены как операторы на сложное внутреннее пространство продукта, ${ displaystyle c}$ рассматривается как умножение на действительный скаляр, обозначается той же буквой и называется центральный заряд, а сопряженная структура выглядит следующим образом:

${ displaystyle displaystyle {L_ {n} ^ {*} = L _ {- n}, , , J_ {m} ^ {*} = J _ {- m}, , , (G_ {r} ^ { pm}) ^ {*} = G _ {- r} ^ { mp}, , , c ^ {*} = c}}$

Характеристики

• В N = 2 Алгебры Рамона и Невё – Шварца изоморфны изоморфизмом спектрального сдвига ${ displaystyle alpha}$ из Швиммер и Зайберг (1987):

${ displaystyle alpha (L_ {n}) = L_ {n} + {1 over 2} J_ {n} + {c over 24} delta _ {n, 0}}$

${ displaystyle alpha (J_ {n}) = J_ {n} + {c over 6} delta _ {n, 0}}$

${ displaystyle alpha (G_ {r} ^ { pm}) = G_ {r pm {1 over 2}} ^ { pm}}$

с инверсией:

${ displaystyle alpha ^ {- 1} (L_ {n}) = L_ {n} - {1 over 2} J_ {n} + {c over 24} delta _ {n, 0}}$

${ displaystyle alpha ^ {- 1} (J_ {n}) = J_ {n} - {c over 6} delta _ {n, 0}}$

${ displaystyle alpha ^ {- 1} (G_ {r} ^ { pm}) = G_ {r mp {1 over 2}} ^ { pm}}$

• в N = 2 Алгебра Рамона, операторы нулевой моды ${ displaystyle L_ {0}}$, ${ displaystyle J_ {0}}$, ${ displaystyle G_ {0} ^ { pm}}$ а константы образуют пятимерную супералгебру Ли. Они удовлетворяют тем же соотношениям, что и фундаментальные операторы в Кэлерова геометрия, с ${ displaystyle L_ {0}}$ соответствующий лапласиану, ${ displaystyle J_ {0}}$ оператор степени, и ${ displaystyle G_ {0} ^ { pm}}$ то ${ displaystyle partial}$ и ${ displaystyle { overline { partial}}}$ операторы.
• Четные целые степени спектрального сдвига дают автоморфизмы N = 2 суперконформные алгебры, называемые автоморфизмами спектрального сдвига. Другой автоморфизм ${ displaystyle beta}$периода два определяется выражением

${ Displaystyle Displaystyle { бета (L_ {м}) = L_ {м}},}$

${ displaystyle beta (J_ {m}) = - J_ {m} - {c over 3} delta _ {m, 0},}$

${ Displaystyle бета (G_ {r} ^ { pm}) = G_ {r} ^ { mp}}$

В терминах операторов Кэлера ${ displaystyle beta}$ соответствует сопряжению сложной структуры. С ${ Displaystyle бета альфа бета ^ {- 1} = альфа ^ {- 1}}$, автоморфизмы ${ displaystyle alpha ^ {2}}$ и ${ displaystyle beta}$ порождают группу автоморфизмов N = 2 суперконформная алгебра, изоморфная бесконечная диэдральная группа ${ Displaystyle { mathbb {Z}} rtimes { mathbb {Z}} _ {2}}$.

• Скрученные операторы ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {n} = L_ {n} + {1 over 2} (n + 1) J_ {n}}$ были представлены Эгути и Ян (1990) и удовлетворить:

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {m}, { mathcal {L}} _ {n}] = (m-n) { mathcal {L}} _ {m + n}}$

так что эти операторы удовлетворяют соотношению Вирасоро с центральным зарядом 0. Постоянная ${ displaystyle c}$ все еще появляется в отношениях для ${ displaystyle J_ {m}}$ и модифицированные отношения

${ displaystyle displaystyle {[{ mathcal {L}} _ {m}, J_ {n}] = - nJ_ {m + n} + {c over 6} (m ^ {2} + m) delta _ {м + п, 0}}}$

${ displaystyle displaystyle { {G_ {r} ^ {+}, G_ {s} ^ {-} } = 2 { mathcal {L}} _ {r + s} -2sJ_ {r + s} + {c более 3} (m ^ {2} + m) delta _ {m + n, 0}}}$

