Теория модульного представления - Modular representation theory

Теория модульного представления это филиал математика, и эта часть теория представлений что изучает линейные представления из конечные группы через поле K положительных характеристика п, обязательно простое число. А также иметь приложения для теория групп, модульные представления естественным образом возникают в других разделах математики, таких как алгебраическая геометрия, теория кодирования^{[нужна цитата ]}, комбинаторика и теория чисел.

В рамках теории конечных групп теоретико-характерный результаты доказаны Ричард Брауэр использование теории модульного представления сыграло важную роль в раннем продвижении к классификация конечных простых групп, особенно для простые группы чья характеризация не поддавалась чисто теоретико-групповым методам, потому что их Силовские 2-подгруппы были слишком малы в соответствующем смысле. Также общий результат о вложении элементов порядок 2 в конечных группах, называемых Z * теорема, доказано Джордж Глауберман использование теории, разработанной Брауэром, было особенно полезно в программе классификации.

Если характеристика п из K не разделяет порядок |грамм|, то модульные представления вполне приводимы, как и в случае обычный (характеристика 0) представления, в силу Теорема Машке. В другом случае, когда |грамм| ≡ 0 мод п, процесс усреднения по группе, необходимый для доказательства теоремы Машке, не работает, и представления не обязательно должны быть полностью приводимыми. Большая часть обсуждения ниже неявно предполагает, что поле K достаточно большой (например, K алгебраически замкнутый достаточно), иначе некоторые утверждения нуждаются в уточнении.

История

Самые ранние работы по теории представлений конечные поля является по Диксон (1902) кто показал это когда п не делит порядок группы, теория представлений аналогична теории представлений в характеристике 0. Он также исследовал модульные инварианты некоторых конечных групп. Систематическое изучение модульных представлений, когда характеристика п разделяет порядок группы, был запущен Брауэр (1935) и продолжался им в течение следующих нескольких десятилетий.

Пример

Поиск представления циклическая группа двух элементов над F₂ эквивалентно проблеме поиска матрицы чей квадрат единичная матрица. По каждому полю характеристики, отличной от 2, всегда есть основа такую, что матрица может быть записана как диагональная матрица на диагонали встречается только 1 или −1, например

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}.}

Над F₂, есть много других возможных матриц, например

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}.}

Теория представлений конечной циклической группы над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики полностью объясняется теорией Нормальная форма Джордана. Недиагональные жордановы формы возникают, когда характеристика делит порядок группы.

Интерпретация теории колец

Учитывая поле K и конечная группа грамм, то групповая алгебра K[грамм] (какой K-векторное пространство с K-основа, состоящая из элементов грамм, наделенный умножением алгебры за счет расширения умножения грамм по линейности) является Артинианское кольцо.

Когда порядок грамм делится на характеристику K, групповая алгебра не полупростой, следовательно, имеет ненулевой Радикал Якобсона. В этом случае существуют конечномерные модули для групповой алгебры, которые не являются проективные модули. Напротив, в случае характеристики 0 каждое неприводимое представление это прямое слагаемое из регулярное представительство, следовательно, проективен.

Персонажи Брауэра

Теория модульного представления была разработана Ричард Брауэр примерно с 1940 г. для более глубокого изучения взаимосвязи между характеристическими п теория представлений, теория обычных характеров и структура грамм, особенно в том, что последнее относится к встраиванию и взаимосвязям между п-подгруппы. Такие результаты можно применить в теория групп к проблемам, не сформулированным прямо в терминах представлений.

Брауэр ввел понятие, теперь известное как Брауэр персонаж. Когда K алгебраически замкнуто положительной характеристики п, существует взаимное соответствие между корнями единицы в K и комплексные корни из единицы порядка, простые с п. Как только выбор такой биекции фиксирован, характер представления Брауэра присваивается каждому элементу группы порядка, взаимно простого с п сумма комплексных корней из единицы, соответствующих собственным значениям (включая кратности) этого элемента в данном представлении.

Брауэровский характер представления определяет его композиционные факторы, но не, в общем, его тип эквивалентности. Неприводимые символы Брауэра - это символы, предоставляемые простыми модулями. Они представляют собой целые (хотя и не обязательно неотрицательные) комбинации ограничений на элементы порядка, взаимно простых с п обычных неприводимых персонажей. Наоборот, ограничение на элементы порядка, взаимно простых с п Каждый обычный неприводимый характер однозначно выражается как неотрицательная целочисленная комбинация неприводимых символов Брауэра.

