Группа Артина – Титса - Artin–Tits group

В математической области теория групп, Группы Артина, также известный как Группы Артина – Титса или же обобщенные группы кос, являются семейством бесконечных дискретных группы определяется простой презентации. Они тесно связаны с Группы Кокстера. Примеры бесплатные группы, свободные абелевы группы, группы кос, а также прямоугольные группы Артина – Титса и другие.

Группы названы в честь Эмиль Артин, благодаря его ранней работе над группами кос в 1920-1940-х годах,^[1] и Жак Титс кто разработал теорию более общего класса групп в 1960-х гг.^[2]

Определение

Презентация Артина – Титса - это группа презентация ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ куда ${ displaystyle S}$ является (обычно конечным) набором образующих и ${ displaystyle R}$ является набором отношений Артина – Титса, а именно отношений вида ${ displaystyle stst ldots = tsts ldots}$ для различных ${ displaystyle s, t}$ в ${ displaystyle S}$ , где обе стороны имеют равную длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих ${ displaystyle s, t}$ . Группа Артина – Титса - это группа, допускающая представление Артина – Титса. Точно так же Моноид Артина – Титса это моноид который как моноид допускает представление Артина – Титса.

В качестве альтернативы, группа Артина – Титса может быть задана набором генераторов ${ displaystyle S}$ и для каждого ${ displaystyle s, t}$ в ${ displaystyle S}$ , натуральное число ${ displaystyle m_ {s, t} geqslant 2}$ это длина слов ${ displaystyle stst ldots}$ и ${ displaystyle tsts ldots}$ такой, что ${ displaystyle stst ldots = tsts ldots}$ это отношение, связывающее ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ , если есть. По соглашению можно положить ${ displaystyle m_ {s, t} = infty}$ когда нет отношения ${ displaystyle stst ldots = tsts ldots}$ . Формально, если мы определим ${ Displaystyle langle s, т rangle ^ {m}}$ для обозначения чередующегося произведения ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ длины ${ displaystyle m}$ , начиная с ${ displaystyle s}$ - так что ${ Displaystyle langle s, т rangle ^ {2} = st}$ , ${ Displaystyle langle s, т rangle ^ {3} = sts}$ и т. д. - отношения Артина – Титса принимают вид

{ displaystyle langle s, t rangle ^ {m_ {s, t}} = langle t, s rangle ^ {m_ {t, s}}, { text {where}} m_ {s, t} = m_ {t, s} in {2,3, ldots, infty }.}

Целые числа ${ displaystyle m_ {s, t}}$ можно организовать в симметричная матрица, известный как Матрица Кокстера группы.

Если ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ представляет собой презентацию Артина – Титса группы Артина – Титса ${ displaystyle A}$ , частное от ${ displaystyle A}$ получается добавлением соотношения ${ displaystyle s ^ {2} = 1}$ для каждого ${ displaystyle s}$ из ${ displaystyle R}$ это Группа Кокстера. Наоборот, если ${ displaystyle W}$ группа Кокстера, представленная отражениями и соотношениями ${ displaystyle s ^ {2} = 1}$ удалены, полученное расширение является группой Артина – Титса. Например, группа Кокстера, связанная с ${ displaystyle n}$ группа кос - это симметрическая группа всех перестановок ${ Displaystyle {1, ldots, п }}$ .

Примеры

${ Displaystyle G = langle S mid emptyset rangle}$ это бесплатная группа, основанная на ${ displaystyle S}$ ; здесь ${ displaystyle m_ {s, t} = infty}$ для всех ${ displaystyle s, t}$ .
${ Displaystyle G = langle S mid {st = ts mid s, t in S } rangle}$ свободная абелева группа, основанная на ${ displaystyle S}$ ; здесь ${ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ для всех ${ displaystyle s, t}$ .
${ Displaystyle G = langle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1} mid sigma _ {i} sigma _ {j} sigma _ {i} = sigma _ { j} sigma _ {i} sigma _ {j} { text {for}} vert ij vert = 1, sigma _ {i} sigma _ {j} = sigma _ {j} sigma _ {i} { text {for}} vert ij vert geqslant 2 rangle}$ это группа кос на ${ displaystyle n}$ пряди; здесь ${ Displaystyle м _ { sigma _ {я}, sigma _ {j}} = 3}$ за ${ Displaystyle верт я-j верт = 1}$ , и ${ Displaystyle м _ { sigma _ {я}, sigma _ {j}} = 2}$ за ${ displaystyle vert i-j vert> 1}$ .