Конструкции

Свободное строительство поля

Грин, Шварц и Виттен (1988) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGreenSchwarzWitten1988 (помощь) дать конструкцию с использованием двух коммутирующих реальных бозонные поля ${ Displaystyle (а_ {п})}$, ${ displaystyle (b_ {n})}$

${ displaystyle displaystyle {[a_ {m}, a_ {n}] = {m over 2} delta _ {m + n, 0}, , , , , [b_ {m}, b_ {n}] = {m over 2} delta _ {m + n, 0}}, , , , , a_ {n} ^ {*} = a _ {- n}, , , , , b_ {n} ^ {*} = b _ {- n}}$

и комплекс фермионное поле ${ Displaystyle (е_ {г})}$

${ displaystyle displaystyle { {e_ {r}, e_ {s} ^ {*} } = delta _ {r, s}, , , , , {e_ {r}, e_ { s} } = 0.}}$

${ displaystyle L_ {n}}$ определяется как сумма операторов Вирасоро, естественно связанных с каждой из трех систем

${ displaystyle L_ {n} = sum _ {m}: a _ {- m + n} a_ {m}: + sum _ {m}: b _ {- m + n} b_ {m}: + sum _ {r} (r + {n over 2}): e_ {r} ^ {*} e_ {n + r}:}$

куда нормальный заказ был использован для бозонов и фермионов.

Текущий оператор ${ displaystyle J_ {n}}$ определяется стандартной конструкцией из фермионов

${ displaystyle J_ {n} = sum _ {r}: e_ {r} ^ {*} e_ {n + r}:}$

и два суперсимметричных оператора ${ displaystyle G_ {r} ^ { pm}}$ к

${ displaystyle G_ {r} ^ {+} = sum (a _ {- m} + ib _ {- m}) cdot e_ {r + m}, , , , , G_ {r} ^ { -} = sum (a_ {r + m} -ib_ {r + m}) cdot e_ {m} ^ {*}}$

Это дает N = 2 алгебра Невё – Шварца сc = 3.

SU (2) суперсимметричная конструкция смежных классов

Di Vecchia et al. (1986) дал смежную конструкцию N = 2 суперконформные алгебры, обобщающие смежные конструкции из Годдард, Кент и Олив (1986) для представлений дискретной серии алгебры Вирасоро и супералгебры Вирасоро. Учитывая представление аффинная алгебра Каца – Муди из SU (2) на уровне ${ displaystyle ell}$ с основанием ${ displaystyle E_ {n}, F_ {n}, H_ {n}}$ удовлетворение

${ displaystyle [H_ {m}, H_ {n}] = 2m ell delta _ {n + m, 0},}$

${ displaystyle [E_ {m}, F_ {n}] = H_ {m + n} + m ell delta _ {m + n, 0},}$

${ displaystyle displaystyle {[H_ {m}, E_ {n}] = 2E_ {m + n},}}$

${ displaystyle displaystyle {[H_ {m}, F_ {n}] = - 2F_ {m + n},}}$

суперсимметричные генераторы определяются формулами

${ displaystyle displaystyle {G_ {r} ^ {+} = ( ell / 2 + 1) ^ {- 1/2} sum E _ {- m} cdot e_ {m + r}, , , , G_ {r} ^ {-} = ( ell / 2 + 1) ^ {- 1/2} sum F_ {r + m} cdot e_ {m} ^ {*}.}}$

Это дает N = 2 суперконформную алгебру с

${ Displaystyle с = 3 ell / ( ell +2)}$.

Алгебра коммутирует с бозонными операторами

${ displaystyle X_ {n} = H_ {n} -2 sum _ {r}: e_ {r} ^ {*} e_ {n + r} :.}$

Пространство физические состояния состоит из собственные векторы из ${ displaystyle X_ {0}}$ одновременно уничтожены ${ displaystyle X_ {n}}$для положительного ${ displaystyle n}$ и оператор суперзарядки

${ Displaystyle Q = G_ {1/2} ^ {+} + G _ {- 1/2} ^ {-}}$ (Неве-Шварц)

${ displaystyle Q = G_ {0} ^ {+} + G_ {0} ^ {-}.}$ (Рамонд)

Оператор сверхзаряда коммутирует с действием аффинной группы Вейля, и физические состояния лежат на одной орбите этой группы, что влечет за собой Формула характера Вейля-Каца.^[2]

Построение суперсимметричного смежного класса Казамы – Судзуки.