Уменьшение (мод п)

В теории, первоначально разработанной Брауэром, связь между обычной теорией представлений и теорией модульных представлений лучше всего иллюстрируется рассмотрениемгрупповая алгебра группы грамм над полным кольцом дискретной оценки р с полем вычетов K положительных характеристик п и поле дробей F характеристики0, например п-адические целые числа. Структура р[грамм] тесно связано как со структурой групповой алгебры K[грамм] и структуре полупростой групповой алгебры F[грамм], и между теорией модулей трех алгебр существует много взаимосвязей.

Каждый р[грамм] -модуль естественным образом порождает F[грамм] -module, и с помощью процесса, который неофициально известен как сокращение (мод п), в K[грамм] -модуль. С другой стороны, поскольку р этоглавная идеальная область, каждая конечномерная F[грамм] -модуль возникает в результате расширения скаляров из р[грамм] -модуль. Однако в целом не все K[грамм] -модули возникают как редукции (mod п) изр[грамм] -модули. Те, кто это делают, поднимаемый.

Количество простых модулей

В обычной теории представлений количество простых модулей k(грамм) равно количеству классы сопряженности из грамм. В модульном корпусе число л(грамм) простых модулей равно количеству классов сопряженных элементов, порядок элементов которых взаимно прост с соответствующим простым числом п, так называемой п-регулярные занятия.

Блоки и структура групповой алгебры

В теории модульного представления, хотя теорема Машке не выполняется, когда характеристика делит групповой порядок, групповая алгебра может быть разложена как прямая сумма максимального набора двусторонних идеалов, известных как блоки. Когда поле F имеет характеристику 0, или характеристику, взаимно простую с групповым порядком, существует еще такое разложение групповой алгебры F[грамм] как сумму блоков (по одному для каждого типа изоморфизма простого модуля), но ситуация относительно прозрачна, когда F достаточно большой: каждый блок представляет собой полную матричную алгебру над F, кольцо эндоморфизмов векторного пространства, лежащего в основе ассоциированного простого модуля.

Для получения блоков идентифицирующий элемент группы грамм раскладывается как сумма примитивных идемпотенты в Z(р[G]), центр групповой алгебры над максимальным порядком р из F. Блок, соответствующий примитивному идемпотентуе двусторонний идеал е р[грамм]. Для каждого неразложимого р[грамм] -модуль, существует только один такой примитивный идемпотент, который не аннулирует его, и говорят, что модуль принадлежит (или находится в) соответствующем блоке (в этом случае все его факторы состава также принадлежат к этому блоку). В частности, каждый простой модуль принадлежит уникальному блоку. Каждый обычный неприводимый символ также может быть отнесен к уникальному блоку в соответствии с его разложением в виде суммы неприводимых символов Брауэра. Блок, содержащий тривиальный модуль известен как основной блок.

Проективные модули

В обычной теории представлений каждый неразложимый модуль неприводим, поэтому каждый модуль проективен. Однако простые модули с характеристикой, разделяющей групповой порядок, редко бывают проективными. В самом деле, если простой модуль является проективным, то это единственный простой модуль в своем блоке, который тогда изоморфен алгебре эндоморфизмов основного векторного пространства, полной матричной алгебре. В этом случае говорят, что блок имеет дефект 0. Как правило, структуру проективных модулей сложно определить.

Для групповой алгебры конечной группы (типы изоморфизма) проективных неразложимых модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с (типами изоморфизма) простых модулей: цоколь каждого проективного неразложимого проста (и изоморфна вершине), и это обеспечивает биекцию, так как неизоморфные проективные неразложимые цоколи имеют неизоморфные цоколи. Кратность проективного неразложимого модуля как слагаемого групповой алгебры (рассматриваемой как регулярный модуль) - это размерность его цоколя (для достаточно больших полей нулевой характеристики это восстанавливает тот факт, что каждый простой модуль встречается с кратностью, равной его размерность как прямое слагаемое регулярного модуля).

Каждый проективный неразложимый модуль (и, следовательно, каждый проективный модуль) в положительной характеристике п можно поднять до модуля характеристики 0. С помощью кольца р как указано выше, с полем вычетов K, элемент идентичности грамм может быть разложен на сумму взаимно ортогональных примитивов идемпотенты (не обязательно в центре) K[грамм]. Каждая проективная неразложимая K[грамм] -модуль изоморфен е.K[грамм] для примитивного идемпотента е что происходит в этом разложении. Идемпотент е поднимает до примитивного идемпотента, скажем E, из р[грамм], а левый модуль E.р[грамм] имеет сокращение (мод. п) изоморфна е.K[грамм].