Общие свойства

Моноиды Артина – Титса подходят для Методы Гарсайда основаны на исследовании их отношений делимости и хорошо поняты:

Моноиды Артина – Титса являются сокращающимися, и они допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует, когда общее кратное имеет место).
Если ${ displaystyle A ^ {+}}$ является моноидом Артина – Титса, и если ${ displaystyle W}$ ассоциированная группа Кокстера, существует (теоретико-множественное) сечение ${ displaystyle sigma}$ из ${ displaystyle W}$ в ${ displaystyle A ^ {+}}$ , и каждый элемент ${ displaystyle A ^ {+}}$ допускает выделенное разложение как последовательность элементов в образе ${ displaystyle sigma}$ («жадная нормальная форма»).

Для общих групп Артина – Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

- решение слово и проблемы сопряженности - которые предположительно разрешимы,

- определение кручения - которое предполагается тривиальным,

- определение центра - который предполагается тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым продуктом («неприводимый случай»),

- определение когомологий - в частности, решение

{ Displaystyle К ( пи, 1)}

гипотеза, т. е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальная группа - рассматриваемая группа.

Ниже собраны частичные результаты, касающиеся конкретных подсемейств. Среди немногих известных общих результатов можно упомянуть:

Группы Артина – Титса бесконечны счетны.
В группе Артина – Титса ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ , единственное соотношение, соединяющее квадраты элементов ${ displaystyle s, t}$ из ${ displaystyle S}$ является ${ displaystyle s ^ {2} t ^ {2} = t ^ {2} s ^ {2}}$ если ${ displaystyle st = ts}$ в ${ displaystyle R}$ (Джон Крисп и Луис Пэрис ^[3]).
На каждую презентацию Артина – Титса ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ моноид Артина – Титса, представленный ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ встраивается в группу Артина – Титса, представленную ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ (Париж^[4]).
Каждый (конечно порожденный) моноид Артина – Титса допускает конечное семейство Гарсайдов (Мэтью Дайер и Кристоф Хольвег^[5]). Как следствие, существование общих правых кратных в моноидах Артина – Титса разрешимо, и редукция мультифракций является эффективной.

Частные классы групп Артина – Титса.

Несколько важных классов групп Артина можно определить в терминах свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина – Титса сферического типа.

Группа Артина – Титса называется сферический тип если связанный Группа Кокстера ${ displaystyle W}$ конечна - альтернативной терминологии «группа Артина – Титса конечного типа» следует избегать из-за ее неоднозначности: «группа конечного типа» - это просто группа, допускающая конечное порождающее множество. Напомним, что известна полная классификация, в которой неприводимые типы обозначаются как бесконечные серии. ${ displaystyle A_ {n}}$ , ${ displaystyle B_ {n}}$ , ${ displaystyle D_ {n}}$ , ${ Displaystyle I_ {2} (п)}$ и шесть исключительных групп ${ displaystyle E_ {6}}$ , ${ displaystyle E_ {7}}$ , ${ displaystyle E_ {8}}$ , ${ displaystyle F_ {4}}$ , ${ displaystyle H_ {3}}$ , и ${ displaystyle H_ {4}}$ .
В случае сферической группы Артина – Титса группа представляет собой группу дробей для моноида, что значительно упрощает изучение. Каждая упомянутая выше задача решается положительно для сферических групп Артина – Титса: проблемы слова и сопряженности разрешимы, их кручение тривиально, центр моноген в неприводимом случае, когомология определен (Пьер Делинь, геометрическими методами,^[6] Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто, комбинаторными методами ^[7]).
Чистая группа Артина – Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения к конечной расположение гиперплоскости в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ .
Группы Артина – Титса сферического типа являются биавтоматические группы (Рут Чарни^[8]).
В современной терминологии группа Артина – Титса ${ displaystyle A}$ это Группа Гарсайд, означающий, что ${ displaystyle A}$ группа дробей ассоциированного моноида ${ displaystyle A ^ {+}}$ и существует для каждого элемента ${ displaystyle A}$ единственная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов ${ displaystyle W}$ и их обратные («симметричная жадная нормальная форма»)