Казама и Сузуки (1989) обобщил конструкцию класса SU (2) на любую пару, состоящую из простых компактная группа Ли ${ displaystyle G}$ и замкнутая подгруппа ${ displaystyle H}$ максимального ранга, т.е. содержащие максимальный тор ${ displaystyle T}$ из ${ displaystyle G}$, с дополнительным условием, что размер центра ${ displaystyle H}$ не равно нулю. В этом случае компактный Эрмитово симметричное пространство ${ displaystyle G / H}$ является кэлеровым многообразием, например, когда ${ displaystyle H = T}$. Физические состояния лежат на одной орбите аффинной группы Вейля, из чего снова следует формула характера Вейля – Каца для аффинной алгебры Каца – Муди ${ displaystyle G}$.^[3]

Смотрите также

• Алгебра Вирасоро
• Супер алгебра Вирасоро
• Конструкция Coset
• Теория струн типа IIB

Примечания

Рекомендации

• Ademollo, M .; Brink, L .; D'Adda, A .; D'Auria, R .; Napolitano, E .; Sciuto, S .; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S .; Gliozzi, F .; Musto, R .; Петторино, Р. (1976), «Суперсимметричные струны и ограничение цвета», Письма по физике B, 62 (1): 105–110, Bibcode:1976ФЛБ ... 62..105А, Дои:10.1016/0370-2693(76)90061-7
• Boucher, W .; Фрейдан, Д; Кент, А. (1986), "Детерминантные формулы и унитарность для N = 2 суперконформные алгебры в двух измерениях или точные результаты по компактификации строк ", Phys. Lett. B, 172 (3–4): 316–322, Bibcode:1986ФЛБ..172..316Б, Дои:10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P .; Petersen, J. L .; Ю, М .; Чжэн, Х. Б. (1986), "Явное построение унитарных представлений N = 2 суперконформная алгебра ", Phys. Lett. B, 174 (3): 280–284, Bibcode:1986ФЛБ..174..280Д, Дои:10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Егучи, Тору; Ян, Сун-Киль (1990), "N = 2 суперконформные модели как топологические теории поля », Мод. Phys. Lett. А, 5: 1693–1701, Дои:10.1142 / S0217732390001943
• Годдард, П.; Kent, A .; Олив, Д. (1986), «Унитарные представления алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро», Comm. Математика. Phys., 103 (1): 105–119, Bibcode:1986CMaPh.103..105G, Дои:10.1007 / bf01464283
• Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х.; Виттен, Эдвард (1988a), Теория суперструн, Том 1: Введение, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-35752-7
• Грин, Майкл Б.; Шварц, Джон Х.; Виттен, Эдвард (1988b), Теория суперструн, Том 2: Амплитуды петель, аномалии и феноменология, Издательство Кембриджского университета, Bibcode:1987cup..bookR .... G, ISBN  0-521-35753-5
• Казама, Йоичи; Сузуки, Хисао (1989), "Новое N = 2 суперконформные теории поля и компактификация суперструн », Ядерная физика B, 321 (1): 232–268, Bibcode:1989НуФБ.321..232К, Дои:10.1016/0550-3213(89)90250-2
• Schwimmer, A .; Зайберг, Н. (1987), "Комментарии к N = 2, 3, 4 суперконформные алгебры в двух измерениях ", Phys. Lett. B, 184 (2–3): 191–196, Bibcode:1987ФЛБ..184..191С, Дои:10.1016/0370-2693(87)90566-1
• Вуазен, Клэр (1999), Зеркальная симметрия, SMF / AMS тексты и монографии, 1, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1947-X
• Вассерманн, А. (2010) [1998]. «Конспект лекций по алгебрам Каца-Муди и Вирасоро». arXiv:1004.1287.
• Запад, Питер С. (1990), Введение в суперсимметрию и супергравитацию (2-е изд.), World Scientific, стр. 337–8, ISBN  981-02-0099-4