Некоторые соотношения ортогональности для персонажей Брауэра

Когда проективный модуль поднимается, ассоциированный символ обращается в нуль на всех элементах порядка, кратного п, и (при последовательном выборе корней из единицы) согласуется с характером Брауэра исходной характеристики п модуль на п-регулярные элементы. Таким образом, можно определить (обычное кольцо символов) скалярное произведение характера Брауэра проективного неразложимого с любым другим характером Брауэра: оно равно 0, если второй символ Брауэра является характером цоколя неизоморфного проективно неразложимого объекта, и 1, если Второй характер Брауэра - это характер его собственного цоколя. Кратность обыкновенного неприводимого характера в характере подъема проективной неразложимой конструкции равна количеству вхождений характера Брауэра цоколя проективной неразложимости, когда ограничение обычного характера на п-регулярные элементы выражаются как сумма неприводимых символов Брауэра.

Матрица разложения и матрица Картана

В факторы состава проективных неразложимых модулей можно вычислить следующим образом: для обычных неприводимых и неприводимых характеров Брауэра конкретной конечной группы неприводимые обычные персонажи могут быть разложены на неотрицательные целые комбинации неприводимых символов Брауэра. Соответствующие целые числа могут быть помещены в матрицу, при этом обычным неприводимым символам назначены строки, а неприводимым символам Брауэра - столбцы. Это называется матрица разложения, и часто обозначается D. Принято помещать тривиальные обычные символы и символы Брауэра в первую строку и столбец соответственно. Продукт транспонирования D с D сам приводит к Матрица Картана, обычно обозначается C; это симметричная матрица, элементы которой j-я строка - кратности соответствующих простых модулей как композиционные факторы j-й проективный неразложимый модуль. Матрица Картана неособая; на самом деле, его детерминант - это сила, характерная для K.

Поскольку проективный неразложимый модуль в данном блоке имеет все свои композиционные факторы в этом же блоке, каждый блок имеет свою собственную матрицу Картана.

Группы дефектов

Каждому блоку B групповой алгебры K[грамм] Брауэр связал определенную п-подгруппа, известная как ее группа дефектов (куда п это характеристика K). Формально это самый крупный п-подгруппаD из грамм для которого есть Корреспондент Брауэра из B для подгруппы ${ Displaystyle DC_ {G} (D)}$ , куда ${ Displaystyle C_ {G} (D)}$ это централизатор из D в грамм.

Группа дефектов блока уникальна с точностью до сопряженности и сильно влияет на структуру блока. Например, если группа дефектов тривиальна, то блок содержит только один простой модуль, только один обычный символ, обычные и неприводимые символы Брауэра согласовывают элементы порядка, простого с соответствующей характеристикой. п, а простой модуль проективен. С другой стороны, когда K имеет характерный п, то Силовский п-подгруппа конечной группы грамм является группой дефектов для главного блока K[грамм].

Порядок группы дефектов в блоке имеет множество арифметических характеристик, связанных с теорией представлений. Это наибольший инвариантный множитель матрицы Картана блока, и его кратность равна единице. Кроме того, сила п разделение индекса группы дефектов блока - это наибольший общий делитель полномочий п деление размеров простых модулей в этом блоке, и это совпадает с наибольшим общим делителем степеней п деление степеней обычных неприводимых символов в этом блоке.

Другие отношения между группой дефектов блока и теорией характера включают результат Брауэра о том, что, если не существует конъюгата п-часть элемента группы грамм находится в группе дефектов данного блока, то каждый неприводимый символ в этом блоке обращается в нуль в грамм. Это одно из многих следствий второй основной теоремы Брауэра.

Группа дефектов блока также имеет несколько характеристик в более теоретико-модульном подходе к теории блоков, основанном на работе Дж. А. Грин, который связывает п-подгруппа, известная как вершина к неразложимому модулю, определенному в терминах относительная проекция модуля. Например, вершина каждого неразложимого модуля в блоке содержится (с точностью до сопряженности) в группе дефектов блока, и никакая собственная подгруппа группы дефектов не обладает этим свойством.

Первая основная теорема Брауэра утверждает, что количество блоков конечной группы, которые имеют заданное п-подгруппа как группа дефектов совпадает с соответствующим номером для нормализатора в группе этого п-подгруппа.

Проще всего анализировать блочную структуру с нетривиальной группой дефектов, когда последняя является циклической. Тогда существует только конечное число типов изоморфизма неразложимых модулей в блоке, и структура блока к настоящему времени хорошо понята благодаря работам Брауэра, E.C. Dade, J.A. Зеленый и J.G. Томпсон, среди прочего. Во всех остальных случаях существует бесконечно много типов изоморфизма неразложимых модулей в блоке.

Блоки, группы дефектов которых нециклические, можно разделить на два типа: ручные и дикие. Ручные блоки (которые встречаются только для простого числа 2) имеют в качестве дефектной группы a группа диэдра, полудиэдральная группа или (обобщенный) группа кватернионов, а их структура в целом определена в серии работ Карин Эрдманн. Неразложимые модули в диких блоках чрезвычайно сложно классифицировать даже в принципе.