Прямоугольные группы Артина

Группа Артина – Титса называется прямоугольный если все коэффициенты матрицы Кокстера либо ${ displaystyle 2}$ или же ${ displaystyle infty}$ , т.е. все отношения являются коммутационными соотношениями ${ displaystyle st = ts}$ . Имена (свободная) частично коммутативная группа, группа графиков, группа трассировки, полусвободная группа или даже локально свободная группа также распространены.
Для этого класса групп Артина – Титса обычно используется другая схема разметки. Любой график ${ displaystyle Gamma}$ на ${ displaystyle n}$ помеченные вершины ${ displaystyle 1,2, ldots, n}$ определяет матрицу ${ displaystyle M}$ , для которого ${ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ если вершины ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ связаны ребром в ${ displaystyle Gamma}$ , и ${ displaystyle m_ {s, t} = infty}$ иначе.
Класс прямоугольных групп Артина – Титса включает бесплатные группы конечного ранга, соответствующего графу без ребер, и конечно порожденная свободные абелевы группы, соответствующий полный график. Каждая прямоугольная группа Артина ранга р можно построить как Расширение HNN прямоугольной группы Артина ранга ${ displaystyle r-1}$ , с бесплатный продукт и прямой продукт как крайние случаи. Обобщение этой конструкции называется граф произведение групп. Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, где каждая вершина / операнд графа-произведения является свободной группой ранга один ( бесконечная циклическая группа ).
Проблемы слова и сопряженности прямоугольной группы Артина – Титса разрешимы, первая - за линейное время, группа без кручения и существует явная клеточная конечная ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$ (Джон Крисп, Эдди Годелль и Берт Уист^[9]).
Каждая прямоугольная группа Артина – Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном КОШКА (0) кубический комплекс, его «комплекс Сальветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойства конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ^[10]) см. также (Ян Лири ^[11]).

Группы Артина – Титса большого типа.

Группа Артина – Титса (и группа Кокстера) называется крупный шрифт если ${ displaystyle m_ {s, t} geqslant 3}$ для всех генераторов ${ displaystyle s neq t}$ ; говорят, что это из очень большой тип если ${ displaystyle m_ {s, t} geqslant 4}$ для всех генераторов ${ displaystyle s neq t}$ .
Группы Артина – Титса сверхбольшого типа подходят для теории малого сокращения. В качестве приложения группы Артина – Титса очень большого типа являются кручение -свободны и имеют разрешимую проблему сопряженности (Кеннет Аппель и Пол Шупп^[12]).
Группы Артина – Титса сверхбольшого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пайфер^[13]).
Группы Артина большого типа - это короткие автоматические с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис^[14]).

Другие типы

Были идентифицированы и исследованы многие другие семейства групп Артина – Титса. Здесь мы упоминаем два из них.

Группа Артина – Титса ${ displaystyle langle S mid R rangle}$ как говорят типа FC («комплекс флагов»), если для каждого подмножества ${ displaystyle S '}$ из ${ displaystyle S}$ такой, что ${ displaystyle m_ {s, t} neq infty}$ для всех ${ displaystyle s, t}$ в ${ displaystyle S '}$ , группа ${ displaystyle langle S ' mid R cap S' {} ^ {2} rangle}$ имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT (0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ^[15]). Альтернативная нормальная форма обеспечивается редукцией мультифракции, которая дает уникальное выражение с помощью несократимой мультифракции, непосредственно расширяющей выражение на несократимую дробь в сферическом случае (Dehornoy^[16]).
Группа Артина – Титса называется аффинного типа если ассоциированная группа Кокстера аффинный. Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств ${ displaystyle { widetilde {A}} _ {n}}$ за ${ Displaystyle п geqslant 1}$ , ${ displaystyle { widetilde {B}} _ {n}}$ , ${ displaystyle { widetilde {C}} _ {n}}$ за ${ Displaystyle п geqslant 2}$ , и ${ displaystyle { widetilde {D}} _ {n}}$ за ${ displaystyle n geqslant 3}$ , и пяти спорадических типов ${ displaystyle { widetilde {E}} _ {6}}$ , ${ displaystyle { widetilde {E}} _ {7}}$ , ${ displaystyle { widetilde {E}} _ {8}}$ , ${ displaystyle { widetilde {F}} _ {4}}$ , et ${ displaystyle { widetilde {G}} _ {2}}$ . Аффинные группы Артина – Титса являются евклидова типа: ассоциированная группа Кокстера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а их проблема слов разрешима (Джон МакКэммонд и Роберт Салуэй ^[17]). В 2019 году доказательство ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$ гипотеза была анонсирована для всех аффинных групп Артина – Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини^[18]).

Смотрите также

Свободный частично коммутативный моноид
Артинианская группа (несвязанное понятие)
Некоммутативная криптография
Элементарная абелева группа

дальнейшее чтение

Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata, 125 (1): 141–158, arXiv:математика / 0610668, Дои:10.1007 / s10711-007-9148-6, МИСТЕР 2322545
Годель, Эдди; Париж, Луис (2012), Основные вопросы о группах Артина – Титса, Серия CRM, 14, Ред. Norm., Пиза, стр. 299–311, Дои:10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, МИСТЕР 3203644
Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Конспект лекций о зимних косах, 4 (Зимние косы VII (Кан, 2017)): 1–30, Дои:10,5802 / руб.17, МИСТЕР 3922033
Флорес, Рамон; Kahrobaei, Delaram; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические задачи в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры. 519: 111–129. arXiv:1802.04870. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2018.10.023. МИСТЕР 3874519.

[Artin47-1] Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики. 48 (1): 101–126. Дои:10.2307/1969218. JSTOR 1969218. S2CID 30514042.

[2] Сиськи, Жак (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Журнал алгебры, 4: 96–116, Дои:10.1016/0021-8693(66)90053-6, МИСТЕР 0206117

[3] Крисп, Джон; Пэрис, Луис (2001), "Решение гипотезы Титса о подгруппе, порожденной квадратами образующих группы Артина", Inventiones Mathematicae, 145 (1): 19–36, arXiv:математика / 0003133, Bibcode:2001InMat.145 ... 19C, Дои:10.1007 / s002220100138, МИСТЕР 1839284

[4] Пэрис, Луис (2002), «Моноиды Артина вводят в свои группы», Комментарии Mathematici Helvetici, 77 (3): 609–637, Дои:10.1007 / s00014-002-8353-z, МИСТЕР 1933791

[5] Дайер, Мэтью; Hohlweg, Christophe (2016), "Маленькие корни, низкие элементы и слабый порядок в группах Кокстера", Успехи в математике, 301: 739–784, arXiv:1505.02058, Дои:10.1016 / j.aim.2016.06.022, МИСТЕР 1839284

[6] Делинь, Пьер (1972 г.), "Незримые группы генерализованных локонов", Inventiones Mathematicae, 17: 273–302, Bibcode:1972InMat..17..273D, Дои:10.1007 / BF01406236, МИСТЕР 0422673

[7] Брискорн, Эгберт; Сайто, Кёдзи (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae, 17 (4): 245–271, Bibcode:1972InMat..17..245B, Дои:10.1007 / BF01406235, МИСТЕР 0323910

[8] Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа биавтоматичны», Mathematische Annalen, 292 (4): 671–683, Дои:10.1007 / BF01444642, МИСТЕР 1157320

[9] Крисп, Джон; Годель, Эдди; Уист, Берт (2009), "Проблема сопряженности в подгруппах прямоугольных групп Артина", Журнал топологии, 2 (3): 442–460, Дои:10.1112 / jtopol / jtp018, МИСТЕР 2546582

[10] Бествина, Младен; Брэди, Ноэль (1997), "Теория Морса и свойства конечности групп", Inventiones Mathematicae, 129 (3): 445–470, Bibcode:1997InMat.129..445B, Дои:10.1007 / s002220050168, МИСТЕР 1465330

[11] Лири, Ян (2018), «Бесчисленное множество групп типа FP», Труды Лондонского математического общества, 117 (2): 246–276, Дои:10.1112 / plms.12135, МИСТЕР 3851323

[12] Аппель, Кеннет I .; Шупп, Пол Э. (1983), "Группы Артина и бесконечные группы Кокстера", Inventiones Mathematicae, 72 (2): 201–220, Bibcode:1983InMat..72..201A, Дои:10.1007 / BF01389320, МИСТЕР 0700768

[13] Пайфер, Дэвид (1996), "Группы Артина очень большого типа являются биавтоматическими", Журнал чистой и прикладной алгебры, 110 (1): 15–56, Дои:10.1016/0022-4049(95)00094-1, МИСТЕР 1390670

[14] Холт, Дерек; Рис, Сара (2012). «Артиновые группы большого типа шортлекс автоматические с регулярными геодезическими». Труды Лондонского математического общества. 104 (3): 486–512. arXiv:1003.6007. Дои:10.1112 / plms / pdr035. МИСТЕР 2900234.

[15] Альтобелли, Джо; Чарни, Рут (2000), "Геометрическая рациональная форма для групп Артина типа FC", Geometriae Dedicata, 79 (3): 277–289, Дои:10.1023 / А: 1005216814166, МИСТЕР 1755729

[16] Дехорной, Патрик (2017), «Мультифракционная редукция I: случай 3-Оре и группы Артина – Титса типа FC», Журнал комбинаторной алгебры, 1 (2): 185–228, arXiv:1606.08991, Дои:10.4171 / JCA / 1-2-3, МИСТЕР 3634782

[17] Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), "Группы Артина евклидова типа", Inventiones Mathematicae, 210 (1): 231–282, Bibcode:2017InMat.210..231M, Дои:10.1007 / s00222-017-0728-2, МИСТЕР 3698343

[18] Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2019), Доказательство ${ Displaystyle К ( пи, 1)}$ гипотеза для аффинных групп Артина, arXiv:1907.11795

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]